基于反步法的有限時(shí)間機(jī)器人環(huán)航控制器設(shè)計(jì)

張春燕 盛安冬 戚國(guó)慶 李銀伢

環(huán)航是指機(jī)器人保持一定距離環(huán)繞目標(biāo)的運(yùn)動(dòng),其控制器需要使機(jī)器人運(yùn)行在以目標(biāo)為圓心、指定半徑的期望軌跡上.環(huán)航跟蹤在軍用偵察監(jiān)視、民用搜索救護(hù)等領(lǐng)域均有著廣泛的應(yīng)用前景.目前關(guān)于完整機(jī)器人對(duì)目標(biāo)環(huán)航跟蹤問(wèn)題的研究已相對(duì)完善[1?6],為進(jìn)一步便于工程應(yīng)用,一些學(xué)者研究了非完整機(jī)器人的環(huán)航問(wèn)題.根據(jù)其控制量的不同,主要分為以下兩類(lèi):

1)將機(jī)器人速率視為常數(shù),僅以角速率為控制量[7?21].其中Park[7]在環(huán)航研究中,令速率恒定并以向心加速度作為控制量,與角速率輸入類(lèi)似.文獻(xiàn)[8?13]針對(duì)純方位量測(cè)和純距離量測(cè),給出了環(huán)航跟蹤系統(tǒng)的觀測(cè)器與控制器設(shè)計(jì)方法,并應(yīng)用到多目標(biāo)的跟蹤中.Lawrence[14]提出了一種基于Lyapunov矢量場(chǎng)引導(dǎo)法的環(huán)航控制器;另外,國(guó)內(nèi)外研究學(xué)者將多種現(xiàn)代控制策略應(yīng)用到環(huán)航跟蹤研究中,并取得了一系列成果[15?21].

2)部分學(xué)者在設(shè)計(jì)非完整機(jī)器人角速率控制器的同時(shí),增加了速率測(cè)量,即以速率與角速率作為機(jī)器人輸入量[22?27],以滿足更復(fù)雜的跟蹤要求,但也增加控制器設(shè)計(jì)的難度.Summers等[22]在多機(jī)協(xié)同環(huán)航跟蹤中考慮了速率變化,但在單機(jī)環(huán)航研究中仍視速率為常數(shù);Oh等分別利用滑模控制[23]和模型預(yù)測(cè)控制[24]提出的環(huán)航控制方法在保證機(jī)器人與目標(biāo)距離固定的同時(shí),實(shí)現(xiàn)了以額定速率對(duì)目標(biāo)進(jìn)行環(huán)航跟蹤.文獻(xiàn)[25?27]則實(shí)現(xiàn)了環(huán)航系統(tǒng)中,機(jī)器人軌跡漸近收斂到相對(duì)距離和環(huán)航速率固定的期望軌跡上.目標(biāo)靜止時(shí),將機(jī)器人速率固定為期望環(huán)航速率,即可利用上述控制方案達(dá)到跟蹤要求,Yu等[25]亦給出了多機(jī)定距定速環(huán)航跟蹤靜止目標(biāo)的分布式控制方法.對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo),Arranz等[26]提出的控制方案受目標(biāo)與機(jī)器人初始位置限制;Miao等[27]針對(duì)系統(tǒng)直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系下運(yùn)動(dòng)模型分別提出了控制器的設(shè)計(jì)方法,但未考慮機(jī)器人速度受限問(wèn)題,會(huì)出現(xiàn)速率輸入幅值偏大的問(wèn)題.

上述研究中均假設(shè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)能不受限制地滿足控制器要求,然而在實(shí)際應(yīng)用中,機(jī)器人速度普遍會(huì)受到限制.如何保證機(jī)器人在速度受限情形下達(dá)到期望的控制要求,并能在有限時(shí)間內(nèi)運(yùn)行在期望軌跡上,是工程應(yīng)用中存在的兩個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.針對(duì)這些問(wèn)題,本文研究了非完整機(jī)器人在速度受限下,以規(guī)定環(huán)繞速率沿固定半徑跟蹤已知目標(biāo)的控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題.首先,針對(duì)機(jī)器人速度受限的情形,根據(jù)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)模型及跟蹤要求,利用反步法給出了使環(huán)航系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的控制器;為避免有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)時(shí)會(huì)出現(xiàn)控制量幅值過(guò)大的問(wèn)題[28?30],進(jìn)一步給出了一種在滿足輸入約束情形下的有限時(shí)間飽和控制器,使機(jī)器人軌跡在有限時(shí)間內(nèi)收斂到期望軌跡.

