未知聲速下長基線系統(tǒng)定位修正算法

黃 健， 嚴(yán)勝剛

(西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院， 西安 710072)

近年來，對水下目標(biāo)的精確定位有著廣泛的應(yīng)用，如海底大地形變測量研究、近海勘探和海洋工程等[1-3].水下目標(biāo)定位系統(tǒng)按照基線長度劃分可分為長基線(LBL)系統(tǒng), 短基線(SBL)系統(tǒng)和超短基線(USBL)系統(tǒng)3大類.相比之下，長基線系統(tǒng)具有更高的定位精度和更大的定位范圍[4].

為了定位目標(biāo)，LBL系統(tǒng)需要測量聲信號在目標(biāo)與水聽器之間傳播的到達時間(TOA)或到達時間差(TDOA)，這其中，基于TOA的長基線定位技術(shù)具備較高的精度和頑健性.在TOA估計過程之后，可以通過將TOA值和聲速相乘來計算目標(biāo)和水聽器之間的距離，然后使用諸如非線性最小二乘法(NLS)、最大似然估計(ML)、線性最小二乘法(LLS)或加權(quán)線性最小二乘法(WLLS)等方法對目標(biāo)進行定位.

不準(zhǔn)確的聲速是造成LBL系統(tǒng)定位誤差的主要原因之一.在之前的研究中，距離的測量是基于聲速是一個常數(shù)值，并且能被預(yù)先測量或準(zhǔn)確估計這一前提[5].事實上，水下環(huán)境復(fù)雜，聲速結(jié)構(gòu)存在深度方向上的梯度[6]，這導(dǎo)致遵循Snell定律的聲信號傳播路徑存在折射現(xiàn)象.使用恒定的聲速并且假設(shè)聲信號沿直線傳播，必然會對LBL系統(tǒng)定位造成嚴(yán)重的誤差.聲速隨深度的變化情況由聲速剖面(SSP)表示，可通過聲速分析器(SVP)測量，或由電導(dǎo)率、溫度和密度(CTD)的測量值計算獲得.然而，目標(biāo)與水聽器之間的平均聲速卻難以直接測量.因此，聲速修正成為提高水下聲學(xué)定位精度的關(guān)鍵技術(shù)之一.在之前的研究中，聲速修正通常是在準(zhǔn)確測量聲速剖面的基礎(chǔ)上，通過使用射線聲學(xué)理論追蹤聲信號的傳播路徑來實現(xiàn)[7-12].為減小聲速誤差造成的影響，需要測量實際的聲速剖面.然而，SVP或CTD測量的結(jié)果不可避免地存在誤差.這導(dǎo)致基于固定聲速剖面的聲速修正方法性能的退化.在考慮聲速未知的定位算法中，文獻[13-14]將聲速視為未知變量，并在定位的同時計算有效聲速(ESS).然而，這類方法通常假設(shè)LBL系統(tǒng)中目標(biāo)到任一水聽器之間的聲速相等，這也與理論和實際情況不符.

通過分析有效聲速與目標(biāo)和水聽器相對位置之間的關(guān)系，本文提出一種基于粒子群優(yōu)化(PSO)算法的LBL系統(tǒng)定位方法.首先，利用LBL系統(tǒng)中的冗余信息建立多參數(shù)優(yōu)化函數(shù)來估計有效聲速.其次，選擇PSO算法來解算優(yōu)化函數(shù)，得到目標(biāo)與不同水聽器之間的有效聲速.最后，由所得有效聲速對目標(biāo)進行定位.仿真結(jié)果表明，該方法可以在無法準(zhǔn)確獲得聲速剖面的情況下提高LBL系統(tǒng)定位精度.

1 問題描述

1.1 基于TOA的LBL系統(tǒng)定位原理

如圖1所示，本文所使用的LBL系統(tǒng)由位于海面的4個浮標(biāo)組成.每個浮標(biāo)都配置有水聽器和GPS設(shè)備，以便實時獲取自身的位置.目標(biāo)為位于海面以下的同步信標(biāo).定義坐標(biāo)系如下：通過選擇由4個浮標(biāo)所圍多邊形中的某點作為原點O(0,0,0)來建立大地坐標(biāo)系(NED).4個浮標(biāo)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)和D(x4,y4,z4).目標(biāo)坐標(biāo)為T(x,y,z)，每個浮標(biāo)和目標(biāo)之間的相對距離分別定義為R1,R2,R3和R4.

