巧用數(shù)形結(jié)合 突破教學瓶頸

■福建省泰寧縣實驗小學 江雪香

日本著名數(shù)學教育學家米山國藏曾指出，使學生終身受益的并不是學生所學的數(shù)學知識，而是銘刻于學生腦海中的數(shù)學思想方法。由此可見，數(shù)學教學承擔著向?qū)W生滲透數(shù)學思想方法的重要使命。其中，數(shù)形結(jié)合思想是小學階段最重要的、最基礎(chǔ)的數(shù)學思想方法之一。何謂數(shù)形結(jié)合呢？就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)形的相互轉(zhuǎn)換來解決數(shù)學問題的思想。

“數(shù)”通過“形”獲得直觀體驗，可以迅速而簡潔地理解數(shù)學題意，所以有人說，一個圖形勝過千言萬語；“形”通過“數(shù)”而得到規(guī)律化的總結(jié)，所以，有萬物皆“數(shù)”的感嘆。這里，結(jié)合自己多年的教學實踐，談一談數(shù)形結(jié)合在小學數(shù)學教學中如何突破教學瓶頸。

一、數(shù)形結(jié)合思想在小學數(shù)學教學中的積極作用

（一）學生的邏輯思維能力能在數(shù)形結(jié)合的思想下得以提升

小學數(shù)學教學中的數(shù)形結(jié)合運用主要是通過數(shù)字與圖形相結(jié)合的方法來解決題目中出現(xiàn)的問題。數(shù)字既包含題目中的已知條件又包含在做題過程中推算出來的結(jié)果，從而將示意圖或者柱狀圖畫出來，再由曲線圖或者柱狀圖來解決題目中出現(xiàn)的問題，為清晰題目了解題意有更直觀的了解。在小學數(shù)學教學中運用和實施數(shù)形結(jié)合的思想，更有利于學生跟著教學老師的思想和步驟探討題意，能夠幫助學生利用有限的已知條件在最短的時間內(nèi)解決問題。

（二）學生的學習積極性能在數(shù)形結(jié)合思想運用過程中得以提升

在小學數(shù)學的實際開展中，數(shù)形結(jié)合的思想能夠使學生們的學習興趣得以激發(fā)，使學生的學習效率得以提高。在學習過程中，老師可以根據(jù)學生在解決問題中遇到的麻煩，充分利用數(shù)形結(jié)合思想的好處，推動學生自主思考、自主探索問題。隨著探索的不斷深入，使學生的運用能力得以提高。

二、數(shù)形結(jié)合思想的運用在小學數(shù)學教學中的意義

（一）利用數(shù)形結(jié)合思想，使學生們的學習積極性得以提升

通過數(shù)形結(jié)合思想，可以讓數(shù)字變得生動起來，這是數(shù)形結(jié)合思想的其中一個優(yōu)勢。因為小學生的邏輯為能力和抽象思維水平并不高，所以在面對較難理解的數(shù)學題時往往會導(dǎo)致學習效率不高，學習積極性的降低。所以小學數(shù)學老師可以利用數(shù)形結(jié)合的方法來引導(dǎo)學生們用一種更直觀的方式看待問題，從而提高學生的學習效率，提升學生們的積極性。

（二）利用數(shù)形結(jié)合思想，使學生更好地掌握數(shù)學知識

在學習過程中，通過數(shù)形結(jié)合的方法，可以使學生較快速度的充分了解數(shù)學知識，從而在數(shù)學知識的學習過程中，在促使學生了解數(shù)學知識的過程中，幫助學生不斷的提高理解題目的能力和舉一反三的能力。

（三）利用數(shù)形結(jié)合的思想，使學生的解題效率得以提高

在教學工作的實施中，為了使教學質(zhì)量得以提高，可以通過數(shù)形結(jié)合思想的靈活運用，不斷地改進教學工作中的授課模式，使學習氛圍得以優(yōu)化，鼓勵所有學生在教學活動中有所參與，這樣不光可以使學生的做題速度和效率得以提高，還能夠使學生的學習自信心得以提升，從而更輕松地學習數(shù)學知識。與此同時，數(shù)學教師可以在課堂的不同時間段安排隨堂小考，以此來對學生的解題速度和解題的效率進行記錄，并且鼓舞學生大膽提出問題、回答問題，從而使其他同學在解決問題的同時，將當堂學習的內(nèi)容再復(fù)習一遍，以達到提高學生課堂學習效率的目的。所以，在日常的教學任務(wù)中，通過數(shù)形結(jié)合的思想來使學生解決問題的效率提高是數(shù)學教師教學任務(wù)的重中之重。例如：在解題過程中，數(shù)學教師可以告訴學生通過判斷原理圖，從而確定題目所考察的知識點，進而提高解題效率。

