圓錐曲線問(wèn)題在高考的常見(jiàn)題型及解題技巧

黃菊香

摘要：圓錐曲線在高考中命題趨勢(shì)近年來(lái)變化比較多，但是圓錐曲線的命題大部分題型與解題方式都比較固定。本文筆者將對(duì)圓錐曲線的命題趨勢(shì)、解題思路以及如何對(duì)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練進(jìn)行探討。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線;解題思路

一、圓錐曲線的命題趨勢(shì)

（一）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問(wèn)題將仍是高考命題熱點(diǎn)，求曲線方程、求弦長(zhǎng)、求面積、求最值、證明某種關(guān)系、證明定值、求軌跡、求參數(shù)的取值范圍、探索型、存在性討論等問(wèn)題也很常見(jiàn)。同時(shí)由于導(dǎo)數(shù)的介入，切線問(wèn)題將更多地引入到綜合性的問(wèn)題中。

（二）圓錐曲線試題在試卷分布中有位置前傾的趨勢(shì)，其目的是加強(qiáng)對(duì)圓錐曲線的基本概念、基本方法、基本技能方面的考查，考查的方式更為靈活，試題的編制也更為新穎。圓錐曲線現(xiàn)在考試中的地位越來(lái)越重要。

（三）綜觀各套高考試題，多以直線與橢圓為載體。試題入口低、觀點(diǎn)高，突出考查解析幾何的基本知識(shí)、基本思想，兼顧對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)能力的考查。

（四）現(xiàn)在圓錐曲線對(duì)于學(xué)生的要求及命題方向

“注重通性通法，淡化特殊技巧”是數(shù)學(xué)大綱中堅(jiān)持的命題思路，歷年高考試卷都體現(xiàn)了這個(gè)指導(dǎo)思想高考注重考查學(xué)生對(duì)基本思想方法（如數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想等）的理解，要求學(xué)生不僅要有知識(shí)的積累，更要有解題方法的歸納，掌握常見(jiàn)的解題方法，并能研究通性通法，體會(huì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。其中涉及比較多的內(nèi)容和方法有以下幾點(diǎn)。

（1）圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的應(yīng)用。這是圓錐曲線的基礎(chǔ)內(nèi)容，在2017年高考各?。▍^(qū)、市）的試卷中都有這方面內(nèi)容的試題，重在考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，以選擇題、填空題為主，為中檔題目。

（2）求曲線方程的問(wèn)題，所涉及的求解方法有定義法、軌跡法、待定系數(shù)法等，是高考中的常規(guī)題型，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，建立起各變量間的等量關(guān)系。

（3）圓錐曲線結(jié)合了函數(shù)、向量、不等式、三角函數(shù)和幾何知識(shí)，是考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力的重要載體。向量具有代數(shù)與幾何的雙重身份，因此解析幾何與平面向量的交匯整合是2017年高考命題的一個(gè)熱點(diǎn);涉及圓錐曲線的弦長(zhǎng)、三角形面積的最值問(wèn)題，常?？梢赞D(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。因此三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí)為這類問(wèn)題的解決提供了新視角，這類問(wèn)題在2017年高考中也得到體現(xiàn)。

二、圓錐曲線解題思路

（一）解析幾何的核心思想一用代數(shù)的方 法解決幾何問(wèn)題。其核心的解題方法是坐標(biāo)法。所謂坐標(biāo)法，就是建立坐標(biāo)系，把幾何對(duì)象轉(zhuǎn)化為代數(shù)對(duì)象，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，利用代數(shù)工具、方法研究并獲得結(jié)論，然后再解釋幾何對(duì)象。

（二）求圓錐曲線軌跡方程的考察題型

求圓錐曲線的軌跡方程步驟可以簡(jiǎn)單概括為：建設(shè)現(xiàn)代化。即建立坐標(biāo)系、設(shè)曲線上任意一點(diǎn)即相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、根據(jù)題目條件列出方程、化簡(jiǎn)方程。

（三）求直線的斜率、線段長(zhǎng)度、方程等問(wèn)題

這類題通常和向量、三角函數(shù)等部分的知識(shí)聯(lián)合考察，對(duì)學(xué)生處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的綜合能力提出了較高的要求。

（四）圓錐曲線和直線的位置關(guān)系問(wèn)題

直線和圓錐曲線的位置關(guān)系也是經(jīng)?？疾斓膬?nèi)容，一般是從代數(shù)和幾何兩部分確定解題思路。直線和圓錐曲線之間有三種關(guān)系：相交、相切、相離。解答這種類型的題要充分掌握?qǐng)A錐曲線的定義，利用數(shù)形結(jié)合的方法解答可以簡(jiǎn)化問(wèn)題。

（五）圓錐曲線和圓結(jié)合的問(wèn)題

圓錐曲線和圓綜合考察的問(wèn)題非常具有挑戰(zhàn)性，能夠充分考察學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)掌握能力和靈活運(yùn)用能力。要熟練掌握?qǐng)A的基本特性和計(jì)算的圓的方程，才能快速的和圓錐曲線連接起來(lái)，快速的解答出答案。

