2018年高考數(shù)學(xué)試題中的數(shù)學(xué)文化

李英

[摘? ?要]數(shù)學(xué)文化作為一種藝術(shù)、方法的思想體系，已經(jīng)毫無(wú)爭(zhēng)辯地具備了獨(dú)立的文化特征.2018年高考數(shù)學(xué)試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化在建筑設(shè)計(jì)、音樂(lè)等中的滲透.基于此，整理2018年高考數(shù)學(xué)試題中滲透的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容以展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的精髓和魅力.

[關(guān)鍵詞]高考;數(shù)學(xué)文化;2018年

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）05-0026-02

湖南省教科院數(shù)學(xué)教研員黃仁壽老師說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的組成部分，數(shù)學(xué)本身也是一種特殊的文化.”2017年高考數(shù)學(xué)考試大綱明確提出了“數(shù)學(xué)高考命題要注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值”的要求，同時(shí)加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查，如增加優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考核內(nèi)容，積極培養(yǎng)和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀，發(fā)揮高考的育人功能和導(dǎo)向作用;而在能力要求方面，命題專家精細(xì)加工，滲透數(shù)學(xué)思想方法;在內(nèi)涵要求方面，增加了基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性的要求.對(duì)此，筆者整理了2018年高考數(shù)學(xué)試題中滲透的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，以供讀者賞析.

一、古今中外的數(shù)學(xué)文化

[題1]（2018年上海卷第15題）《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽(yáng)馬.設(shè)AA?是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖1.若陽(yáng)馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AA?為底面矩形的一邊，則這樣的陽(yáng)馬的個(gè)數(shù)是（ ）.

A. 4 B. 8 C. 12 D. 16

本題出自《九章算術(shù)·商功》：“陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也.”今稱為劉徽原理.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)名著.為了傳承這個(gè)經(jīng)典之作，弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化和文明，近幾年來(lái)在全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題里，從《九章算術(shù)》中選取與高中數(shù)學(xué)教學(xué)相應(yīng)的材料為背景，經(jīng)命題專家的精細(xì)加工，編制出高考題式，體現(xiàn)了《九章算術(shù)》與高考數(shù)學(xué)的完美結(jié)合.

中國(guó)古代著名數(shù)學(xué)著作里有很多與中學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)的思想方法，如《九章重差圖》（劉徽），重差法是測(cè)量數(shù)學(xué)中的重要方法;《數(shù)書(shū)九章》（秦九韶），“大衍總數(shù)術(shù)”（即一次同余組解法）與“正負(fù)開(kāi)方術(shù)”（即高次方程數(shù)值解法）;《張丘建算經(jīng)》里“百雞術(shù)”就是世界著名的不定方程問(wèn)題;《四元玉鑒》中最杰出的數(shù)學(xué)創(chuàng)作有“四元術(shù)”（即多元高次方程列式與消元解法）、“垛積法”（即高階等差數(shù)列求和）與“招差術(shù)”（即高次內(nèi)插法）;著名的“楊輝三角”，等等.

[題2]（2018年全國(guó)卷Ⅰ第10題）圖2來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB、AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分別記為[p1，p2，p3]，則（ ）.

A. [p1=p2] B. [p1=p3]

C. [p2=p3] D. [p1=p2+p3]

這是古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底發(fā)現(xiàn)的平幾里的優(yōu)美定理：以直角三角形的兩條直角邊向外作兩個(gè)半圓，以斜邊向內(nèi)作半圓，則三個(gè)半圓所圍成的兩個(gè)月牙圖形的面積之和等于該直角三角形的面積.數(shù)學(xué)學(xué)科蘊(yùn)含豐富的審美因素，具有很高的美學(xué)價(jià)值，其表現(xiàn)形式為對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美、和諧美和奇異美.

[題3]（2018全國(guó)卷Ⅱ第8題）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30 = 7 + 23.在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是（ ）.