本文結(jié)構(gòu)安排如下:第1節(jié)描述了所研究的問(wèn)題;第2節(jié)給出了兩種控制器的設(shè)計(jì)方案;第3節(jié)給出了仿真比較結(jié)果;第4節(jié)為文章的結(jié)論.在文中,R表示實(shí)數(shù)集,R+表示正實(shí)數(shù)集,AT是向量或矩陣A的轉(zhuǎn)置,表示向量x的歐幾里得范數(shù),sup表示上確界,AB表示集合{x|x∈A,x∈/B},sgn(x)表示符號(hào)函數(shù)(sgn(0)=0).

1 問(wèn)題描述

本文主要研究已知目標(biāo)的速度信息情況下,非完整機(jī)器人對(duì)平面目標(biāo)的環(huán)航控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題.且基于工程應(yīng)用,機(jī)器人的速度受限.

1.1 環(huán)繞問(wèn)題描述與系統(tǒng)模型

將機(jī)器人視為質(zhì)點(diǎn),在二維笛卡爾坐標(biāo)系下,機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)模型為[26]:

目標(biāo)在二維笛卡爾坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)模型為:

根據(jù)環(huán)航跟蹤的控制要求,對(duì)機(jī)器人和目標(biāo)的相對(duì)位置建模.為簡(jiǎn)便書(shū)寫(xiě),定義一個(gè)角度函數(shù),

注1.當(dāng)x=y=0時(shí),y/x是不確定的,目前數(shù)學(xué)上常用的處理方法是令atan(0,0)為某一常值或在函數(shù)定義域中排除點(diǎn)(0,0)[31].在本文中,atan(y,x)函數(shù)不會(huì)出現(xiàn)x,y均為0的情況.以式(4)中atan(yo?yt,xo?xt)為例,yo?yt=xo?xt=0表示機(jī)器人與目標(biāo)位置相同,在環(huán)航應(yīng)用中可以排除這種情形.因此,考慮數(shù)學(xué)完備性和工程實(shí)用性,文中定義函數(shù)atan(·)時(shí),直接令atan(0,0)=0.

如圖1所示,在以目標(biāo)為原點(diǎn)的極坐標(biāo)下,系統(tǒng)相對(duì)位置可以表示為

圖1 環(huán)航跟蹤系統(tǒng)模型Fig.1 Model of the standofftracking system

其中,d∈R+表示機(jī)器人與目標(biāo)之間的相對(duì)距離,θ∈(?π,π]表示機(jī)器人與目標(biāo)之間的視線角.

問(wèn)題描述:針對(duì)非完整機(jī)器人,設(shè)計(jì)速率控制器u1和角速率控制器u2,使其實(shí)現(xiàn)在速度受限條件下,以固定環(huán)繞速率沿指定半徑跟蹤目標(biāo).即設(shè)計(jì)u=[u1u2]T,實(shí)現(xiàn)

其中,dc∈R+表示規(guī)定距離,ωc∈R表示規(guī)定環(huán)繞角速率.

注2.環(huán)航跟蹤系統(tǒng)中,固定環(huán)繞速率等同于環(huán)繞角速率固定,考慮到機(jī)器人順時(shí)針或逆時(shí)針環(huán)繞目標(biāo),以環(huán)繞角速率代替環(huán)繞速率作為跟蹤要求.ωc>0表示機(jī)器人逆時(shí)針環(huán)繞目標(biāo);ωc<0,機(jī)器人順時(shí)針環(huán)繞目標(biāo).