圖1 LBL系統(tǒng)定位原理圖Fig.1 Positioning principle diagram of LBL system

目標(biāo)首先發(fā)射探測信號.由于目標(biāo)與各浮標(biāo)時間同步，浮標(biāo)接收到該探測信號可以計算聲信號的傳播時間.將傳播時間與平均聲速相乘可以獲得目標(biāo)與各浮標(biāo)之間的相對距離

(1)

在測量目標(biāo)與浮標(biāo)之間的相對距離后，它們之間的三維幾何關(guān)系可以表示為

(2)

在LBL系統(tǒng)中，浮標(biāo)與目標(biāo)之間的相對距離通常為數(shù)百米到數(shù)十公里.因此，可以假設(shè)浮標(biāo)位于相同的水平面，即

z-zi=z-zj,i≠j

(3)

將由2個不同的浮標(biāo)建立的方程相減可以消除未知變量的二次項，進而獲得如下的簡化形式：

(4)

在聲速已知的前提下，LBL系統(tǒng)的定位模型可以描述為如下函數(shù)：

(5)

(6)

1.2 LBL系統(tǒng)中的有效聲速

在傳統(tǒng)的定位方法中，式(1)中的平均聲速通常被定義為常量(1 500 m/s)，這無疑會導(dǎo)致較大的誤差.根據(jù)射線聲學(xué)理論，由聲源發(fā)出的聲信號會沿不同的路徑傳播到海洋中的任意一點，而這一點所接收到的聲信號是全部本征聲線的和.兩點之間的有效聲速則被定義為最先到達的本征聲線所對應(yīng)的等效聲速，即聲源與接收點之間的斜距與聲信號最小傳播時間的比值[15].若聲速剖面已知，聲信號在聲源和接收點之間的傳播路徑可以通過Snell定律進行追蹤，并由此計算兩點之間的有效聲速.通過調(diào)整初始入射角，可以迭代計算定位區(qū)域內(nèi)任意兩點間的有效聲速.在準(zhǔn)確獲得有效聲速之后，使用它們來代替式(1)中的平均聲速可以提高LS方法的定位精度.

海洋中的有效聲速不僅由聲速剖面決定，還取決于兩點之間的相對位置關(guān)系(水平距離、深度差和俯仰角等).本文設(shè)計了一個實驗來測試當(dāng)聲源位于海面，目標(biāo)點位于800 m深處時，海洋中兩點之間的有效聲速c與水平距離d的關(guān)系，實驗結(jié)果如圖2所示.其中，圖2(a)為實驗區(qū)域內(nèi)的聲速剖面，h為水深.選擇BELLHOP[16]模型計算聲信號傳播時間，BELLHOP模型是水聲信道仿真中應(yīng)用最廣泛的模型之一，該模型以海洋環(huán)境文件(包括聲速剖面，海面/海底反射系數(shù)等因素)作為輸入，通過對聲場模型進行計算可得到傳播損失、本征聲線以及聲線到達時間序列等多種實用數(shù)據(jù)，是聲場建模及分析的一種有效手段.計算得到的有效聲速如圖2(b)所示.可以看出，在深度一定的情況下，不同的水平距離對應(yīng)不同的有效聲速值，且差別較大(在水平距離相差4 km的情況下，有效聲速相差接近3 m/s).由此可以看出，若假設(shè)長基線系統(tǒng)的定位區(qū)域內(nèi)目標(biāo)到任一浮標(biāo)的聲信號傳播速度相等會造成較大定位誤差.

圖2 有效聲速與相對水平距離的關(guān)系Fig.2 The relationship between ESS and horizontal distance

1.3 定位模型

在如圖1所示的LBL系統(tǒng)中，雖然目標(biāo)與每個浮標(biāo)之間的深度差是相等的，但由于水平距離不同，相應(yīng)的有效聲速也不相等.這導(dǎo)致使用單個有效聲速的LS方法會產(chǎn)生較大誤差.因此，通過設(shè)置聲信號在目標(biāo)和不同浮標(biāo)之間以不同的有效聲速傳播來提高LBL系統(tǒng)的定位精度.

