基于紅移畸變測(cè)量宇宙結(jié)構(gòu)增長率的進(jìn)展

史 峰，楊小虎

(1.中國科學(xué)院上海天文臺(tái)星系與宇宙學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200030； 2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049；3.上海交通大學(xué)天文系上海市粒子物理和宇宙學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200240)

1 引言

從人類第一次探測(cè)到宇宙加速膨脹[1,2]至今已經(jīng)過去20年。宇宙加速膨脹是天文學(xué)史上最重要的發(fā)現(xiàn)之一，但背后的物理機(jī)制仍在爭論之中。標(biāo)準(zhǔn)的含宇宙學(xué)常數(shù)的冷暗物質(zhì)模型(Λ cold dark matter model, ΛCDM)已經(jīng)取得成功，但也有可能在宇宙學(xué)尺度上的廣義相對(duì)論框架下失效，因此需要更多觀測(cè)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)引力模型。盡管各種觀測(cè)，如Ia 型超新星爆炸、宇宙微波背景輻射和重子聲波震蕩等，可以給出加速膨脹存在的證據(jù)，但并不能提供模型約束，以區(qū)分膨脹機(jī)制符合暗能量驅(qū)動(dòng)模型，還是引力修正模型[3]。

事實(shí)上，星系空間分布能反映宇宙背景物質(zhì)的分布，通過測(cè)量星系的兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)或功率譜，可以約束暗能量性質(zhì)或引力模式。如果宇宙在大尺度上是各向同性和均勻的，那么，相關(guān)函數(shù)或者功率譜應(yīng)該是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的。但實(shí)際觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，它們是角度依賴的，這正是由于引力拉拽引起的星系本動(dòng)速度造成的。本動(dòng)速度會(huì)給觀測(cè)到的紅移附加一個(gè)額外的多普勒紅移，導(dǎo)致根據(jù)觀測(cè)紅移推算的星系距離與宇宙學(xué)紅移對(duì)應(yīng)的真實(shí)距離存在偏差，引起星系空間分布的畸變。這種畸變現(xiàn)象會(huì)使星系成團(tuán)性在大尺度上因受擠壓而增強(qiáng)(即Kaiser 效應(yīng)[4])，在小尺度上因被拉伸而減弱[被稱為“上帝的手指”(finger of God, FOG)效應(yīng)[5,6]]。在線性尺度上，Kaiser 效應(yīng)的程度依賴于本動(dòng)速度場的振幅強(qiáng)度，通常定義為fσ8，其中，f= d(lnD)/d(lna)，表征宇宙的結(jié)構(gòu)增長率，D是線性增長因子，a是尺度因子；σ8是半徑為8h?1Mpc 范圍內(nèi)的物質(zhì)成團(tuán)強(qiáng)度，其中，h=H0/100，H0為哈勃常數(shù)。通常情況下，f=(z)，其中，?m(z)為紅移z處的物質(zhì)密度參數(shù)，γ為增長指數(shù)。人們可以通過測(cè)量fσ8隨紅移的演化關(guān)系來檢驗(yàn)引力模型[7]，例如，廣義相對(duì)論框架下的ΛCDM 模型給出的預(yù)測(cè)為γ= 0.55[8]。另外，由于結(jié)構(gòu)增長率隨紅移的演化依賴于暗能量的狀態(tài)方程，因此，人們可以通過測(cè)量fσ8來限制暗能量的性質(zhì)。然而，僅依賴紅移畸變的線性效應(yīng)很難精準(zhǔn)測(cè)量fσ8[9–11]，還需要考慮非線性效應(yīng)和來自星系偏袒的高階誤差，因此，需要引入更精準(zhǔn)、更復(fù)雜的紅移畸變模型。紅移畸變的信號(hào)可以通過相關(guān)函數(shù)或功率譜測(cè)量，該方法已成功地應(yīng)用在了星系巡天數(shù)據(jù)上，如6dFGS[3], WiggleZ[12], VIPERS[13]和SDSS[14–20]等。本文將主要介紹紅移畸變模型的發(fā)展，并回顧近幾年宇宙結(jié)構(gòu)增長率的實(shí)測(cè)進(jìn)展。

本文結(jié)構(gòu)如下：第2章概述紅移畸變問題和模型；第3 章介紹主要的星系紅移巡天項(xiàng)目和相關(guān)的fσ8測(cè)量，并討論其與ΛCDM 模型預(yù)測(cè)的符合程度；第4 章給出總結(jié)和展望。

2 紅移畸變問題概述

2.1 畸變的星系空間分布

星系空間分布是描述宇宙的一個(gè)重要參量[21]，它能刻畫出宇宙物質(zhì)的分布特征，區(qū)分不同的宇宙學(xué)模型[22–26]，也可以用來建立星系和暗物質(zhì)(暈)之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)[25,27–29]，幫助我們理解星系在密度場里的形成和演化過程。2度視場星系紅移巡天(2 degree Field Galaxy Redshift Survey, 2dFGRS)[30]和斯隆數(shù)字化巡天(SDSS)[31]等星系紅移巡天的主要目標(biāo)，便是依據(jù)光譜紅移測(cè)距，詳細(xì)刻畫星系的三維空間分布。

一般來講，在平宇宙下，星系的共動(dòng)距離rcov與紅移z的關(guān)系如下：

其中，?Λ是真空能量密度參數(shù)，?m是物質(zhì)密度參數(shù)。事實(shí)上，觀測(cè)到的星系紅移zobs不僅包含宇宙學(xué)紅移zcos，還有沿視線方向的本動(dòng)速度vpec引起的多普勒紅移zpec的貢獻(xiàn)，它們?cè)诜窍鄬?duì)論情況下有如下關(guān)系：