假設(shè)1.基于環(huán)航跟蹤要求,機(jī)器人速率vo與目標(biāo)速度νt應(yīng)滿足以下條件:

注3.根據(jù)機(jī)器人環(huán)航要求可知,機(jī)器人速度與目標(biāo)速度需滿足. 由于實(shí)際應(yīng)用中機(jī)器人速率受限制,并不能實(shí)現(xiàn)對(duì)任意運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的環(huán)航跟蹤.在假設(shè)中給出了目標(biāo)速度的條件,保證速率受限的機(jī)器人仍能完成對(duì)目標(biāo)的環(huán)航跟蹤,滿足實(shí)際應(yīng)用需求.

1.2 相關(guān)定義與引理

定義1[32].考慮如下連續(xù)系統(tǒng):

引理1[33].若存在一個(gè)連續(xù)可微的Lyapunov方程V(xxx):D→R滿足下以下兩個(gè)條件:

2)存在k∈R+和α∈(0,1),使得對(duì)任意.則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)有限時(shí)間穩(wěn)定.且收斂時(shí)間.

引理2[34].對(duì)于x∈R,y∈R與常數(shù)p≥1,下列不等式成立

2 控制器設(shè)計(jì)

如圖1所示,定義φ:=ψo(hù)?θ+π ∈(?π,π]表示機(jī)器人航向與視線之間的角度,即ψo(hù)=θ+φ?π;定義距離誤差為實(shí)際距離與期望距離的差:ed=d?dc,ed∈(?dc,∞).

2.1 情形1:靜止目標(biāo)

對(duì)目標(biāo)靜止情況分析,在極坐標(biāo)下環(huán)航跟蹤系統(tǒng)可以表示為

2.1.1 反步法控制器

如式(7)所述,系統(tǒng)狀態(tài)方程中存在非微分同胚映射,本節(jié)考慮了如何在此情況下利用反步法設(shè)計(jì)控制器.另外,如何選取控制器參數(shù)使機(jī)器人速率滿足約束條件的同時(shí),提高系統(tǒng)收斂速度也是本節(jié)研究重點(diǎn)之一.

為方便控制器設(shè)計(jì),構(gòu)造一個(gè)非線性函數(shù)f(·):R→R,函數(shù)f(x)都需滿足:

下文中的fs(·)和fm(·)均為滿足上式條件的非線性函數(shù),且函數(shù)絕對(duì)值的上界分別為,即,.

注4.根據(jù)式(8)所示條件,函數(shù)f(·)為有界的遞增函數(shù),且f(0)=0,存在滿足條件的函數(shù),如:等.

受文獻(xiàn)[27]啟發(fā),用反步法按如下步驟設(shè)計(jì)控制器.

步驟1.將φd作為系統(tǒng)(7)中ed和θ子系統(tǒng)的虛擬控制量,即

如圖1,由于相對(duì)距離變化率與相對(duì)速度νr在視線上的分量相關(guān),因此令

為保證虛擬控制量φd到fs(ed)的映射為微分同胚映射,即u1cos(·)存在連續(xù)可微逆映射,需sinφd0.考慮到機(jī)器人環(huán)繞目標(biāo)時(shí)的期望環(huán)繞角速率為ωc,可令

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

其導(dǎo)數(shù)沿閉環(huán)系統(tǒng)(13)為

步驟2.定義相位誤差,則.令,當(dāng)時(shí),?→0.

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

其中,k1>0,V2是正定的,其導(dǎo)數(shù)為

令機(jī)器人角速率控制器為

其中,k2>0.

定理 1.機(jī)器人速率與角速率控制器分別為式(11)和式(14)時(shí),系統(tǒng)(7)中距離和相位誤差(ed,eφ)漸近收斂到(0,0),且環(huán)繞角速率固定為ωc,達(dá)到式(5)所示的跟蹤要求,即機(jī)器人穩(wěn)定的環(huán)繞跟蹤靜止目標(biāo).