如圖1所示，4個浮標(biāo)位于海面，目標(biāo)位于水下一定深度，其深度值可以通過深度傳感器測量，并通過水聲通信技術(shù)傳輸至控制中心.通過這種方式，目標(biāo)的三維定位可以轉(zhuǎn)換為二維定位問題.本文僅考慮目標(biāo)位于LBL系統(tǒng)定位區(qū)域內(nèi)的情況.

圖3所示為LBL定位系統(tǒng)的二維原理圖，其中4個浮標(biāo)的坐標(biāo)分別為：B1=(0,0,0)、B2=(L,0,0)、B3=(L,L,0)和B4=(0,L,0)，L=8 km為基線長度.圖中的4個圓是以每個浮標(biāo)為中心，以目標(biāo)到每個浮標(biāo)之間水平距離為半徑所繪.這些水平距離是根據(jù)測量的傳播時間和目標(biāo)深度計算的.在有效聲速估計精確的理想情況下，4個圓應(yīng)相交在一點，即目標(biāo)的真實位置.

圖3 LBL定位系統(tǒng)的二維原理圖Fig.3 2-dimensional positioning diagram of LBL system

然而，當(dāng)有效聲速估計出現(xiàn)誤差時，4個圓不會在一點相交，而是圍成一個小的區(qū)域.這將難以準(zhǔn)確估計目標(biāo)的真實位置.為此，本文通過縮小4個圓的相交區(qū)域來建立適應(yīng)度函數(shù).在LS算法中，3個浮標(biāo)即可用于估計目標(biāo)位置.因此，4個浮標(biāo)可以通過不同的組合而獲得4個不同的定位結(jié)果.將式(1)～式(6)定義的算法定義為函數(shù)LS(·)，4個定位結(jié)果如下：

(7)

在此基礎(chǔ)上，本文給出如下適應(yīng)度函數(shù)：

(8)

2 基于PSO算法的LBL系統(tǒng)定位

本文利用PSO算法解決多參數(shù)優(yōu)化問題. PSO算法是Kennedy于1995年提出的隨機優(yōu)化算法.在PSO算法中，優(yōu)化問題的解決方案被視為搜索空間中的粒子，并通過迭代跟蹤目前搜尋到的最優(yōu)值來找到全局最優(yōu)解.PSO算法精度高，收斂快且易于實現(xiàn)，近年來，已經(jīng)得到廣泛的研究和發(fā)展，顯示出其解決隨機優(yōu)化問題的優(yōu)勢.

PSO由一組粒子構(gòu)成，每一個粒子都是優(yōu)化問題的備選解.粒子有自身的位置和速度矢量，矢量大小取決于優(yōu)化問題所包含的參數(shù).在PSO的每一輪迭代中，粒子通過跟蹤自身的歷史最優(yōu)解和全局最優(yōu)解來更新其位置，并分別通過式(9)和(10)來更新其速度和位置矢量.即

式中：v為速度矢量；x為位置矢量；下標(biāo)Id為粒子標(biāo)識；ω為慣性權(quán)重，常用來平衡粒子群的全局搜索能力和局部搜索能力；η1和η2均為在[0, 4]范圍內(nèi)的學(xué)習(xí)因子，通常取η1=η2=2；rrand1和rrand2均為[0, 1]內(nèi)均勻分布的隨機浮點數(shù)，它們賦予粒子在搜索空間內(nèi)移動的能力；pbestId為粒子迄今為止已經(jīng)獲得的最佳位置向量；gbest為整個粒子群的全局最優(yōu)位置向量，迭代次數(shù)可以預(yù)先確定或根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)的收斂來動態(tài)調(diào)整，當(dāng)滿足停止條件時，gbest中存儲的即為優(yōu)化問題的最優(yōu)解.

2.1 粒子位置向量的設(shè)置和初始化

為了簡化計算，設(shè)置目標(biāo)與各浮標(biāo)間的有效聲速組成的一維向量作為粒子在使用PSO算法求解適應(yīng)度函數(shù)的過程中使用的位置向量，即

x=[c1c2c3c4]

(11)

式中:c1、c2、c3和c4均為目標(biāo)與對應(yīng)浮標(biāo)之間有效聲速的估計值.