其中c是光速。觀測(cè)紅移對(duì)應(yīng)的距離一般稱為紅移距離rcov(zobs)，它顯然不同于宇宙學(xué)紅移對(duì)應(yīng)的真實(shí)距離rcov(zcos)。由于本動(dòng)速度的存在，觀測(cè)紅移對(duì)應(yīng)的距離并不是星系距離的真實(shí)反應(yīng)，紅移空間的星系分布是扭曲畸變的，與其真實(shí)分布存在系統(tǒng)性偏差，這種現(xiàn)象叫做紅移畸變效應(yīng)。紅移畸變現(xiàn)象最早是在早期的紅移巡天[32–34]中被發(fā)現(xiàn)的。Peacock 等人[23]在2001年利用2dFGRS 數(shù)據(jù)測(cè)量了星系的兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)，給出了清晰的紅移畸變信號(hào)。圖1 所示的二維兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)ξ(r0,rπ)表示的是在垂直距離r0和視線距離rπ下發(fā)現(xiàn)星系對(duì)的概率超過隨機(jī)分布的程度。在一個(gè)各向同性的宇宙里，這個(gè)函數(shù)應(yīng)該是不依賴于觀測(cè)方向的。但在紅移空間，該函數(shù)明顯是各向異性的，在小尺度和大尺度上分別被拉伸和擠壓，以致其偏離了真實(shí)分布的各向同性。紅移畸變?cè)斐傻倪@種各向異性效應(yīng)，導(dǎo)致我們不能直接獲得星系在實(shí)空間的分布和成團(tuán)信息。

另一方面，雖然紅移畸變有礙于還原真實(shí)空間的星系成團(tuán)性，但它可以被用來提取宇宙學(xué)信息。星系的本動(dòng)速度會(huì)導(dǎo)致二維相關(guān)函數(shù)的大尺度上的擠壓效應(yīng)(Kaiser 效應(yīng)[4])。在結(jié)構(gòu)形成的引力不穩(wěn)定性模型里，它由引力勢(shì)梯度造成的物質(zhì)內(nèi)流運(yùn)動(dòng)引起，與物質(zhì)密度漲落密切相關(guān)，因此，速度場示蹤著大尺度結(jié)構(gòu)的擾動(dòng)增長。連續(xù)性方程給出了線性理論下速度場v(x)與密度場δ(x)之間的關(guān)系：

圖1 2dFGRS 巡天中測(cè)到的二維兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)[23]

其中，γ是增長指數(shù)[35]，它是檢測(cè)引力模型的重要指標(biāo)，例如，ΛCDM 模型預(yù)測(cè)γ= 0.55，而DGP (Dvali-Gabadadze-Porrati)引力模型[36]和f(R)引力模型則分別給出γ= 0.68 和γ= 0.42。因此，我們可以用結(jié)構(gòu)增長率隨紅移的演化去檢驗(yàn)引力模型。目前，該方法已經(jīng)被成功地應(yīng)用于相關(guān)的巡天數(shù)據(jù)上，如6dFGS[3], WiggleZ[12], VIPERS[13]和SDSS[14–20]等。

2.2 紅移畸變模型

紅移畸變效應(yīng)可以被用來有效限制結(jié)構(gòu)增長率，為此，人們不僅需要精確測(cè)量紅移畸變信號(hào)，還需要精確的模型描述。只有把兩者結(jié)合起來，才能給出宇宙學(xué)參數(shù)擬合限制，因此如何定量描述紅移畸變效應(yīng)是一個(gè)重要問題。一般來說，紅移畸變信號(hào)可以用相關(guān)函數(shù)或者功率譜來表達(dá)。兩者在理論上是等價(jià)的，但由于功率譜模型的數(shù)學(xué)形式簡單，且物理圖像清晰，因此，我們將主要討論功率譜模型。表1 列舉了18 個(gè)準(zhǔn)線性尺度下的紅移空間功率譜模型。接下來我們將主要討論這些模型[12]。

表1 準(zhǔn)線性尺度下的紅移空間功率譜模型列舉[12]

2.2.1 密度和速度功率譜

本動(dòng)速度使星系密度擾動(dòng)場δg產(chǎn)生變化。在傅里葉空間，紅移空間的擾動(dòng)場可表達(dá)為：

其中，k為物質(zhì)密度場在傅里葉空間下的波數(shù)，θ(k)是本動(dòng)速度Vpec(共動(dòng)速度量綱)的散度θ=?·u的傅里葉變換，μ是傅里葉模與視線方向夾角的余弦。式(5)中，我們假設(shè)，星系間隔距離遠(yuǎn)小于星系相對(duì)于觀測(cè)者的距離，δg和θ都是較小的，速度場u是無旋的，且連續(xù)性方程成立。在這種情況下，紅移空間星系功率譜可以表達(dá)為：

其中，Pgg(k),Pgθ(k)和Pθθ分別是各向同性的星系-星系，星系-θ和θ-θ的功率譜。為簡單起見，以下把Pθθ表述為速度功率譜(實(shí)際上是速度散度場的功率譜)。根據(jù)線性擾動(dòng)理論，