A.[112] B.[114] C.[115] D.[118]

陳景潤(rùn)是我國(guó)，也是世界著名的解析數(shù)論學(xué)家.他證明了“每個(gè)大偶數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)以及一個(gè)不超過(guò)兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積之和”，這一創(chuàng)舉使得他在世界哥德巴赫猜想的研究領(lǐng)域居領(lǐng)先地位.本題以此為背景，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感和愛(ài)國(guó)精神，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

二、建筑中的數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)遇到建筑時(shí)往往會(huì)發(fā)生令人驚喜的化學(xué)反應(yīng)，產(chǎn)生意料之外的美.建筑是根據(jù)美感和功能的需求，對(duì)土地、材料、結(jié)構(gòu)進(jìn)行堆積和組合，它們的比例決定著建筑中個(gè)體和整體的數(shù)學(xué)關(guān)系.如中國(guó)古代的趙州橋——圓弧，湖南長(zhǎng)沙龍王港中國(guó)結(jié)大橋——莫比烏斯帶和中國(guó)結(jié);山西太原雙塔——數(shù)列;上海東方明珠塔——黃金分割比;胡夫金字塔——圓周率、勾股定理，這些都是高考數(shù)學(xué)與建筑工藝相結(jié)合的美.這種美在2018年高考數(shù)學(xué)試題中就有所體現(xiàn).

[題4]（2018年全國(guó)卷Ⅲ第3題）中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖3中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭.若如圖3擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（? ? ? ?）.

我國(guó)古典家具的榫卯設(shè)計(jì)不同于其他傳統(tǒng)手工藝品，它要求在滿足人們的視覺(jué)美感后，還要求具備科學(xué)合理性，使其長(zhǎng)久的耐用.這就要求每個(gè)木料榫頭卯眼，必須根據(jù)家具的造型組合，從力學(xué)上每個(gè)木料所受到的承受力，這些精準(zhǔn)的測(cè)量只有在古代木工師傅的多年目測(cè)經(jīng)驗(yàn)中，能準(zhǔn)確地判斷出來(lái).本題讓學(xué)生對(duì)我國(guó)的傳統(tǒng)工藝有所了解，為我們國(guó)家的民族產(chǎn)業(yè)感到自豪，也堅(jiān)定了振興中國(guó)傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)，傳承發(fā)揚(yáng)非遺文化的信念.

三、音樂(lè)中的數(shù)學(xué)文化

音樂(lè)能給人以美妙的感受.古人云：“余音繞梁，三日不絕.”愛(ài)因斯坦是一位出色的小提琴家，也能熟練地彈奏鋼琴.H·Whitney（惠特尼）是位很著名的美國(guó)數(shù)學(xué)家，向量叢的Stiefel-Whitney類就是用他的名字命名的，還有一個(gè)著名的定理：每一個(gè)n維的流形都浸入一個(gè)2n -1維的歐氏空間嵌入一個(gè)2n維的歐氏空間，奇妙的是他在耶魯大學(xué)的專業(yè)是小提琴.

[題5]（2018年北京卷4）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于[2 12].若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為 （ ）.

A.[23f] B.[223f] C.[2512f] D.[2712f]

十二平均律，又稱為“十二等程律”，是一種音樂(lè)定律方法，它將一個(gè)純八度平均分成十二等分，每一等分稱為半音，是最主要的調(diào)音方法.鋼琴就是根據(jù)十二平均律來(lái)定音的.明朝的皇族世子朱載堉發(fā)明了以珠算開(kāi)方的辦法，得到律制上的等比數(shù)列.本題展示了數(shù)學(xué)的知識(shí)和思維方式在世界各領(lǐng)域的廣泛滲透和影響，對(duì)引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)具有積極意義.

擁有理性的數(shù)學(xué)和感性的音樂(lè)，雖然描述世界的方式不同，但是數(shù)學(xué)和音樂(lè)若能融合為一體，就會(huì)展示出優(yōu)美的旋律，讓人們有了美的體驗(yàn)和享受.比如：樂(lè)器之王——鋼琴的鍵盤(pán)恰好與斐波那契數(shù)列有關(guān);匈牙利的作曲家貝拉巴托克用黃金分割作曲《弦樂(lè)、打擊樂(lè)與鋼片琴的音樂(lè)》;同樣的，根據(jù)傅立葉定理，每個(gè)樂(lè)音可以分解成一次諧波與一系列整數(shù)倍頻率諧波的疊加，這樣純粹的函數(shù)圖像也可以用來(lái)作曲.

縱觀這些年的高考數(shù)學(xué)，滲透數(shù)學(xué)文化的試題不僅將數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)精神融為一體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生理性思維、創(chuàng)新能力的考查，也讓學(xué)生在緊張的測(cè)試之余，有美的體現(xiàn)和享受.在平時(shí)的教育教學(xué)中，教師應(yīng)時(shí)刻樹(shù)立數(shù)學(xué)文化的意識(shí)，不僅讓學(xué)生感嘆祖先的智慧，增強(qiáng)民族自豪感，還要讓學(xué)生受到數(shù)學(xué)文化的熏陶，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（特約編輯 安 平）