三、數(shù)形結(jié)合，有效突破教學難點

教學難點就是學生認知過程中矛盾的焦點，是學生學習過程中易于混淆的知識點。它像一塊絆腳石、一只攔路虎，阻礙了學生學習新知識的腳步。只有化解難點、解除疑惑才能保證教學的順暢有效。當然，在一定意義上說，教學難點本身也屬于教學重點。如何有效的突破教學難點呢？數(shù)形結(jié)合是一種行之有效的方法。如教學“比一個數(shù)的幾倍多（少）幾？”“六一節(jié)”小朋友做紅花150朵，比黃花的2倍少10朵，黃花做了多少朵？很多孩子想當然地認為應(yīng)該這樣列式：150÷2-10=65（朵）。如果教師過早地拋出正確列式：（150+10）÷2=80（朵），學生貌似理解了，但過后遇到類似的題目還是會用錯誤的方法解答。本題的難點是“黃花的2倍的對應(yīng)量是多少？”教師通過引導(dǎo)學生畫線段圖就能夠有效地突破這個理解瓶頸。

在本題中，把黃花的朵數(shù)看作單位“1”，先確定好黃花朵數(shù)的長度，再讓學生想一想再畫紅花朵數(shù)的長度。啟發(fā)學生應(yīng)該畫多長?是黃花的兩倍嗎？當然不是，應(yīng)該比2倍少10朵。再追問：那么是黃花朵數(shù)的2倍是150嗎？是(150-10)嗎？為什么？學生就容易理解：不是，紅花150朵本來就不到黃花的2倍，如果再減10朵，不就比2倍更少了，(150+10)才應(yīng)該是黃花2倍的量。這樣，學生對于題意的理解才真正到位，獲得了思維的精彩體驗。自然的，本題要求黃花朵數(shù)即一份量，學生就知道正確列式了。因此，在學生遇到認知障礙時，適時引入線段圖，讓圖形把題目中的數(shù)量關(guān)系準確地、清楚地表達出來。這樣讓學生明白自己錯了并知道錯在哪里，達到知其然且知其所以然的效果。本節(jié)課通過巧用數(shù)形結(jié)合，把抽象的數(shù)學問題用直觀的線段圖表現(xiàn)出來，有效地突破了難點。

四、數(shù)形結(jié)合，準確揭示數(shù)學本質(zhì)

現(xiàn)在，部分教師在數(shù)學教學時只滿足于讓學生掌握基礎(chǔ)知識和基本技能，忽視了對數(shù)學中更深層次的數(shù)學思想和方法的挖掘提升。這是非常膚淺的。事實上，數(shù)學更重要的內(nèi)容恰恰是其背后蘊含的數(shù)學思想與數(shù)學方法，它們才是數(shù)學的本質(zhì)。實踐證明，數(shù)學課堂上合理利用數(shù)形結(jié)合思想方法，能夠由表及里，由淺入深，有效突破教學瓶頸，完美地揭示數(shù)學本質(zhì)。例如，人教版五年級數(shù)學下冊《打電話》，這節(jié)課是一節(jié)綜合應(yīng)用實踐課程。它的教學內(nèi)容抽象難懂，該如何理解打電話中最優(yōu)方案及其運用呢？我做了以下嘗試。出示例題：一個七人合唱隊，接到一個緊急演唱的任務(wù)，教師需要以最快的速度通知每一個隊員參與。如果用打電話的方式，每分鐘通知到一個人。要怎么做才能盡快讓每個隊員都接到通知？先讓學生猜想幾分鐘后能盡快通知到每個隊員。然后，教師問：“你們準備用什么方法進行驗證呢？”學生提出了可以演一演，算一算，畫一畫的方法。絕大部分同學采用了畫一畫的方法。

學生用這樣直觀的圖形表示出自己的想法，從學生1到學生4的圖?？梢钥闯鍪且徊揭徊剿伎嫉倪^程，圖畫得越來越直觀，也可以看出不同層次的學生的思考程度也不同。我們用圖清晰地表示出來合唱隊有7人的情況，如果合唱隊有15人，63人，100人……數(shù)據(jù)越來越大，畫圖法的局限性就顯現(xiàn)出來了。這時，“數(shù)”該請上場了。請大家根據(jù)圖(教師把課件定格在學生4的圖上)填寫以下的表格。

第幾分鐘新接到通知的人數(shù)（人）知道通知的總?cè)藬?shù)（人）1 2 3 4…n 1 2 4 8…2 4 8 1 2n-1 6…2n

學生在填表時前1到3分鐘，直接看圖就可以填了。填到第4分鐘，第5分鐘時學生就得思考接下去該怎么填？有沒有什么規(guī)律可循？第n分鐘時，又該怎么填呢？看似簡單的表格，卻是學生觀察、分析、歸納、總結(jié)的過程。“數(shù)”的出現(xiàn)使學生的思維不光停留在圖形的表象，而是揭示了數(shù)學的本質(zhì)。讓學生感受了幾何倍增學的神奇，進一步優(yōu)化了思想，建立了數(shù)學模型。在教學實踐中，因為合理地采用了數(shù)形結(jié)合的方法，不僅課堂流暢、內(nèi)容飽滿，也讓各個層次的學生在數(shù)學上得到了不同的發(fā)展。