其中δ(k)是δ(x)的傅里葉轉(zhuǎn)換。假設(shè)一個(gè)與尺度無關(guān)的線性偏袒參數(shù)b，則δg=bδ,Pgg=b2Pδδ,Pgθ=?bfPδδ,Pθθ=f2Pδδ，其中Pδδ是物質(zhì)功率譜。那么，式(6)可以變?yōu)椋?/p>

式(8)就是著名的Kaiser 公式[4]，其中β=f/b，表征著紅移畸變各向異性的程度，另外也假設(shè)了星系與物質(zhì)之間沒有速度偏差[45]。

數(shù)值模擬和觀測(cè)都表明，式(8)并不適用于描述準(zhǔn)線性或更小尺度上的星系成團(tuán)性。在k >0.02h?1Mpc 時(shí)，模型預(yù)測(cè)與觀測(cè)結(jié)果有顯著偏離[46,47]，原因就在于小尺度的非線性結(jié)構(gòu)增長導(dǎo)致式(7)失效[48]。非線性演化表明，給定的密度擾動(dòng)δ產(chǎn)生的一定范圍內(nèi)的θ值，平滑了紅移空間密度擾動(dòng)場，導(dǎo)致θ功率譜衰減。若不考慮這種非線性衰減，就會(huì)引起系統(tǒng)性誤差，故在約束線性結(jié)構(gòu)增長率f時(shí)，有必要引入非線性修正方法。

2.2.2 經(jīng)驗(yàn)性的非線性速度場模型

為了描述非線性紅移畸變效應(yīng)，標(biāo)準(zhǔn)的流注模型(streaming model)中，在式(6)的基礎(chǔ)上，乘上一個(gè)衰減因子F，表示其與非相關(guān)星系小尺度上運(yùn)動(dòng)的卷積，

衰減因子通常有兩種表達(dá)形式：洛倫茲形式F=[1+(kσvμ)2]?1和高斯形式F=exp[?(kσvμ)2]，它們分別表示指數(shù)和高斯卷積形式。這兩種表達(dá)形式中都引入了一個(gè)額外變量σv。有研究[24,49]表明，用洛倫茲形式可以更好地?cái)M合數(shù)據(jù)。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，若功率譜是根據(jù)線性理論計(jì)算的，則采用表1 中的模型1：

若是非線性功率譜，則采用模型2：

經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ推鹪从谔s結(jié)構(gòu)里的位力化運(yùn)動(dòng)，但F的形式和σv的數(shù)值強(qiáng)烈依賴于一些細(xì)節(jié)描述，如星系類型、暗暈質(zhì)量和衛(wèi)星星系比例等。

2.2.3 擾動(dòng)理論方法

另一種方法是用擾動(dòng)理論來刻畫準(zhǔn)線性尺度上的紅移空間星系成團(tuán)性。與經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ拖啾?，這種方法最大的優(yōu)點(diǎn)是物理解釋清晰，但不足之處是適用尺度有限，且依賴于擾動(dòng)膨脹模式。最常用的擾動(dòng)理論有標(biāo)準(zhǔn)擾動(dòng)理論(standard perturbation theory, SPT)和重整化的擾動(dòng)理論(renormalized peturbation theory, RPT)。

非線性假設(shè)可能會(huì)改變紅移空間功率譜對(duì)μ的依賴性。Scoccimarro[50]在2004年建議使用準(zhǔn)線性密度和速度功率譜：

其中，

式(12)中的功率譜Pgg, Pgθ和Pθθ都可以通過擾動(dòng)理論生成，其衰減因子與式(9)中F的高斯形式相同，但描述的物理尺度不同，這里是嘗試刻畫準(zhǔn)線性尺度的功率譜，而不是式(9)中較小的位力尺度，當(dāng)然也允許加上一個(gè)小尺度的衰減因子。表1 中模型3—10 對(duì)應(yīng)著SPT或RPT 理論與不同衰減模式組合的模型。

最后要介紹的擾動(dòng)理論方法是Matsubara[41]以及Taruya 等人[42]提出的，他們將準(zhǔn)線性尺度的擾動(dòng)理論模型對(duì)μ的依賴精度提高到μ6，表達(dá)式如下：

其中，n為級(jí)數(shù)展開的序列標(biāo)號(hào)，系數(shù)An(k)是f的方程。Matsubara 用的是全角度依賴的SPT (模型11—12)；Taruya 等人的模型則加入了來自密度場和速度場高階耦合的功率譜信息(模型13—15)。

2.2.4 數(shù)值模擬擬合方法

暗物質(zhì)n體數(shù)值模擬也可以用來校正準(zhǔn)線性尺度下的Pδδ(k),Pδθ和Pθθ的功率譜擬合形式。這樣做的最大優(yōu)點(diǎn)就是不受尺度限制，可以得到比擾動(dòng)理論更多尺度上的可靠信息，缺點(diǎn)是效率太慢，計(jì)算耗時(shí)，且不能保證對(duì)不同宇宙學(xué)參數(shù)的普適性。

Smith 等人[43]2003年給出了一個(gè)后來被廣泛采用的擬合非線性功率譜Pδδ的方法。Jennings 等人[44]2011年提出了Pδθ和Pθθ數(shù)值模擬校正的擬合形式，這種形式可結(jié)合不同的衰減模式，具體見表1 中的模型16—18。