證明.由式(11)和式(14)可得:

Lyapunov函數(shù)V2的導(dǎo)數(shù)沿上述閉環(huán)系統(tǒng)為:

根據(jù)LaSalle不變集原理[35],距離和相位誤差ed,eφ漸近收斂到不變集,即.當(dāng)ωc>0時(shí),φ=?π/2,機(jī)器人逆時(shí)針環(huán)繞目標(biāo);當(dāng)ωc<0時(shí),φ=π/2,機(jī)器人順時(shí)針環(huán)繞目標(biāo).□

定理1給出了非完整機(jī)器人環(huán)航跟蹤靜止目標(biāo)的漸近穩(wěn)定控制器.與文獻(xiàn)[27]中控制器相比,本文控制器考慮了機(jī)器人速率限制.以靜止目標(biāo)為例,文獻(xiàn)[27]中環(huán)航跟蹤控制器如下所示:

其中,k,k1,k2∈R+,φd=atan(?ωcdc,ked). 在此控制器下,相對(duì)速度νr在視線上的分量為u1cosφd=ked.當(dāng)機(jī)器人速率受限時(shí),參數(shù)k應(yīng)滿足

注5.為滿足式(2)中機(jī)器人速率限制條件,參數(shù)k選取時(shí),需假設(shè)一個(gè)相對(duì)距離誤差的上界,使得.考慮到實(shí)際應(yīng)用中距離d必然存在上下界的情況,即|ed|存在一個(gè)具有一定保守性的上界,上述假設(shè)是合理的.因此,參數(shù)k選取時(shí)應(yīng)滿足.定理1中控制器以fs(ed)替代了控制器(15)中參數(shù)ked,可以選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)fs(·),使得.由式(13)可知,ed的收斂速度與ked或fs(ed)有直接關(guān)系,在此情況下,收斂速度方面本文算法優(yōu)于文獻(xiàn)[27]方法.

2.1.2 有限時(shí)間穩(wěn)定控制器

漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)狀態(tài)隨著時(shí)間趨向于平衡點(diǎn),但不能保證在規(guī)定時(shí)間內(nèi)達(dá)到期望值.進(jìn)一步考慮設(shè)計(jì)機(jī)器人控制器,使相對(duì)距離在有限時(shí)間內(nèi)收斂到期望距離dc,同時(shí)環(huán)繞角速率達(dá)到期望值ωc,即

其中,0

由于在進(jìn)行有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)時(shí)通常需利用不等式進(jìn)行放縮,所以控制器增益取值一般偏大,進(jìn)而導(dǎo)致控制量幅值偏大[30].若直接利用有限時(shí)間控制器,可能會(huì)影響系統(tǒng)的性能,且無(wú)法保證滿足式(2)中機(jī)器人速率限制條件,因此設(shè)計(jì)了輸入受限下的有限時(shí)間飽和控制器(Finite-time saturated controller,FTSC).

定義函數(shù)

其中,x∈R,α∈(0,1),則sigα(·)為連續(xù)的遞增函數(shù),且 sigα(0)=0.

在函數(shù)f(·)的基礎(chǔ)上,構(gòu)造一個(gè)非線性函數(shù)h(·):R→R,

其中,c2>0,且. 函數(shù)h(·)同樣滿足式(8)中條件,即h(·)為有界連續(xù)的遞增函數(shù),且h(0)=0.下文中的hs(·)和hm(·)均為上述形式的函數(shù),且函數(shù)絕對(duì)值的上界分別為.

設(shè)計(jì)控制器

定理 2.機(jī)器人控制器為式(18)和式(19)時(shí),環(huán)航系統(tǒng)(7)中距離和相位誤差(ed,eφ)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到(0,0),滿足式(17)中跟蹤要求,即機(jī)器人軌跡在有限時(shí)間內(nèi)收斂到期望軌跡.

證明.定義一個(gè)非線性函數(shù)χ(·):R→R+,使得h(x)=χ(x)k3sigα(x),?x∈R,則

當(dāng)x有界時(shí),必然存在,使得.考慮到距離誤差ed有界,因此存在,使得對(duì)任意,都有.

環(huán)航系統(tǒng)(7)中控制器為式(18)和式(19)時(shí),

根據(jù)LaSalle不變集原理[35],系統(tǒng)(7)在控制器(18)和(19)作用下在距離和相位誤差為(0,0)處是漸近穩(wěn)定的,進(jìn)一步證明其有限時(shí)間穩(wěn)定.

由于0<α<1,則(α+1)/2∈(0,1).根據(jù)引理2,可得

由引理1,距離和相位誤差(ed,eφ)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到(0,0),且收斂時(shí)間滿足.

綜上所述,對(duì)任意ed∈(?dc,∞),φ∈(?π,π],在控制器(18)和(19)作用下,在有限時(shí)間內(nèi)收斂到,即.

