一道不定積分題目的發(fā)散思維研究

班愛玲

（池州學(xué)院 大數(shù)據(jù)與人工智能學(xué)院，安徽 池州 247000）

不定積分是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點和難點內(nèi)容，求解不定積分的方法較少，書本上常用計算不定積分的方法有基本積分公式、換元積分法（包括第一類換元法（湊微分法）和第二類換元法）、分部積分法和有理函數(shù)的積分等。方法不多但靈活多變，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)完整個不定積分內(nèi)容，并在課堂課后學(xué)習(xí)和掌握一些不定積分的題型后，遇到新的題型時，還是束手無策，找不到突破口，經(jīng)常出現(xiàn)題目做到半路發(fā)現(xiàn)路不通的現(xiàn)象。本文主要對一道不定積分題目從不同側(cè)面、不同角度進行分析研究，讓學(xué)生掌握不同解題方法的同時，還能激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

1 問題的不同解法

研究如下不定積分

方法一：萬能公式換元法

這是一個三角函數(shù)有理式的不定積分，形如∫R(sinx,cosx)dx，一般通過變換，把它變成有理函數(shù)的積分。即，令，

方法二：三角恒等式變形法1

方法三：三角恒等變形2

方法四：誘導(dǎo)公式法

緊接著方法三進一步深入，因為

方法三是將1+sinx轉(zhuǎn)化成半角的完全平方式形式，其實還有另一種轉(zhuǎn)化法，就是運用誘導(dǎo)公式，把sinx轉(zhuǎn)化成cosx，再運用余弦的二倍角公式將分母轉(zhuǎn)化為正弦（或余弦）半角的平方形式。即，

方法五：分部積分法

運用分部積分（∫uv'dx=uv-∫u'vdx），分部積分法可能很多學(xué)生都能想到，但題目做到一半，大部分學(xué)生就中途放棄了，因為分部積分后∫u'vdx還是三角函數(shù)有理式的形式，學(xué)生就可能斷定此路行不通，其實不然，下面就是利用分部積分的做法：

2 結(jié)束語

本文是一道積分題的五種解法，幾乎涉及到求解不定的所有方法，不僅幫學(xué)生把書本的知識點復(fù)習(xí)了一遍，還可以讓學(xué)生充分理解和掌握知識之間的相互聯(lián)系，起到融會貫通的效果，如果學(xué)生始終滿足于一種方法，那么他們對知識點的掌握就不夠深入，不能系統(tǒng)全面地把各知識點有機聯(lián)系到一起，做題時，就會走彎路。一題多解不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，還可以激發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生從不同角度看問題，開闊學(xué)生的視野，提高學(xué)生分析事物和解決事物的能力，從而培養(yǎng)學(xué)生獲得發(fā)散思維的本領(lǐng)，使學(xué)生會做一道題變成了會做幾類題。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，作為教師應(yīng)善于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)他們學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)和發(fā)展他們發(fā)散思維的能力。