5軸數(shù)控工具磨床砂輪掃掠體生成方法*

毛一硯，江海凡，孫健華，丁國富

(西南交通大學(xué) a.先進(jìn)設(shè)計與制造技術(shù)研究所；b.機械工程學(xué)院，成都 610031)

0 引言

在數(shù)字化制造中，利用幾何建模技術(shù)建立起與實際相似的數(shù)字化生產(chǎn)過程，并對該過程進(jìn)行仿真、試驗、評估和優(yōu)化，能顯著提高生產(chǎn)決策水平，優(yōu)化資源結(jié)構(gòu)，減少試驗周期和費用等，是解決生產(chǎn)制造問題的有效方法[1-2]。其中，數(shù)控仿真技術(shù)的不斷發(fā)展，實現(xiàn)了對數(shù)控代碼的有效驗證，也提高了產(chǎn)品的生產(chǎn)效率和質(zhì)量[3-4]。

砂輪掃掠體是五軸數(shù)控磨床加工仿真技術(shù)的基礎(chǔ)。一般地，掃掠體指以任一對象的幾何模型為掃掠母體，沿空間一條特定掃掠路徑以特定方式運動，最終產(chǎn)生的幾何模型所占據(jù)的幾何空間總和[5]。在數(shù)控磨削仿真中，砂輪掃掠體指在執(zhí)行某一段NC指令時，砂輪從某一起始位置經(jīng)某一路徑運動到另一位置所包絡(luò)形成的幾何空間形體。砂輪掃掠體的幾何分析、建模和描述是5軸數(shù)控磨削仿真的關(guān)鍵技術(shù)之一。

現(xiàn)有掃掠體計算方法多集中于銑削加工仿真中。其中，Wang等[6]和黎先才[7]基于包絡(luò)理論法，通過計算刀具運動過程中的臨界線構(gòu)造出刀具掃掠體；Abdel-Malek等[8]基于雅可比降秩法，給出了刀具掃掠體的顯式表達(dá)；Blackmore等[9]基于掃描微分方程法，采用高次非線性方程組求解出刀具掃掠體。本文結(jié)合5軸數(shù)控工具磨床的運動特性及其砂輪的幾何特征，在對常見通用砂輪幾何模型簡化的基礎(chǔ)上，基于包絡(luò)理論計算出砂輪運動過程中的臨界切點并構(gòu)建出砂輪掃掠體。

1 常見標(biāo)準(zhǔn)砂輪通用模型

常用的標(biāo)準(zhǔn)砂輪有平形砂輪、碟形砂輪和碗形砂輪等[10]，簡化模型截面如圖1所示。

(a) 平形砂輪 (b) 碟形砂輪 (c) 碗形砂輪 圖1 三種常見標(biāo)準(zhǔn)砂輪

基于上述三種砂輪，建立其通用幾何模型如圖2所示。其中，D為外徑，K為凹面直徑，H為孔徑，E為孔徑厚度，J為臺徑，β為基體角度，T為厚度。D、J、T為關(guān)鍵幾何參數(shù)，K、H、E為工藝參數(shù)，β是與D，T，J相關(guān)聯(lián)的參數(shù)：

(1)

圖2 三種常見標(biāo)準(zhǔn)砂輪通用幾何模型

通用砂輪掃掠母體的參數(shù)化方程是實現(xiàn)砂輪掃掠體生成的基礎(chǔ)。掃掠體的復(fù)雜程度以及計算效率的高低取決于掃掠母體的復(fù)雜程度。故在不影響仿真精度的前提下，掃掠母體越簡單越好。在實際磨削加工中，以砂輪徑口頂端外部磨料層為主，凹槽等部分均不參與實際磨削加工，故掃掠母體可簡化為錐臺形模型，如圖3所示。以砂輪的底部中心為原點，軸向為Y軸，徑向為X軸，建立右手笛卡爾坐標(biāo)系，建立砂輪的外錐面表達(dá)式：

(2)

圖3 砂輪掃掠母體簡化模型

2 砂輪掃掠體實體構(gòu)造

五軸數(shù)控工具磨床以NC代碼為輸入，驅(qū)動砂輪對棒料磨削加工，其NC代碼一般基于加工坐標(biāo)系編程，故通過NC代碼直接運算推導(dǎo)的表達(dá)式均定義于加工坐標(biāo)系下。以NC代碼為驅(qū)動生成砂輪掃掠體，須將被加工棒料視為相對靜止，并將NC代碼中各軸的運動量轉(zhuǎn)換到砂輪上，由砂輪相對棒料運動生成掃掠體，并圍繞棒料不斷進(jìn)行布爾求交運算，以實現(xiàn)磨削加工仿真。

2.1 砂輪臨界切點求解

本文以A′-C′型5軸數(shù)控工具磨床為例，闡述砂輪掃掠體的求解方法。提取NC代碼中任一行可執(zhí)行代碼，設(shè)其為第k行可執(zhí)行代碼，其NC代碼段設(shè)為[Xk,Yk,Zk,Ak,Ck]，第k+1行可執(zhí)行代碼段為[Xk+1,Yk+1,Zk+1,Ak+1,Ck+1]。

根據(jù)微分幾何理論[11]，砂輪在每個特定位置上，其臨界線上的點滿足如下切函數(shù)：

Fm=Nm(u,v)·Vm(u,v)=0

(3)

式中，Nm(u,v)為砂輪在加工坐標(biāo)系中的外錐面法線矢量，Vm(u,v)為砂輪在運動軌跡中第k位置的瞬時速度矢量，v為軌跡參數(shù)，下標(biāo)m表示該式定義在加工坐標(biāo)系下。