□

注 6.根據(jù)函數(shù)χ(·)的定義,當(dāng)x>c2時(shí),,因此,.可以由相對(duì)距離誤差上界,給出一個(gè)具有一定保守性的下界.當(dāng)工程應(yīng)用中給出規(guī)定的收斂時(shí)間Tf時(shí),通過(guò)選取適當(dāng)?shù)目刂茀?shù)使得,即可保證機(jī)器人軌跡在規(guī)定收斂時(shí)間Tf內(nèi)收斂到期望軌跡.

2.2 情形2:運(yùn)動(dòng)目標(biāo)

針對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo),極坐標(biāo)下環(huán)航跟蹤系統(tǒng)可以表示為

利用反步法設(shè)計(jì)非完整機(jī)器人控制器,實(shí)現(xiàn)對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的環(huán)航跟蹤.并針對(duì)不同的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài),給出參數(shù)選取的方法,使機(jī)器人速率滿足約束條件的同時(shí),提高收斂速度.

步驟1.將φd作為系統(tǒng)(20)中ed和θ子系統(tǒng)的虛擬控制量,令

由式(22)可得,|fm(·)|的上界時(shí),;當(dāng)時(shí),;考慮如式(2)所示機(jī)器人速率限制,對(duì)于滿足假設(shè)條件的運(yùn)動(dòng)目標(biāo),應(yīng)滿足

步驟2.對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)和靜止目標(biāo)的環(huán)航系統(tǒng),均有子系統(tǒng),因此令機(jī)器人角速率輸入控制器為式(14),其中變量由式(22)和式(23)求得.

推論 1.對(duì)于滿足假設(shè)條件的運(yùn)動(dòng)目標(biāo),針對(duì)環(huán)航系統(tǒng)(20)設(shè)計(jì)控制器為式(22)和式(14)時(shí),系統(tǒng)在距離和相位誤差為(0,0)處漸近穩(wěn)定,滿足式(5)中跟蹤要求,實(shí)現(xiàn)對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的環(huán)繞跟蹤.

證明部分與定理1類(lèi)似,此處不再贅述.

在系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的基礎(chǔ)上,結(jié)合有限時(shí)間穩(wěn)定理論設(shè)計(jì)控制器,使運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的環(huán)航跟蹤系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定.令

推論 2.對(duì)于滿足假設(shè)條件的運(yùn)動(dòng)目標(biāo),針對(duì)環(huán)航系統(tǒng)(20)設(shè)計(jì)控制器為式(25)和式(19)時(shí),系統(tǒng)在距離和相位誤差為(0,0)處有限時(shí)間穩(wěn)定,滿足式(17)中要求,機(jī)器人軌跡有限時(shí)間內(nèi)收斂到期望軌跡.

證明部分與定理2類(lèi)似,此處不再贅述.

3 仿真結(jié)果及分析

本節(jié)針對(duì)靜止目標(biāo)、運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤環(huán)航問(wèn)題進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn).并通過(guò)與文獻(xiàn)[27]中控制方法進(jìn)行比較,說(shuō)明本文所提方法的有效性和優(yōu)越性.

為確保仿真實(shí)驗(yàn)的公平性,實(shí)驗(yàn)中選取的機(jī)器人仿真參數(shù)均一致:最大線速度,最小線速度;機(jī)器人初始位置均為,初始航向;目標(biāo)初始位置均設(shè)為;規(guī)定跟蹤距離dc=6 m,環(huán)繞角速率ωc=?0.5 rad/s.為方便選取控制器參數(shù),假設(shè)相對(duì)距離誤差上界為.

3.1 靜止目標(biāo)環(huán)航跟蹤

目標(biāo)靜止時(shí),為使文獻(xiàn)[27]中控制器速率輸入滿足式(2)所示的限制條件,速率控制器(15)中參數(shù).而本文提出的考慮速率約束的反步控制器(11)和有限時(shí)間飽和控制器(18)中,c1=0,參數(shù).