五、以形助數(shù)，理清解決問題的思路

數(shù)學是一門具有抽象性邏輯思維強的科目，對于小學生而言，其中有很多的知識是晦澀難懂的，他們并沒有很好地數(shù)學思維和數(shù)學學習方法，教師一味地采取填鴨式教學，只會增加數(shù)學的枯燥感，降低學生的學習興趣。因此需要利用思維導(dǎo)圖，將教學中的晦澀難懂的知識點或者容易混淆的知識點進行羅列出來，通過圖文并茂的形式，更加直觀的解決這些難題，而且能夠增強學生對這些難題的記憶，加深他們的理解能力，一步步的提高自身的數(shù)學學習水平。像在學習幾何圖形的過程中，很多學生對等腰三角形、等邊三角形和鈍角三角形三者的概念改不清楚，那么教師從各自的特點出發(fā)，為學生建立數(shù)形結(jié)合的學習方法，讓學生在對比的學習方法中掌握相關(guān)的知識。

數(shù)學知識呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，一個單元里面往往包含了很多小知識點，二這些小知識點又分散在單元不同的位置，學生在進行單元學習的時候，往往只會注重單元的中心內(nèi)容，對于這些小知識點很難做到全部的掌握，再加上小學中所學的數(shù)學知識本身就很雜亂，導(dǎo)致大腦中的數(shù)學知識十分的混亂。

《數(shù)學課程標準（2011年版）》明確指出：利用圖形描述問題和分析問題，有助于復(fù)雜問題簡明化，從而找到探索問題的思路并對結(jié)果進行預(yù)測。這就要求教師能引導(dǎo)學生將抽象的問題直觀化、形象化。在學生動手操作過程中，主動思考，突破思維障礙，進而找到解決問題的思路和方法。例如人教版五年級下冊《分數(shù)的加減法混合運算》中需要解決《喝牛奶問題》：一杯純牛奶，樂樂喝了半杯后，覺得有些涼，就兌滿了熱水。他又喝了半杯，就出去玩了，樂樂一共喝了多少杯純牛奶?多少杯水？

這節(jié)課的學習與教學瓶頸是例題中在沒有出現(xiàn)一個相應(yīng)的分數(shù)，也無法準確知道在兌水后喝完的半杯里面牛奶和水分別是多少杯？課前我布置學生先預(yù)習，有條件的可以像樂樂那樣喝牛奶。

第二天我檢查預(yù)習情況時，聽到所有學生說：“在牛奶里加上水，牛奶味越來越淡，越來越難喝?！苯處煟骸盀槭裁磿絹碓降兀俊睂W生回答：“因為里面加了水?！币灿腥苏f“水多了牛奶少了”。這些是學生最感性的認識。教師追問：“第一次兌水后，樂樂分別喝了多少杯牛奶，多少杯水？”這個問題一拋出，教室里頓時安靜了。教師：“我們可以用什么方法來分析呢？對，大家可以畫一畫，那請把自己的想法試著畫出來吧。”

像圖1這樣畫的學生對第二次喝牛奶還只有一個整體的感受。

像圖2這樣畫的學生是這樣解釋的：第二次喝掉的半杯里一半是牛奶，一半是水。因為牛奶和水混合在一起了。這時喝的牛奶是半杯的一半，所以也就是整杯的水也喝了杯。牛奶一共喝杯。像圖3這樣的圖畫的也非常地直觀，他的解釋同圖2的學生。教學中，教師放手讓學生把自己的想法借助圖形展開分析、想象，既幫助學生理解了題意，又直觀地畫出了第二次喝的半杯里牛奶和水分別是多少杯。學生從圖中一眼就看明白了難懂的杯的一半與整杯之間的關(guān)系。本課中用“形”的直觀啟迪“數(shù)”的計算，為這無一具體數(shù)字的題目探索了解決問題的思路和方法?？梢姡瑪?shù)學教學中巧用數(shù)形結(jié)合，既可以把抽象的數(shù)學問題直觀明了化；也可以把習以為常的生活問題提煉成數(shù)學知識、揭示數(shù)學規(guī)律。從而，突破教學瓶頸，打通教學環(huán)節(jié)，實現(xiàn)教學相長。作為一種行之有效的數(shù)學方法，教師要在數(shù)學教學中滲透數(shù)形結(jié)合的思想，逐步培養(yǎng)學生利用數(shù)形結(jié)合解決問題的意識和能力，實現(xiàn)讓數(shù)形結(jié)合為學生呈現(xiàn)一個嶄新的數(shù)學世界的教學目的。