3 宇宙結(jié)構(gòu)增長率的實(shí)測(cè)進(jìn)展

通過對(duì)紅移畸變的觀測(cè)，人們可以獲取星系本動(dòng)速度的統(tǒng)計(jì)特性。這是一種探測(cè)宇宙結(jié)構(gòu)增長歷史的有效方法。由于星系更多地被認(rèn)為是背景物質(zhì)分布的示蹤粒子，因此，傳統(tǒng)的方法需要加入偏袒參數(shù)b，如測(cè)量組合參數(shù)β=f/b。然而，由于背景分布無法直接觀測(cè)，故很難直接提取出宇宙結(jié)構(gòu)增長信息。為了避免估算b所引起的不確定性，從2009年起，大部分結(jié)構(gòu)增長率的測(cè)量都是以fσ8為參數(shù)組合進(jìn)行約束的[7,51]。這樣做的最大優(yōu)點(diǎn)是不需要知道b或σ8以提取f的信息，而只需要用fσ8就可以檢驗(yàn)引力模型。

本章將從觀測(cè)數(shù)據(jù)的角度，總結(jié)近幾年基于紅移畸變效應(yīng)測(cè)量fσ8的研究進(jìn)展。我們首先介紹近幾年主要的光譜紅移巡天項(xiàng)目，如WiggleZ, 6dFGS, VIPERS 和SDSS。這些巡天觀測(cè)給出了宇宙中不同天區(qū)和不同深度的星系分布，為探索宇宙提供了豐富的星系樣本。表2 給出了相關(guān)巡天的星系樣本，列舉了樣本的紅移范圍、天區(qū)所占面積和星系數(shù)量等信息。人們利用這些樣本完成了不同紅移處fσ8的測(cè)量。我們將著重介紹這部分測(cè)量的方法和結(jié)果，總結(jié)出一個(gè)2009年以來所發(fā)表的較為完整的fσ8測(cè)量樣本[52]，并討論所得結(jié)果與ΛCDM模型整體的符合程度。

表2 紅移巡天的星系樣本

3.1 WiggleZ暗能量巡天

WiggleZ 暗能量巡天[53]是在紫外波段(UV)對(duì)發(fā)射線星系的大尺度光譜紅移巡天，它所利用的是3.9 m 口徑的英澳望遠(yuǎn)鏡(Anglo-Australian Telescope)。該望遠(yuǎn)鏡的巡天體積相當(dāng)于1 Gpc3的宇宙體積，天區(qū)覆蓋面積為1 000 deg2，近紫外處極限流量小于22.8 mag。該巡天的主要目標(biāo)是探測(cè)重子聲波震蕩，測(cè)量宇宙的膨脹速率和結(jié)構(gòu)增長率，其探測(cè)紅移范圍為0.2

2011年，Blake 等人[12]發(fā)表了基于WiggleZ 巡天的測(cè)量結(jié)果。他們利用紅移畸變星系功率譜模型精確測(cè)量的0.1

為了擬合觀測(cè)功率譜，Blake 等人測(cè)試了表1 中所有18 種不同的功率譜模型，其中包括經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?、擾動(dòng)理論模型和n體模擬校正的擬合模型。他們最終發(fā)現(xiàn)，Jennings 等人[46]的模型(模型16)總是能產(chǎn)生最佳擬合值，在紅移為0.22, 0.41, 0.6, 0.78 處，fσ8分別為0.42±0.07,0.45±0.04,0.43±0.04,0.38±0.04。這些結(jié)構(gòu)增長率的測(cè)量結(jié)果整體上與廣義相對(duì)論框架下?m=0.27 的平直ΛCDM 宇宙學(xué)的預(yù)測(cè)結(jié)果相一致。

3.2 6dFGS

6dFGS (6 degree Field Galaxy Survey)[54,60,61]是一個(gè)近紅外紅移巡天，天區(qū)覆蓋面積達(dá)17 000 deg2，大約覆蓋了南天的4/5，平均完備度是92%，紅移最深處為z= 0.1。它的最終數(shù)據(jù)[54]在2009年釋放。它是當(dāng)時(shí)最大的近鄰宇宙紅移巡天，所觀測(cè)到的星系數(shù)有125 071 個(gè)。近紅外測(cè)光選擇是基于來自2MASS XSC(Two Micron All-Sky Survey-Extended Source Catalog)樣本的總星等。6dFGS 的光譜紅移是通過英國的施密特望遠(yuǎn)鏡多天體攝譜儀在2001—2006年間觀測(cè)得來的。該樣本的有效體積與2dFGRS[30,62]相當(dāng)，稍小于SDSS DR7[63]主樣本的1/3。

2012年，Beutler 等人[3]給出了基于6dFGS 的測(cè)量結(jié)果，這是當(dāng)時(shí)所有測(cè)量中紅移最低(z= 0.067)的測(cè)量。由于Ia 型超新星爆炸、宇宙微波背景輻射和重子聲波震蕩觀測(cè)可以用來探測(cè)宇宙加速膨脹的現(xiàn)象，但它們不能區(qū)分出膨脹背后的物理機(jī)制是暗能量驅(qū)動(dòng)，還是引力修正問題，因此，需要對(duì)fσ8進(jìn)行測(cè)量。然而，對(duì)于ΛCDM 模型和大部分引力修正模型，低紅移結(jié)構(gòu)增長的測(cè)量結(jié)果比高紅移的更容易被用來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，因?yàn)樵诟呒t移處，物質(zhì)密度主導(dǎo)著宇宙的膨脹和擾動(dòng)的增長。隨著宇宙的膨脹，在低紅移處它們退簡并，轉(zhuǎn)變?yōu)榘的芰恐鲗?dǎo)膨脹，而物質(zhì)密度更多地主導(dǎo)擾動(dòng)增長。因此，作為最大的低紅移星系巡天之一，6dFGS 為測(cè)量結(jié)構(gòu)增長率提供了一個(gè)超低紅移的數(shù)據(jù)樣本，以有效地檢驗(yàn)宇宙尺度引力模型。另一方面，星系成團(tuán)性測(cè)量通常需要考慮AP (Alcock-Paczynski)效應(yīng)，即在錯(cuò)誤的宇宙學(xué)假設(shè)下估算星系距離，會(huì)使星系成團(tuán)性測(cè)量偏離各向同性。在低紅移處，AP 效應(yīng)非常小，測(cè)量結(jié)果基本獨(dú)立于宇宙學(xué)模型的假設(shè)。