依據(jù)曲面法線矢量求解方法[12]，結(jié)合式(2)可求得砂輪在砂輪坐標(biāo)系下的外錐面法矢：

(4)

其中，θ∈(0,2π]，y∈[0,t]。

由于外錐面法矢的計算推導(dǎo)均定義在砂輪坐標(biāo)系下，故須將外錐面法矢轉(zhuǎn)換到加工坐標(biāo)系下：

Nm(u,v)=RA·RC·Nc

(5)

其中，

同理，砂輪外錐面參數(shù)方程也須轉(zhuǎn)換到加工坐標(biāo)系下：

Mm(u,v)=T+RA·RC·Mc(u)

(6)

砂輪表面各點在加工坐標(biāo)系下的速度矢量Vm(u,v)為Mm(u,v)對軌跡參數(shù)v求偏導(dǎo)數(shù)：

(7)

由式(3)可得砂輪在第k位置狀態(tài)的切函數(shù)：

Fm=Nm(u,vk)·Vm(u,vk)=0

(8)

其中，Nm(u,vk) =RA k·RCk·Nc。

由式(5)、式(7)、式(8)可求得θ(u)1，θ(u)2，定義其為第k位置的臨界切角。由于構(gòu)造砂輪掃掠體截面均考慮以直線段連接，故可將其轉(zhuǎn)化為由切函數(shù)Fm求得直線段兩端點的坐標(biāo)，共須提取4個臨界切點。以砂輪坐標(biāo)系為基準(zhǔn)，砂輪底部圓外側(cè)的臨界切點記為θ(0,0)1；砂輪頂部圓外側(cè)的臨界切點記為θ(1,0)1；砂輪底部圓內(nèi)側(cè)的臨界切點記為θ(0,0)2；砂輪底部圓外側(cè)的臨界切點記為θ(1,0)2。其中，u=0表示y=0，u=1表示y=t，其具體位置分布如圖4所示。

圖4 4個臨界切點位置分布

將θ(0,0)1，θ(1,0)1，θ(0,0)2，θ(1,0)2分別代入式(2)可求得在砂輪坐標(biāo)系下的4個臨界切點坐標(biāo)，再將這4個臨界切點坐標(biāo)代入式(6)可求得在加工坐標(biāo)系中的4個臨界切點坐標(biāo)，分別記為Mm(0,0)1，Mm(1,0)1，Mm(0,0)2，Mm(1,0)2。

2.2 砂輪掃掠體實體造型

圖5 砂輪掃掠體構(gòu)成

采用場景圖形引擎OSG(Open Scene Graph)進(jìn)行建模和繪圖。使用osg::Geometry類，通過指定頂點、顏色和法線，繪制簡單線段、三角形面片、多邊形面片，并將繪圖結(jié)果添加到場景葉結(jié)點Geode中。通過離散釆樣方式計算砂輪模型截面離散點，將初始截面繞軸矢量進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，以一定旋轉(zhuǎn)離散精度計算得到所有離散點，以三點為一個單元進(jìn)行三角形面片拼接，構(gòu)建出一個掃掠母體模型。通過計算求解出掃掠體中間部分所有臨界切點，掃掠體外側(cè)面則通過這些臨界切點以三點為一個單元進(jìn)行三角形面片拼接，最終構(gòu)建出一個完整的空間幾何體。

以掃掠體前面造型為例，通過頂部和底部的臨界切點，以三個點為一個單元通過三角形面片進(jìn)行拼接。如圖6所示，以Mm(0,0)1，Mm(1,0)1，Mm(0,1)1為一個單元，拼接成一個三角形面片，Mm(1,0)1，Mm(1,1)1，Mm(0,1)1拼接成另一個三角形面片。以此類推，可以拼接出整個掃掠體前面。同理，可得到掃掠體后面、左面、右面、頂面和底面，進(jìn)而構(gòu)建出一個完整的掃掠體模型。

圖6 砂輪掃掠體前面拼接方法

3 實例驗證

以d=48，t=22，β=65°的砂輪為例，以0.6°旋轉(zhuǎn)離散精度計算共得601個離散點，根據(jù)砂輪母體構(gòu)造方法進(jìn)行實體構(gòu)造，生成掃掠母體如圖7所示。

圖7 砂輪掃掠母體

給定一段5軸數(shù)控測試代碼，提取出各軸運動信息如表1所示。

表1 五軸數(shù)控工具磨床NC代碼段

以309行NC代碼為輸入，共求解出1232個臨界切點，根據(jù)砂輪掃掠體構(gòu)造方法進(jìn)行實體構(gòu)造，最終生成的砂輪掃掠體如圖8所示。

圖8 砂輪掃掠體

4 結(jié)論

本文提出了一種通用的砂輪掃掠體生成方法。建立了基于參數(shù)化驅(qū)動的常見通用砂輪模型，通過簡化其幾何模型和砂輪掃掠母體，結(jié)合包絡(luò)理論計算出砂輪掃掠過程中的臨界切點，并通過點臨界切生成砂輪掃掠體外表面，最終得到完整的砂輪掃掠體模型，并通過實例驗證了砂輪簡化模型及砂輪掃掠體生成方法的正確性和有效性。

使用該砂輪掃掠體與棒料進(jìn)行動態(tài)布爾求交運算，實現(xiàn)動態(tài)磨削仿真是下一步研究內(nèi)容。