以環(huán)航跟蹤靜止目標(biāo)為例,如注6所述,針對(duì)文中所提的有限時(shí)間飽和控制器,給定一個(gè)合理的收斂時(shí)間Tf,可以設(shè)計(jì)控制參數(shù),使系統(tǒng)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn).根據(jù)仿真數(shù)據(jù),令Tf=20 s.由,可得,.結(jié)合初始相對(duì)位置,可令k1=0.01,k2=5,則.為公平地比較分析三種控制器的不同點(diǎn),本文所提考慮速度受限的反步法角速率控制器(14)和文獻(xiàn)[27]角速率控制器中參數(shù)均設(shè)為k1=0.01,k2=5.

圖2 文獻(xiàn)[27]方法對(duì)靜止目標(biāo)的環(huán)航跟蹤Fig.2 Standofftracking a static target using control strategy in[27]

圖2為利用文獻(xiàn)[27]中控制器時(shí),機(jī)器人環(huán)航跟蹤靜止目標(biāo)的仿真結(jié)果,其中圖2(a)為目標(biāo)位置和機(jī)器人軌跡,圖2(b)和圖2(c)分別為機(jī)器人速率和角速率輸入量u1,u2.圖3和圖4分別為本文所提考慮速度受限時(shí)的反步控制方法和有限時(shí)間飽和控制方法下,機(jī)器人對(duì)靜止目標(biāo)的環(huán)航跟蹤仿真結(jié)果.圖5為三種控制器下對(duì)靜止目標(biāo)環(huán)航跟蹤的相對(duì)距離d和視線角變化率θ的仿真結(jié)果對(duì)比圖.

圖3 反步法對(duì)靜止目標(biāo)的環(huán)航跟蹤Fig.3 Standofftracking a static target using backstepping

由圖5中對(duì)比文獻(xiàn)[27]控制方法和本文考慮速率約束的反步控制方法,可看出,,即兩種控制方法均能實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤.文獻(xiàn)[27]中參數(shù)k需滿足不等式(16)中條件,當(dāng)較大時(shí),必然導(dǎo)致k取值較小.圖2(b)所對(duì)應(yīng)的速率控制器(15)中參數(shù)k已使機(jī)器人初始速率非常逼近,即所選取參數(shù)k已逼近其可選范圍的上界.本文提出的反步控制方法用非線性函數(shù)fs(ed)代替ked,在保證速率符合約束條件的同時(shí),始終滿足|ked|<|fs(ed)|.因此,如圖5所示,本文所提的反步法較文獻(xiàn)[27]中方法,系統(tǒng)收斂速度有明顯的提高.另外,本文反步法控制器參數(shù)選取時(shí),不需要考慮相對(duì)距離誤差上界.

圖4 有限時(shí)間飽和控制方法對(duì)靜止目標(biāo)的環(huán)航跟蹤Fig.4 Standofftracking a static target using FTSC

由圖5仿真結(jié)果對(duì)比本文反步控制方法和有限時(shí)間飽和控制方法,可以看出,反步法控制器能使系統(tǒng)漸近收斂到平衡點(diǎn),而在有限時(shí)間飽和控制器下,,即機(jī)器人在有限時(shí)間飽和控制器下,能在規(guī)定收斂時(shí)間Tf內(nèi)達(dá)到跟蹤要求(17).另外,圖4(c)中,角速率輸入u2在t=14 s左右時(shí),出現(xiàn)較大變化,主要是由于距離誤差收斂到ed=0 m時(shí),變化較大,進(jìn)而導(dǎo)致u2變化.

圖5 三種控制方法對(duì)靜止目標(biāo)的環(huán)航跟蹤結(jié)果對(duì)比Fig.5 Standofftracking a static target with different control strategies

3.2 運(yùn)動(dòng)目標(biāo)環(huán)航跟蹤

運(yùn)動(dòng)目標(biāo)分為勻速目標(biāo)和變速目標(biāo)進(jìn)行仿真分析:

圖6為利用文獻(xiàn)[27]中控制器時(shí),機(jī)器人環(huán)航跟蹤勻速目標(biāo)的仿真結(jié)果,其中圖6(a)為目標(biāo)位置和機(jī)器人軌跡,圖6(b)為相對(duì)距離d和視線角θ的變化曲線,圖6(c)和圖6(d)分別為機(jī)器人速率和角速率輸入量u1,u2.圖7和圖8分別為機(jī)器人在本文所提考慮速度約束反步法和FTSC方法下,針對(duì)勻速目標(biāo)的環(huán)航跟蹤仿真結(jié)果.圖9～11則為三種方法下對(duì)變速目標(biāo)的環(huán)航跟蹤仿真結(jié)果.