Beulter 等人測(cè)量了6dFGS 的二維兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)，并利用紅移畸變模型擬合限制參數(shù)，結(jié)果顯示，f(zeff)σ8(zeff)= 0.423±0.055,bσ8(zeff)= 1.134±0.073，其中有效紅移zeff= 0.067。需要注意的是，與高紅移的限制不同，低紅移的限制并不依賴于宇宙膨脹歷史的假設(shè)。

3.3 VIPERS

VIPERS (VIMOS Public Extragalactic Redshift Survey)的星系樣本來源于CFHTLSWide (Canada-France-Hawaii Telescope Legacy Survey Wide)的光學(xué)測(cè)光目錄，其天區(qū)覆蓋面積為23.5 deg2，分為CFHTLS 場中的W1 和W4 兩個(gè)區(qū)域。通過基于(r ?i)和(u ?g)的顏色預(yù)篩選，極限視星等被限制在22.5 mag，因此，紅移在0.5

VIPERS 巡天的首要目標(biāo)是精確測(cè)量紅移z= 1 附近的宇宙結(jié)構(gòu)增長率， 尤其側(cè)重于檢驗(yàn)高紅移處的宇宙膨脹模式，填補(bǔ)高紅移測(cè)量的空白。de la Torre 等人[13]在2013年發(fā)表了首批VIPERS 數(shù)據(jù)。他們 的測(cè)量結(jié)果為，在紅移z= 0.8 處，fσ8= 0.47±0.08。在2017年，de la Torre 等人[67]發(fā)表了VIPERS 的最終觀測(cè)數(shù)據(jù)的測(cè)量結(jié)果。他們結(jié)合紅移畸變模型和星系-星系弱引力透鏡，測(cè)量了紅移z= 0.6 和z= 0.86 兩處 的fσ8，其結(jié)果分別為fσ8= 0.48±0.12 和fσ8= 0.48±0.10。同時(shí)，Pezzotta 等人[68]采用不同的紅移畸變模型，也得出，紅移在z= 0.6 和z= 0.86 的測(cè)量結(jié)果分別為fσ8= 0.55±0.12 和fσ8=0.40±0.11。另外，Hawken 等人[69]采用空洞-星系互相關(guān)模型得出，紅移在z=0.727的結(jié)果為

3.4 SDSS

SDSS(Sloan Digital Sky Survey)[31]利用的是APO(Apache Point Observatory)的2.5 m口徑光學(xué)望遠(yuǎn)鏡。SDSS 是目前世界上最大的光譜紅移巡天觀測(cè)，它為宇宙學(xué)的分析提供了強(qiáng)有力的數(shù)據(jù)來源。在SDSS 的前兩個(gè)階段(一般稱為SDSS-I 和SDSS-II)，有將近百萬個(gè)星系的光譜紅移被測(cè)量[63]。BOSS (Baryon Oscillation Spectroscopic Survey)[70]是SDSSIII[71]中的大尺度光譜觀測(cè)項(xiàng)目，已完成對(duì)視星等i大于19.9 mag，數(shù)量超過1.5×106的星系，以及視星等g大于22 mag，數(shù)量超過1.5×105的類星體的光譜測(cè)量。SDSS-IV 開始于2014年7月，其目標(biāo)是對(duì)三種不同任務(wù)的項(xiàng)目進(jìn)行觀測(cè)，其中，APOGEE/APOGEE-2(APO Galactic Evolution Experiment)[72]觀測(cè)300 000 顆恒星的高精度紅外光譜，以研究銀河系的演化歷史和化學(xué)豐度；MaNGA (Mapping Nearby Galaxies at APO)[73]利用BOSS 的攝譜儀測(cè)量近10 000 個(gè)星系的內(nèi)部結(jié)構(gòu)；eBOSS(Extended Baryon Oscillation Spectroscopic Survey)則是SDSS-IV 中新的宇宙學(xué)巡天項(xiàng)目。

SDSS-I 和SDSS-II 給出了兩種觀測(cè)樣本：r 波段選擇的MGS (Main Galaxy Sample)[74]和較高紅移的LRG (Luminous Red Galaxies)樣本[75]。SDSS-III 中的BOSS 巡天，給出了一個(gè)中值紅移為z ≈0.57 的CMASS 樣本和一個(gè)中值紅移為z ≈0.37 的LOWZ 樣本，以擴(kuò)充SDSS-II 的LRG 樣本到更暗的星系，從而使星系數(shù)密度增加將近3 倍。SDSS-IV 則將把LRG 樣本擴(kuò)展到更大的紅移處，并同時(shí)觀測(cè)類星體和發(fā)射線星系。

