高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題解題技巧探討

王新

【摘 要】隨著新課程教育教學(xué)理念的落實(shí)和持續(xù)深化，高中數(shù)列知識作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)知識內(nèi)容的重點(diǎn)，其在歷年高考招生考試中占比頗高。通常情況下，數(shù)列試題的解題具備方法性和技巧性，問題就在于高中學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列內(nèi)容章節(jié)時在教師的帶領(lǐng)下會否進(jìn)行總結(jié)和歸納。筆者作為一名高中數(shù)學(xué)教師，嘗試結(jié)合數(shù)列授課經(jīng)驗(yàn)，本文著重對數(shù)學(xué)數(shù)列試題的解題技巧和策略進(jìn)行簡單歸納，以對高中學(xué)生在解數(shù)列試題時達(dá)到事半功倍的效果。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)列試題；解題技巧

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）02-0140-02

新時代背景下，社會對畢業(yè)生的需求越發(fā)嚴(yán)格，復(fù)合型人才逐漸成為就業(yè)市場的“香餑餑”。數(shù)學(xué)具備較強(qiáng)的邏輯與思維體系，高中階段又作為人生的重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)，其需要學(xué)生在學(xué)好各科知識的同時，尤其要抓好數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)，及時跟進(jìn)學(xué)習(xí)內(nèi)容。而數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，對高考乃至今后破解生活實(shí)際問題都有重要作用。因此，作為高中教師應(yīng)主動幫助學(xué)生掌握數(shù)列試題解題技巧和策略，進(jìn)而提高教學(xué)水平，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)成績提升。

一、數(shù)學(xué)數(shù)列解題重要作用

在高中升學(xué)考試中，數(shù)列占有重要份額，也是今后日常生活中常用的數(shù)學(xué)知識，對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要影響。數(shù)列在高中數(shù)學(xué)教材設(shè)置獨(dú)立章節(jié)，在考試中數(shù)列解題也是必考內(nèi)容，其對應(yīng)的問題類型逐漸趨于多元化。不管是在問題難簡性或是考察詳細(xì)度上，都可以感受到數(shù)列知識的重要地位?；谶@一條件下，我們學(xué)生怎樣學(xué)好數(shù)列知識，怎樣發(fā)掘解題方法與技巧，成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重點(diǎn)，也是我們提升考試分?jǐn)?shù)的核心。同時，對我們邏輯性、理解能力的培養(yǎng)也具有重要影響。

二、高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題的解題方法與技巧

1.數(shù)列定義的考查。

部分高中數(shù)列試題，其中不乏可以直接利用通項公式整體代入進(jìn)行解題的例子。對此類型試題，并沒有多元化的解題技巧，通常其解題方式較為簡單。根據(jù)新課程教材，這部分主要考查學(xué)生對數(shù)列定義的掌握。例如試題：各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，其中首項a1=3，a1+a2+a3+a4=45。提問：a4+a5+a6+a7=？對于此類試題，教師可以在課堂上考察學(xué)生對正向數(shù)列的定義和等比數(shù)列通項公式及求和公式等相關(guān)知識的掌握程度。

教師可以找位同學(xué)對解題策略予以闡釋。教師可以引導(dǎo)學(xué)生“此處q為2，同學(xué)們可以結(jié)合曾經(jīng)學(xué)過的等比數(shù)列前項和公式，然后進(jìn)行公比方程的列舉，可列為：3（1-q3）/（1-q）=45”。學(xué)生在面對此方程式時，可以選擇運(yùn)算公式變形。這就啟示我們，可以在數(shù)列學(xué)習(xí)時應(yīng)想法把高次方程轉(zhuǎn)為低次方程再進(jìn)行計算。

2.數(shù)列性質(zhì)試題。

在面對字母代替試題時，可以用特殊值代入法，直接化繁為簡。例如試題：如果假設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為2d，則數(shù)列b1+b4，b2+b5，b3+b6為多少？

A、公差為d的等差數(shù)列，B、公差為2d的等差數(shù)列，C、公比為d的等比數(shù)列，D、公比為2d的等比數(shù)列。在這里我就會教授學(xué)生，可以嘗試使用特殊值代入法，假設(shè)該等差數(shù)列{bn}的公差等于2，也就是b1=1，b2=3，b3=5，b4=7，b5=9，b6=11，那么b1+b4=8，b2+b5=12，b3+b6=16，根據(jù)上述驗(yàn)證可知，此題所求數(shù)列的公差為4（即2d），故選B。