（六）圓錐曲線和向量的綜合問(wèn)題

圓錐曲線和向量的結(jié)合考察通常是利用向量之間的關(guān)系來(lái)得出坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系。有的是問(wèn)題以向量形式出現(xiàn)，有的是求的問(wèn)題用向量的形式考察，總而言之，用向量語(yǔ)言表達(dá)幾何關(guān)系是命題人越來(lái)越鐘愛(ài)的問(wèn)題。學(xué)生在解答這類題型時(shí)一定要先掌握向量部分的基礎(chǔ)知識(shí)，了解向量的意義。解答圓錐曲線和向量的結(jié)合題目關(guān)鍵是利用向量的幾何意義和坐標(biāo)化進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用圓錐曲線的知識(shí)進(jìn)行解答。這類題往往要用到向量的特性，而且需要結(jié)合一元二次方程。

三、教學(xué)問(wèn)題

圓錐曲線的解題教學(xué)方面存在兩個(gè)不良傾向：

（1）刻意地把幾何條件的轉(zhuǎn)化當(dāng)作所謂的‘亮點(diǎn)”有的教師選擇一些幾何條件復(fù)雜、不易轉(zhuǎn)化利用的題目，竭力分析如何巧妙轉(zhuǎn)化，這樣只能增加教師授課的吸引力，但沖談了解析幾何基本思想的落實(shí)。有的教師從幾何條件的分析轉(zhuǎn)化出發(fā)，列出多種方法，剩下的運(yùn)算留待學(xué)生完成。事實(shí)上，幾何條件的轉(zhuǎn)化是為坐標(biāo)法的順利實(shí)施提供支持的。綜觀各套高考試題，考生在讀懂題意方面沒(méi)有較大障礙，能夠盡快厘清條件信息，找到解題思路。其中，幾何條件的轉(zhuǎn)化并不復(fù)雜。

（2）過(guò)分的模式化訓(xùn)練。好多教師習(xí)慣于題型歸類、方法總結(jié)。比如有的教師從易到難劃分題型：位置關(guān)系問(wèn)題、最值與范圍問(wèn)題、定點(diǎn)與定值問(wèn)題、存在性探索性問(wèn)題，等等，并且加以解題訓(xùn)練。通過(guò)各類題目總結(jié)許多“解題模式”，這樣會(huì)給學(xué)生帶來(lái)負(fù)面的“條件反射”事實(shí)上，不管何種題型、不論如何變化，說(shuō)到底只有一種方法一坐標(biāo)法。

四、如何提升學(xué)生解圓錐曲線題的能力

圓錐曲線的內(nèi)容一直是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，其知識(shí)點(diǎn)繁多，對(duì)考生運(yùn)算能力、綜合性都要求很高，分析以上高考命題的特點(diǎn)和趨勢(shì)，我們?cè)趶?fù)習(xí)過(guò)程中始終要做好以下幾點(diǎn)。

（1）夯實(shí)基礎(chǔ)，回歸課本

要對(duì)課本中的圓錐曲線的定義、基本性質(zhì)理解透徹，回到課本中去，回到基礎(chǔ)中去，理清知識(shí)發(fā)生的本源，搭建高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)。注重常規(guī)問(wèn)題的基本解法，抓住通性通法。高考試題很多是源于課本的例題、習(xí)題，因此，對(duì)于課本上的例題、習(xí)題，我們應(yīng)通過(guò)充分挖掘、延伸、變式，落實(shí)對(duì)知識(shí)點(diǎn)的深刻理解，起到舉一反三的作用。

（2）強(qiáng)化運(yùn)算

在幾何問(wèn)題代數(shù)化的過(guò)程中，必然會(huì)帶來(lái)繁雜的運(yùn)算，中學(xué)階段對(duì)運(yùn)算能力的要求集中體現(xiàn)在這里。在運(yùn)算求簡(jiǎn)的過(guò)程中，常見(jiàn)的方法有：回歸定義，以簡(jiǎn)馭繁;設(shè)而不求，整體運(yùn)算;充分運(yùn)用圖形幾何性質(zhì)，簡(jiǎn)化計(jì)算;利用韋達(dá)定理化繁為簡(jiǎn);選用方程適當(dāng)形式，減少運(yùn)算量。

（3）訓(xùn)練思維，提升方法

高考試題側(cè)重于考查知識(shí)的綜合靈活運(yùn)用，著眼于知識(shí)點(diǎn)新穎巧妙的組合，試題新而不偏，活而不過(guò)難，著眼于對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查，要求以數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)知識(shí)、方法的運(yùn)用，整體把握各部分知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。因此在學(xué)習(xí)過(guò)程中要看清知識(shí)發(fā)生的本源，看透知識(shí)的形成過(guò)程、推廣過(guò)程和運(yùn)用過(guò)程，不僅能掌握具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且也能感受、領(lǐng)會(huì)、形成、運(yùn)用內(nèi)在的思想方法。

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（作者單位：柳城縣中學(xué)）