SDSS 是在u, g, r, i, z 共5 個(gè)波段進(jìn)行觀測(cè)，并在具體選樣時(shí)會(huì)根據(jù)紅移、極限視星等和顏色等進(jìn)行分類。MGS 樣本一般可從NYU-VAGC (New York University Value-Added Galaxy Catalog)中獲得，如Ross 等人[56]只選取北天的完備度大于0.9 的6 813 deg2天區(qū)，其紅移范圍為0.07< z <0.2，r 波段絕對(duì)星等為Mr< ?21.2，顏色g ?r >0.8。他們最終獲得了包含63 163 個(gè)星系的樣本。LRG 樣本是針對(duì)亮紅星系的選樣，如Yamamoto 等人[57]選取的紅移范圍是0.16< z <0.47，當(dāng)只選取北天天區(qū)時(shí)，其天區(qū)覆蓋面積約為7 150 deg2，對(duì)應(yīng)的巡天體積近1.3h?3Gpc3，星系數(shù)量達(dá)100 157。在BOSS DR12[58]中，CMASS的紅移范圍為0.43< z <0.7，極限視星等r <22.5 mag，天區(qū)覆蓋面積為9 376 deg2，對(duì)應(yīng)的巡天體積相當(dāng)于10.8 Gpc3的宇宙體積，包含777 202 個(gè)星系; LOWZ 的紅移范圍為0.15< z <0.43，天區(qū)覆蓋面積為8 337 deg2，巡天體積相當(dāng)于3.7 Gpc3的宇宙體積，星系數(shù)量為361 762。

3.4.1 基于LRG 和MGS 樣本的測(cè)量

2012年，Samushia 等人[76]給出了基于SDSS-LRG 數(shù)據(jù)的測(cè)量結(jié)果。他們側(cè)重于觀測(cè)上的測(cè)量問題，研究各種影響大尺度成團(tuán)性的測(cè)量因素，包括廣角(wide-angle)修正、樣本邊界和星系的徑向分布模型等。

廣角修正問題是指，如果星系對(duì)相對(duì)于觀測(cè)者所張的角度非常大，那么，星系對(duì)之間的距離就會(huì)足夠大，以致破壞平面平行近似，使得紅移空間的相關(guān)函數(shù)和功率譜會(huì)依賴于額外的變量張角α。而復(fù)雜的巡天邊界會(huì)讓星系對(duì)分布更多地依賴于r,μ,α這三個(gè)變量，這些依賴關(guān)系，特別是對(duì)μ的依賴關(guān)系會(huì)影響相關(guān)函數(shù)極矩的測(cè)量。超大尺度的紅移畸變效應(yīng)并不能為數(shù)據(jù)分析提供太多信息，因?yàn)闇y(cè)量信噪比在超過100h?1Mpc 的尺度上會(huì)變得很低。為減少小尺度的非線性效應(yīng)的影響，星系的徑向分布需要被更好地描述，這樣，更大尺度上的成團(tuán)信息才能被利用[77,78]，宇宙學(xué)參數(shù)才會(huì)得到更精確的限制。更重要的是，一些物理過程只保留在大尺度成團(tuán)性上，例如，宇宙的非高斯初始條件有可能在大尺度的星系成團(tuán)性中被探測(cè)到[79,80]。

在考慮了上述效應(yīng)后，Samushia 等人利用模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行了詳細(xì)測(cè)試，以評(píng)估哪些因素會(huì)使真實(shí)數(shù)據(jù)偏離平面平行近似下線性的紅移畸變模型。他們的結(jié)果顯示，對(duì)于SDSS-LRG樣本，廣角效應(yīng)比較小，在200h?1Mpc 內(nèi)可以完全忽略；μ依賴的非各向同性效應(yīng)也比較小，但它比廣角效應(yīng)要大些，會(huì)在未來巡天觀測(cè)中產(chǎn)生重要影響；大尺度上，超過60h?1Mpc 的測(cè)量信噪比將會(huì)很低，對(duì)結(jié)果精度的提高不會(huì)有實(shí)質(zhì)幫助。最終，Samushia等人基于SDSS-LRG 樣本測(cè)量得到，在紅移z分別為0.25 和0.37 處的結(jié)構(gòu)增長率fσ8分別為0.351 2±0.058 3 和0.460 2±0.037 8。

2015年，Howlett 等人[20]發(fā)表了基于SDSS-DR7-MGS 樣本的測(cè)量結(jié)果。他們選擇了紅移z <0.2 的星系，測(cè)量了星系的相關(guān)函數(shù)，用高斯流注拉格朗日擾動(dòng)理論模型(Gaussian streaming lagrangian perturbation theory)[81]擬合了相關(guān)函數(shù)的單極矩和四極矩，并通過了模擬樣本的精度測(cè)試。他們的結(jié)果顯示，紅移z=0.15 處，

3.4.2 基于CMASS 和LOWZ 樣本的測(cè)量

BOSS 樣本是目前天區(qū)面積和紅移深度綜合考慮下最好的星系樣本，也是人們分析紅移畸變效應(yīng)，測(cè)量結(jié)構(gòu)增長率最多的樣本。BOSS 樣本一般分為高紅移的CMASS 和低紅移的LOWZ 兩個(gè)樣本，其中CMASS 的有效紅移是z=0.57，LOWZ 的有效紅移是z=0.32。下面主要參考Li 等人[82]的工作，扼要介紹這兩個(gè)樣本的fσ8測(cè)量，并重點(diǎn)討論數(shù)據(jù)范圍、方法模型和測(cè)量結(jié)果。需要說明的是，下面列舉的工作中，有些只測(cè)量了其中一個(gè)樣本，有些則同時(shí)測(cè)量了兩個(gè)樣本。