對(duì)于勻速目標(biāo)vt= 1m/s,令文獻(xiàn)[27]控制方法中參數(shù)為k= 0.075以滿足,進(jìn)而使機(jī)器人速率輸入滿足式(2)所示的限制條件p; 令本文所提反步√法和FTSC方法中,滿足式(24)中不等式條件.而變速目標(biāo)速率,令文獻(xiàn)[27]控制方法中參數(shù)為k=0.06,本文所提反步法和FTSC方法中.控制器中其他參數(shù)與靜止目標(biāo)環(huán)航控制器參數(shù)一致.

圖6 文獻(xiàn)[27]方法對(duì)勻速目標(biāo)的環(huán)航跟蹤Fig.6 Standofftracking a constant velocity target using control strategy in[27]

圖7 反步法對(duì)勻速目標(biāo)的環(huán)航跟蹤Fig.7 Standofftracking a constant velocity target using backstepping

由圖7和10可以看出,對(duì)任意滿足假設(shè)條件的運(yùn)動(dòng)目標(biāo),機(jī)器人在具有速度約束的反步法控制方案下均能達(dá)到跟蹤要求(5),實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤.與圖6和圖9對(duì)比,機(jī)器人收斂速度明顯較快.本文所提考慮速度約束反步法,較文獻(xiàn)[27]所提方法,具有顯著的優(yōu)勢(shì).

由仿真參數(shù)計(jì)算可得,有限時(shí)間飽和控制器下,對(duì)勻速目標(biāo)的環(huán)航跟蹤系統(tǒng),收斂時(shí)間應(yīng)T≤30 s;對(duì)變速目標(biāo)的環(huán)航跟蹤系統(tǒng),收斂時(shí)間T≤40 s.由圖8和圖11可以看出,機(jī)器人與目標(biāo)相對(duì)距離d和環(huán)繞角速率均能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)達(dá)到期望值.即,對(duì)任意滿足假設(shè)條件的運(yùn)動(dòng)目標(biāo),在本文所提有限時(shí)間飽和控制器下,機(jī)器人軌跡均能在一定時(shí)間內(nèi)收斂到期望軌跡.

圖8 有限時(shí)間飽和控制方法對(duì)勻速目標(biāo)的環(huán)航跟蹤Fig.8 Standofftracking a constant velocity target using FTSC

圖9 文獻(xiàn)[27]方法對(duì)變速目標(biāo)的環(huán)航跟蹤Fig.9 Standofftracking a time-varying velocity target using control strategy in[27]

4 結(jié)論

圖10 反步法對(duì)變速目標(biāo)的環(huán)航跟蹤Fig.10 Standofftracking a time-varying velocity target using backstepping

圖11 有限時(shí)間飽和控制方法對(duì)變速目標(biāo)的環(huán)航跟蹤Fig.11 Standofftracking a time-varying velocity target using FTSC

本文研究了非完整機(jī)器人在二維平面內(nèi)靜止和運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的環(huán)航跟蹤問(wèn)題.針對(duì)靜止目標(biāo),首先給出了一種考慮機(jī)器人輸入約束的反步法控制器,解決了傳統(tǒng)控制方法中存在速率輸入過(guò)大的問(wèn)題,使機(jī)器人以規(guī)定環(huán)繞速率沿期望距離跟蹤目標(biāo).在此基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)了有限時(shí)間飽和控制器,可根據(jù)應(yīng)用中要求的收斂時(shí)間,設(shè)計(jì)合理的控制參數(shù),實(shí)現(xiàn)速度受限情形下,機(jī)器人達(dá)到期望的跟蹤要求.最后,將控制方法推廣到對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤中,并證明了所提方法的可行性.未來(lái)將考慮與協(xié)同控制結(jié)合,將文中控制方法運(yùn)用到多機(jī)器人協(xié)同環(huán)航跟蹤目標(biāo)問(wèn)題中.