3.通項公式試題解題。

在遇到此類型的數(shù)列考試題時，我們可以回憶等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，利用構(gòu)造法總結(jié)出通項公式。在遇到特殊試題時，我們可以通過bn={S1，n=1；Sn-Sn-1，n≥2}來找出此題的通項公式。再者，我們可以利用疊加、疊乘法來整理出通項公式。又或者，可以利用數(shù)學(xué)歸納法整理出通項公式。

4.求前n項和解題方法。

筆者通過梳理《三年高考五年模擬》發(fā)現(xiàn)，高考數(shù)學(xué)數(shù)列試題的考試重點(diǎn)為數(shù)列通項公式與數(shù)列求和運(yùn)算。對此，學(xué)生在熟記數(shù)列公式時，應(yīng)該熟練掌握數(shù)列求和等知識內(nèi)容，以提高解題效率和準(zhǔn)確率。尤其以下幾種要重點(diǎn)掌握：

（1）錯位相減。

對于此類型的試題，其可以采用等比數(shù)列求和，最常見的方法是錯位相減進(jìn)行試題解答。此部分試題多運(yùn)用于等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和的求和計算處。例如：已知{an}為等差數(shù)列，前n項和為Sn，{bn}為等比數(shù)列，a1=b2=2，a4+b4=27，s4-b4=10。那么問題1：求出{an}和{bn}的通項公式分別是多少？問題2：Tn=anb1+an-1b2+……+a1bn，n∈N證明Tn+12=-2an+10bn，n∈N。

對于問題1的解答，我們可以采用：an=3n-1，bn=2n。對于問題2，Tn=2an+22an=+23an-2+ ……+2na1，2Tn=22an+23an+……+2na2+2n+1a1。我們通過計算可以得出：Tn=2（3n-1）+3×22+……++2n+1=12（1-2n+1）/（1-2n+2n+2-6n+2）=10×2n-6n-10-2an+10bn-12=-2（3n-1）+10×2n=10×2n-6n-10。所以，對于問題2而言，Tn+12=-2an+10bn得證，n∈N。

（2）分組求和。

通常，在高中數(shù)列試題中，我們可以發(fā)現(xiàn)一部分并沒有規(guī)律可循的試題，此類型試題從表面上看似乎并不從屬于等差數(shù)列、等比數(shù)列。但我們可以通過試題分解，又能尋覓到等差數(shù)列和等比數(shù)列的痕跡。筆者認(rèn)為，針對此類型試題，我們在解題時首先應(yīng)將其分解，通過分組求和法得出正確答案。

（3）合并求和。

合并求和也是我們在高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題中最常用的解題策略，可以通過將數(shù)列進(jìn)行分解，找到試題的特殊性。作為教師，我們應(yīng)在授課過程中為學(xué)生歸納整合解題技巧，不斷提升學(xué)生的分析合并能力，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律以促進(jìn)解題效率的提高。

我們在面對這類試題時，可以采用合并求和思路。例如：求sin1°+sin2°+sin3°+sin4°……+sin178°+sin179°+sin180°的結(jié)果值，或者對于試題：數(shù)列{xn}：x1=1，x2=3，x3=2，xn+2=xn+1-xn，求S2018。對于這種數(shù)列的特殊變形，我們可以通過合并求和觀察特殊規(guī)律，求解然后正確答案。

三、結(jié)語

通常數(shù)列試題中，大部分是基本數(shù)列題為基礎(chǔ)，考察目標(biāo)為簡單概念和定義式考察。對于高中數(shù)列試題，教師要不斷鼓勵學(xué)生總結(jié)和熟練掌握不同的定義和概念及相關(guān)變形數(shù)列類型。筆者認(rèn)為，學(xué)生在解題時應(yīng)打破傳統(tǒng)思維方式，主動參與到教師實(shí)踐教學(xué)中，融入情境，善于總結(jié)數(shù)列相關(guān)解題方法與技巧，熟練應(yīng)用不同數(shù)列試題，為提高數(shù)列試題的解題效率打下堅實(shí)的基礎(chǔ)。

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