(1)Samushia 等人[18]分析了BOSS-DR11-CMASS 星系樣本，測(cè)量了紅移空間的共動(dòng)距離s在(24～152)h?1Mpc 范圍的相關(guān)函數(shù)的單極矩和四極矩，并利用流注模型計(jì)算了理論上的相關(guān)函數(shù)。最終結(jié)果顯示，若擬合方法包含AP 效應(yīng)，則fσ8= 0.441±0.044；若AP效應(yīng)是固定的，則fσ8=0.447±0.028。

(2)S′anchez 等人[83]分析了BOSS-DR11-CMASS/LOWZ 的2 個(gè)樣本，測(cè)量了s >40h?1Mpc 的角平均相關(guān)函數(shù)以及二維兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)平均值特征量，并從模型上考慮了非線性演化、紅移畸變和星系偏袒，最終得到，CMASS 的測(cè)量結(jié)果為fσ8= 0.417±0.045；LOWZ 的測(cè)量結(jié)果為fσ8=0.48±0.10。

(3)Reid 等人[17]針對(duì)小尺度上的數(shù)據(jù)，利用BOSS-DR10-CMASS 樣本，測(cè)量了(0.8～32)h?1Mpc 尺度上的投影兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)和各向異性成團(tuán)性，并與紅移依賴的暗暈占據(jù)模型(HOD)進(jìn)行擬合限制，得出fσ8=0.450±0.011。

(4)Alam 等人[19]與上述Samushia 等人分析的是同樣的樣本和測(cè)量數(shù)據(jù)，只是尺度選擇范圍改為(30～126)h?1Mpc，采用的是卷積拉格朗日擾動(dòng)理論和高斯流注模型擬合限制。他們的結(jié)果顯示，fσ8=0.462±0.041。

(5)Chuang 等人[84]分析了BOSS-DR12-CMASS 樣本，測(cè)量了s在(55～200)h?1Mpc范圍內(nèi)的單極矩和四極矩相關(guān)函數(shù)，其結(jié)果為fσ8=0.488±0.060。

(6)Gil-Mar′?n 等人[85]分析了BOSS-DR11-CMASS 的單極矩功率譜和雙譜信號(hào)(三點(diǎn)相關(guān)函數(shù)的傅里葉對(duì))，所測(cè)量的譜波數(shù)最大到kmax= 0.17hMpc?1，得出的最終限制結(jié)果為fσ8=0.504±0.069。此結(jié)果是基于假設(shè)的ffid=0.777，且沒有包含AP 效應(yīng)。

(7)Gil-Mar′?n 等人[86]測(cè)量了BOSS-DR12-CMASS/LOWZ 數(shù)據(jù)的單極矩和四極矩功率譜，所測(cè)量的譜波數(shù)最大到kmax=0.24hMpc?1，紅移畸變模型是2.2.3 節(jié)所介紹的Taruya等人[42]的模型。對(duì)于CMASS，他們測(cè)得的包含AP 效應(yīng)的結(jié)果為fσ8= 0.444±0.038，沒有AP 效應(yīng)的結(jié)果為fσ8= 0.436±0.022；對(duì)于LOWZ，測(cè)得的包含AP 效應(yīng)的結(jié)果為fσ8=0.394±0.062，沒有AP 效應(yīng)的結(jié)果為fσ8=0.485±0.044。

(8)Gil-Mar′?n 等人[87]測(cè)量了上述樣本的功率譜雙譜信號(hào)，同樣給出了擬合限制。他們所測(cè)量的最大譜波數(shù)為kmax=0.22hMpc?1。結(jié)果顯示，基于CMASS 樣本，包含AP 效應(yīng)時(shí)，fσ8= 0.417±0.036；不包含AP 效應(yīng)時(shí)，fσ8= 0.432±0.022。對(duì)于LOWZ 樣本，包含AP 效應(yīng)時(shí)，fσ8=0.460±0.071；不包含AP 效應(yīng)時(shí)，fσ8=0.458±0.047。

(9)Beutler 等人[15]測(cè)量了BOSS-DR11-CMASS 的單極矩和四極矩功率譜。他們采用了Taruya 等人[42]模型，所測(cè)量的最大譜波數(shù)為kmax= 0.20hMpc?1。結(jié)果顯示，當(dāng)包含AP 效應(yīng)時(shí)，fσ8=0.419±0.044。

(10)Li 等人[82]測(cè)量了BOSS-DR11-CMASS 的紅移空間二維相關(guān)函數(shù)，并通過傅里葉變換獲得對(duì)應(yīng)的二維功率譜。他們所測(cè)量的最大譜波數(shù)為kmax=0.20hMpc?1。他們采用的是Zhang 等人[88]的紅移畸變模型，其最終結(jié)果顯示，不考慮AP 效應(yīng)時(shí)，fσ8=0.438±0.037。

以上是基于BOSS-CMASS/LOWZ 樣本的測(cè)量結(jié)果，其中前5 項(xiàng)是基于相關(guān)函數(shù)的測(cè)量，第6—9 項(xiàng)是有關(guān)功率譜的測(cè)量。圖2 為CMASS 樣本測(cè)量結(jié)果之間的對(duì)比[82]，及其與假設(shè)的WMAP9[89]和Planck15[90]參數(shù)下的廣義相對(duì)論ΛCDM 模型進(jìn)行的比較。結(jié)果顯示，紅移畸變的測(cè)量結(jié)果之間基本自洽，且在1σ范圍內(nèi)，測(cè)量結(jié)果與ΛCDM 模型的預(yù)測(cè)相符。