在PSO算法的開始，需要初始化粒子的位置矢量，可以根據(jù)經(jīng)驗選擇聲速的搜索空間，并在搜索空間內(nèi)隨機初始化粒子的位置矢量.

2.2 約束條件

PSO算法的約束條件：

(1) 聲速限制.海洋中的聲速值有一定的范圍，不會太大或太小.因此，將這個算法中的聲速限制在如下范圍內(nèi)：

cmin≤ci≤cmax

(12)

(2) 定位點之間幾何位置關(guān)系的約束.有效聲速的估計應(yīng)受目標(biāo)和浮標(biāo)之間的位置關(guān)系的限制，在實際操作過程中，應(yīng)根據(jù)浮標(biāo)的排列來對有效聲速的估計值加入一定約束條件.以圖3所示的LBL系統(tǒng)為例，由兩個相鄰浮標(biāo)確定的圓僅在LBL定位區(qū)域內(nèi)的一個點處相交，并且這些交點的位置具有一些幾何關(guān)系約束.例如，由浮標(biāo)1和浮標(biāo)2形成的交點應(yīng)比由浮標(biāo)3和浮標(biāo)4形成的交點具有更小的y值，否則有效聲速的估計值將過大.令E(·)表示由任意兩個浮標(biāo)的圓確定的交點，可以得到以下的約束條件：

(13)

2.3 終止條件

PSO算法的終止條件：

F≤TH

(14)

式中：TH為一閾值，決定了在PSO算法收斂時由式(7)給出定位點所圍成多邊形區(qū)域的大小.由于在LBL系統(tǒng)中，定位精度與時延估計精度有關(guān)，而時延估計的精度與目標(biāo)距離成反比，距離越遠(yuǎn)則時延估計精度越低.因此，TH值可以在PSO算法開始之前由LBL系統(tǒng)的基線長度確定.

2.4 算法流程

在基于PSO的LBL系統(tǒng)定位方法中， PSO被用來計算目標(biāo)與各水聽器間的有效聲速.在迭代結(jié)束時，gbest存儲了有效聲速的估計結(jié)果.最后在獲得有效聲速的基礎(chǔ)上，使用LS算法來估計目標(biāo)的坐標(biāo).基于PSO的LBL系統(tǒng)定位方法步驟如下：

(1) 輸入已知參數(shù).定義所需變量并隨機生成具有N個粒子的種群，隨機初始化每個粒子的位置和速度.

(2) 計算每個粒子的適應(yīng)度值，分別存儲每個粒子當(dāng)前的最優(yōu)歷史解和全局最優(yōu)解.

(3) 根據(jù)式(9)和(10)更新每個粒子的速度和位置.

(4) 判斷算法是否滿足停止條件.如果滿足，則進行下一步，否則轉(zhuǎn)到步驟(2).

(5) 輸出全局最優(yōu)個體，即各有效聲速的估計值，然后可以通過LS算法對目標(biāo)進行定位.

3 仿真結(jié)果與分析

通過仿真實驗來測試本文提出方法的性能.實驗環(huán)境：CPU為Intel Core i7-4710MQ; 內(nèi)存為DDR3L-8 GB.操作系統(tǒng)為Windows 8.1；MATLAB 版本為R2014a.實驗中，LBL系統(tǒng)的浮標(biāo)布置仍如圖1所示.基線長度設(shè)定為L=8 km.聲信號在水下的傳播時間由BELLHOP模型計算，并假設(shè)信標(biāo)所測量的時延中包含服從N(0,σ2)分布的高斯白噪聲，其中:σ=0.5 ms.所用的聲速剖面如圖2(a)所示.因為目標(biāo)配置有深度傳感器，可以準(zhǔn)確地測量其深度值，所以本文只估計其二維坐標(biāo)(x,y).

