基于等效夾雜法的多圓孔板平面彈性場研究

張炯，何悅忠，林偉興，劉衛(wèi)東，王連坤

（1.五邑大學(xué) 土木建筑學(xué)院，廣東 江門 529020；2.河海大學(xué) 機械學(xué)院，江蘇 南京 210098）

含多圓的孔板廣泛應(yīng)用于建筑、機械和航空航天中，由于圓孔產(chǎn)生的應(yīng)力集中會大大降低板件的承載能力，從而導(dǎo)致板件在圓孔周圍產(chǎn)生破壞，因此研究含多圓孔問題的彈性場分布和其應(yīng)力集中具有重要的理論和工程實際意義.

針對這一經(jīng)典問題，學(xué)者們進行了大量的研究并提出了相當(dāng)成熟的計算模型.例如早期的Ling等人[1]運用雙極坐標(biāo)的方法對含兩個圓孔的無限大平面進行了分析.后來Savin等人[2]采用復(fù)變函數(shù)和保角變換的方法對孔洞附近的彈性場分布和應(yīng)力集中問題進行了研究.高存法等人[3]利用Cauchy積分推導(dǎo)了單個橢圓孔受集中荷載下的通解.李成等人[4]結(jié)合彈性理論和復(fù)變函數(shù)的方法求解了孔邊應(yīng)力場和孔口附近的應(yīng)力分量.Ting等人[5]利用交替法對無限平面內(nèi)含多個圓孔的彈性場分布和應(yīng)力集中進行了研究.

復(fù)變函數(shù)和保角變換在處理該問題時過程均較為復(fù)雜.因此，本文提出了一種基于等效夾雜理論的方法來研究平面內(nèi)多個圓形夾雜受均勻外載時的彈性場分布，本文方法結(jié)合Eshelby內(nèi)部張量和外部張量，可以簡便并準(zhǔn)確地求解均布荷載作用下，平面內(nèi)含任意數(shù)量和任意分布的圓孔的彈性場分布.

1 含多圓孔的等效夾雜法

假設(shè)在彈性常數(shù)為Cijkl的某一無限大板中含n個圓孔，在無窮遠處受均勻荷載和如圖1所示.

其中，Sijkl為Eshelby內(nèi)部張量，Gijkl為Eshelby外部張量[6-9].

圖1 無限大板含有多圓孔受均勻外載

圖2 等效夾雜法變換

結(jié)合圖1和圖2所示的兩個等效問題，在夾雜I內(nèi)建立平衡方程可得：

對于平面應(yīng)變問題，將應(yīng)變簡化為4個未知數(shù)：ε11,ε22,ε33,ε12.為了便于計算和編程實現(xiàn)，將式（2）轉(zhuǎn)化為矩陣形式：

這樣，式（3）變?yōu)橐粋€含有4個未知數(shù)的線性方程組.依次對所有n個夾雜內(nèi)部都建立平衡后，共可得4n個線性方程組，采用高斯消元法即可求得每個夾雜的等效應(yīng)變進而求得整個彈性體的應(yīng)力應(yīng)變場分布.

2 數(shù)值算例

將上述理論利用FORTRAN編程實現(xiàn)，并對相應(yīng)的典型算例進行分析，同時將計算結(jié)果與有限元軟件ABAQUS計算結(jié)果進行了對比.所有計算都在2.0 GHz和i5 CPU的電腦上進行.

2.1 無限大板含有兩個圓孔受單向拉伸載荷

如圖3所示：一個無限大板含有兩個圓孔，圓孔的半徑分別為r1和r2，兩個圓孔之間的距離為L，兩夾雜圓心連線與x軸所成夾角為θ，無限大板受到豎直方向均勻分布荷載

圖3 無限大板含有兩個圓孔受單向拉伸載荷

從圖4～6可以看出，本文所采用的等效夾雜法與有限元方法所計算的結(jié)果吻合十分良好，證明了本文方法的正確性.此外，本文方法在求解該問題時，各點之間是獨立求解，并無直接聯(lián)系；而采用有限元求解時，必須對全局進行網(wǎng)格化分，然后同時求解，計算效率不如本文方法.

圖4 Von Mises應(yīng)力分布（θ=0）

圖5 Von Mises應(yīng)力分布（θ=45°）

圖6 Von Mises應(yīng)力分布（θ=90°）

下面我們固定r1=r2，研究A點的應(yīng)力集中系數(shù)kt隨著L和θ的變化而變化的情況.由于本文方法各點求解相互獨立，因此可直接計算A點的應(yīng)力，計算時間可以忽略，而采用有限元方法計算時，仍然需要對全局進行網(wǎng)格劃分并計算出區(qū)域內(nèi)所有的點的應(yīng)力，計算時間遠遠超過本文方法.

圖7所示的為L=3r1時，A點的應(yīng)力集中系數(shù)kt隨著θ的變化而變化的情況，圖8所示的為L=3r1時，A點的應(yīng)力集中系數(shù)kt隨著L的變化而變化的情況.

圖7 A點的應(yīng)力集中系數(shù)隨θ變化

圖8 A點的應(yīng)力集中系數(shù)隨L/r1變化

從圖7～8可以看出，對于A點的應(yīng)力集中系數(shù)，兩種方法計算結(jié)果吻合十分良好.A點的應(yīng)力集中系數(shù)隨著θ的增大先增大，然后減小，最后在θ=90°時，又有增大.從圖8還可以看出，當(dāng)兩個圓孔距離很近的時候，圓孔相互影響，應(yīng)力集中系數(shù)接近3.7，隨著兩個圓孔的距離逐漸增大，圓孔間的影響逐漸減小，最后應(yīng)力集中系數(shù)十分接近3.0，相當(dāng)于無限大板含單個圓孔的應(yīng)力集中系數(shù).

圖9 無限大平面含有3×3個圓孔受雙向拉伸載荷

2.2 無限大平面含有3×3個圓孔受雙向拉伸載荷

如圖9所示：一個無限大板含3×3個等距分布的圓孔，圓孔間距離為L，無窮遠處水平方向受到作用，豎直方向受到作用.

分別采用本文方法和有限元方法計算了夾雜附近的Von Mises應(yīng)力分布和豎直方向應(yīng)力σ22，如圖10～11所示.

圖10 3×3夾雜的Von Mises應(yīng)力分布

圖11 3×3夾雜的σ22應(yīng)力分布

從圖10、11看出，處理多夾雜問題時，本文方法仍然與有限元結(jié)果吻合良好.

3 結(jié)論

本文通過Eshelby等效夾雜法研究了無限大平面內(nèi)多個圓孔受均勻分布荷載時的彈性場分布情況.采用了二維圓形夾雜的Eshelby內(nèi)部張量和Eshelby外部張量對圓孔外的應(yīng)力應(yīng)變場進行推導(dǎo)，并采用FORTRAN語言編制了相關(guān)計算程序.數(shù)值算例表明，本文方法結(jié)果準(zhǔn)確，與有限元方法相比，可以僅對局部關(guān)鍵部位進行分析，計算效率大大提高.