圖2 CMASS 樣本的測(cè)量結(jié)果[82]，及其與假設(shè)的WMAP9[89] 和Planck15[90] 參數(shù)下的廣義相對(duì)論ΛCDM 模型的比較

3.5 fσ8 數(shù)據(jù)樣本庫

最后介紹由Kazantzidis 和Perivolaropoulos[52]構(gòu)造的fσ8數(shù)據(jù)樣本庫。他們總結(jié)了2009—2018年所發(fā)表的有關(guān)fσ8的測(cè)量結(jié)果，構(gòu)建了一個(gè)較為完整但仍有待更新的fσ8數(shù)據(jù)樣本，如表3 所示。表中包含了測(cè)量所用的星系樣本、結(jié)果、誤差、參考文獻(xiàn)和發(fā)表日期等信息。需要說明的是，這個(gè)數(shù)據(jù)庫總體來說是目前最全的，但仍不完整，如缺少3.4.2 節(jié)所介紹的部分結(jié)果。

表3 2009—2018年所發(fā)表的部分研究工作的fσ8 數(shù)據(jù)集[52]

(續(xù)表)

基于這樣的數(shù)據(jù)庫，Kazantzidis 等人畫出了fσ8隨紅移的分布圖，如圖3 所示。圖中紅色點(diǎn)對(duì)應(yīng)最早期發(fā)表的20 個(gè)結(jié)果，橘色點(diǎn)對(duì)應(yīng)近期發(fā)表的20 個(gè)結(jié)果，綠色虛線和紅色虛線分別對(duì)應(yīng)WMAP7/ΛCDM 和Planck15/ΛCDM 的擬合結(jié)果。整體上來看，數(shù)據(jù)點(diǎn)的趨勢(shì)與ΛCDM 模型預(yù)測(cè)的相吻合，但誤差和彌散性較大。Kazantzidis 等人也分析了?0m-σ8參數(shù)空間的最佳擬合值與Planck15/ΛCDM 預(yù)測(cè)值的符合程度，發(fā)現(xiàn)對(duì)于近兩三年的測(cè)量結(jié)果，兩者能在1σ范圍內(nèi)相符合；對(duì)于更早期的結(jié)果，兩者在3σ ～5σ誤差范圍內(nèi)相符合。其原因可能是，近期的測(cè)量較側(cè)重于高紅移的測(cè)量，因此，誤差較大。此外，物質(zhì)主導(dǎo)期不同引力模型的預(yù)測(cè)值相近，區(qū)分度不大。因此，今后需要更多低紅移測(cè)量。

圖3 fσ8 隨紅移z 的分布[52]

4 總結(jié)與展望

紅移畸變是紅移巡天中星系空間分布的重要現(xiàn)象，也是宇宙學(xué)研究的重要工具，可以為探測(cè)暗能量和檢驗(yàn)宇宙學(xué)尺度上的引力模型提供速度場的信息。隨著宇宙學(xué)數(shù)值模擬精度的提高，對(duì)紅移畸變效應(yīng)的描述也越來越精確，已達(dá)到準(zhǔn)線性和非線性尺度。目前，不同天區(qū)的一系列星系紅移巡天項(xiàng)目已經(jīng)完成觀測(cè)，如6dFGS, WiggleZ, VIPERS 和SDSS 等。這些觀測(cè)為人們提供了詳細(xì)的星系空間分布數(shù)據(jù)。人們據(jù)此測(cè)量了星系的相關(guān)函數(shù)和功率譜，提取到了精確的紅移畸變信號(hào)，并通過模型擬合限制出了一批不同紅移處的fσ8的估值。然而，由于紅移畸變模型的選擇性太多，不同方法給出的fσ8測(cè)量結(jié)果彌散性大，且精度小，導(dǎo)致目前的測(cè)量仍不能有效地約束現(xiàn)有的引力模型[52]，因此需要精度更高，且計(jì)算耗時(shí)較少的模型，以滿足未來巡天數(shù)據(jù)的需求。DESI 和PFS 等第四代暗能量巡天項(xiàng)目，將提供更大的星系樣本，因此，限制宇宙學(xué)參數(shù)的精度將會(huì)達(dá)到新的量級(jí)，宇宙學(xué)尺度上的引力模型也有望得到進(jìn)一步確認(rèn)。

本文主要討論了基于紅移畸變測(cè)量宇宙結(jié)構(gòu)增長率的研究進(jìn)展。我們介紹了紅移畸變模型的發(fā)展，內(nèi)容包括線性效應(yīng)、非線性效應(yīng)和高階項(xiàng)誤差等。在觀測(cè)上，我們介紹了幾個(gè)已完成的星系紅移巡天項(xiàng)目，包括6dFGS, WiggleZ, VIPERS 和SDSS，它們成功地刻畫了宇宙中從低紅移到中高紅移的星系空間分布，其中6dFGS 的天區(qū)最大，但它只側(cè)重于低紅移范圍，z <0.1；VIPERS 的天區(qū)最小，但它的觀測(cè)深度較深，側(cè)重于中高紅移范圍，0.5

致謝

感謝郭宏研究員提供的有益建議，感謝李昭洲和唐林同學(xué)的幫助。