在使用LS方法的定位過程中，恒定聲速取為 1.505 km/s，即圖2(a)所示聲速剖面在目標(biāo)深度上的加權(quán)平均聲速[17].PSO算法中粒子的數(shù)量選擇為50.最大迭代次數(shù)設(shè)置為100，學(xué)習(xí)因子η1和η2都取為 2.0，慣性權(quán)重設(shè)置為 0.9，有效聲速的搜索空間限制在聲速剖面的最小值與最大值之間，即 1.495 km/s≤ci≤1.545 km/s，終止條件中令TH=1 m.

3.1 定位精度測試

令目標(biāo)三維坐標(biāo)為(3.25 km，4.30 km，0.80 km).定位結(jié)果如圖4(a)所示.圖中：4條線是4個定位圓的局部放大圖；“+”號表示目標(biāo)的實際位置；“o”是LS方法的定位結(jié)果(3.266 km，4.294 km)，其與目標(biāo)真實坐標(biāo)之間的距離為 16.58 km.

圖4 定位結(jié)果Fig.4 Positioning results

本文通過在LBL系統(tǒng)的定位區(qū)域中隨機選擇10個點來比較基于PSO的方法和LS方法的定位精度.目標(biāo)的深度為800 m，水平坐標(biāo)在表1中列出.對于每個目標(biāo)點分別使用LS方法和基于PSO的方法對其進行定位，且2種方法均獨立運行50次.最后，計算2種方法定位誤差的均方根誤差(RMSE)以及定位誤差的標(biāo)準(zhǔn)差(STD)，以評估其定位性能.定位誤差的均方根誤差為

(15)

式中：(x,y)為目標(biāo)的真實位置；E[·]為求數(shù)學(xué)期望的算子.

仿真結(jié)果如圖5所示.可以看出，LS方法由于無法獲得準(zhǔn)確聲速，且采用單一聲速進行定位，造成其定位結(jié)果距離誤差較大，且目標(biāo)的位置也會對結(jié)果產(chǎn)生一定的影響，難以獲得理想的結(jié)果.而基于PSO的方法在定位的同時對有效聲速進行調(diào)整，可以明顯降低定位誤差，并且可以看出誤差獨立于目標(biāo)的位置，說明其定位的穩(wěn)定性更好.

表1 測試點坐標(biāo)Tab.1 The coordinates of target points

圖5 仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results

3.2 收斂性測試

PSO算法的收斂速度是實際應(yīng)用中需要重點考慮的因素之一.本文分析上述多個點定位實驗中PSO算法迭代過程的平均適應(yīng)度值，為了獲得每次迭代的適應(yīng)度值，實驗中令TH=0，測試結(jié)果如圖6所示.

圖6 平均適應(yīng)度隨迭代次數(shù)變化的曲線Fig.6 The changing of average fitness value with number of iterations

由圖6可以看出，PSO算法可以在24次迭代左右達到收斂，且收斂后的適應(yīng)度值小于1 m.由此也可以看出實驗中設(shè)置終止條件為F≤1 m是合適的.

另外，本文還測試了運行PSO算法所耗費的時間，在模擬環(huán)境下運行基于PSO的方法一次的時間約為2 s，雖然比LS方法慢，但比常規(guī)測量聲速剖面再進行聲線跟蹤的定位方法更快.

4 結(jié)語

本文通過使用PSO算法，實現(xiàn)了聲速不確定情況下LBL系統(tǒng)定位精度的顯著提高.傳統(tǒng)LBL系統(tǒng)定位方法通常設(shè)定單個恒定聲速值，并求解線性或非線性方程組來定位目標(biāo).這些方法不僅難以確定聲速，而且與實際情況有很大的差異，導(dǎo)致定位精度較差.本文提出了一種基于PSO算法的LBL系統(tǒng)定位方法.該方法通過設(shè)置每個應(yīng)答器和目標(biāo)之間的聲信號傳播速度不相等來建立多參數(shù)優(yōu)化問題，并利用PSO算法來解算得到有效聲速，再由得到的有效聲速對目標(biāo)進行定位.仿真實驗結(jié)果表明，所提出的算法具有比傳統(tǒng)算法更高的定位精度和更好的穩(wěn)定性，且計算效率足夠高.這表明該算法適用于解決無法獲得精確聲速剖面情況下的LBL系統(tǒng)定位問題.