帶有缺失數(shù)據(jù)的Box-Behnken試驗(yàn)設(shè)計(jì)

張劉方 丁宇 陳雪平 馬強(qiáng)

摘? ? 要：中心組合設(shè)計(jì)是響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容，需要通過試驗(yàn)、建模、數(shù)據(jù)分析，從而選擇最優(yōu)設(shè)計(jì)方法。研究重點(diǎn)介紹了Box-Behnken設(shè)計(jì)（BBD設(shè)計(jì)），然后探討了試驗(yàn)在缺失一個(gè)數(shù)據(jù)后，若干效率準(zhǔn)則的變化（包括D-效率，E-效率，A-效率），討論了各類設(shè)計(jì)中不同部分缺失一個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)的效率值變化。結(jié)果表明，效率隨因子數(shù)的變化呈現(xiàn)相同的趨勢(shì);最后，給出了使得效率損失最小的設(shè)計(jì)方案。

關(guān)鍵詞：Box-Behnken設(shè)計(jì);D-效率;E-效率;A-效率

中圖分類號(hào)：O224? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：2095-7394（2019）06-0082-06

響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)是試驗(yàn)設(shè)計(jì)的一種。試驗(yàn)設(shè)計(jì)是使用頻率最高的統(tǒng)計(jì)方法之一，最早由英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇爾（R. A. Fisher）在1935年提出，至今已有80多年的歷史。在試驗(yàn)設(shè)計(jì)的發(fā)展道路上，大致經(jīng)歷了四個(gè)階段，即傳統(tǒng)的方差分析、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)、信噪比試驗(yàn)設(shè)計(jì)與產(chǎn)品的三次設(shè)計(jì)、電腦仿真試驗(yàn)。其基本思想是對(duì)試驗(yàn)方案做出合理安排，使試驗(yàn)數(shù)據(jù)有合適的數(shù)學(xué)模型，以減少隨機(jī)誤差的影響，從而提高試驗(yàn)結(jié)論的精度和可靠度[1]。

Box-Behnken設(shè)計(jì)由Box和Behnken在1960年提出，是由因子設(shè)計(jì)與不完全集區(qū)設(shè)計(jì)結(jié)合而成的適應(yīng)響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)的三水平設(shè)計(jì)。Box-Behnken設(shè)計(jì)非常重要的特性是以較少的試驗(yàn)次數(shù)，去估計(jì)一階、二階與交互作用項(xiàng)[2]，并且在因素?cái)?shù)相同的情況下，Box-Behnken設(shè)計(jì)的試驗(yàn)次數(shù)要比中心組合設(shè)計(jì)的次數(shù)少，所以更經(jīng)濟(jì)，可稱為具有更高效率的響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)法。 它是一種符合旋轉(zhuǎn)性或幾乎可旋轉(zhuǎn)性的球面設(shè)計(jì)[3]。

1? ? 效率值計(jì)算

1.1? D-效率

試驗(yàn)設(shè)計(jì)評(píng)定效率準(zhǔn)則中最常用的是D-效率[4]，它是用矩陣的形式來判定試驗(yàn)設(shè)計(jì)是否最優(yōu)的一種準(zhǔn)則，用到的矩陣是[XTX]。但是，在帶有一個(gè)缺失數(shù)據(jù)時(shí)，采用的矩陣是[XTrXr]。同[XTX]一樣，[XTrXr]也包含方差和協(xié)方差，控制設(shè)計(jì)方案的主要方法就是控制這個(gè)矩陣的方差和協(xié)方差。 討論矩陣的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)是行列式，把矩陣[（XTrXr）-1]的特征值[λ1，λ2…，λp]的最大特征值、算術(shù)平均特征值和幾何平均特征值用[λmax]、[λ]和[λ]來表示，則[D0=XTrXr=i=1pλ-1i=λ-p]。為了消除試驗(yàn)次數(shù)和因子個(gè)數(shù)帶來的影響，可以定義[D=（n-1）-1XTrXr1/p]，其中[p=（k+1）（k+2）/2]。[p]是在具體模型中的參數(shù)個(gè)數(shù)，[n]是總的試驗(yàn)次數(shù)。 D-效率設(shè)計(jì)就是求[XTrXr]的最大化，也就是說求[MaxζXTrXr（ζ）]，其中[ζ]表示不同的設(shè)計(jì)序號(hào)[5]。

1.2? A-效率

1.3? E-效率

2? ? Box-Behnken設(shè)計(jì)

2.1? 對(duì)BBD設(shè)計(jì)進(jìn)行方案設(shè)計(jì)

在因子為3時(shí)，設(shè)計(jì)方案（K=4、5、6時(shí)的設(shè)計(jì)方案與K=3時(shí)相似，所以表1只列了K=3時(shí)的設(shè)計(jì)方案）見表1。

2.2? 將設(shè)計(jì)的方案進(jìn)行試驗(yàn)，得到數(shù)據(jù)并進(jìn)行BBD設(shè)計(jì)的效率值分析

從表2中可以直觀看出，各效率值的變化與沒有缺失數(shù)據(jù)的效率值基本保持一致。即隨著因子數(shù)的增加，各效率值在不斷降低。其中D-效率降低幅度值較大，A-效率和E-效率降低幅度值較小。

由表3可以明顯地看出，效率值變化趨勢(shì)和表2情況一致。綜合可以得出以下結(jié)論：不管這一缺失數(shù)據(jù)發(fā)生在Box-Behnken設(shè)計(jì)的哪一行，在強(qiáng)度相近或相同的情況下，隨著因子數(shù)的增加，D-效率、A-效率、E-效率都呈遞減趨勢(shì)。

3? ? APM設(shè)計(jì)、CCD設(shè)計(jì)、BBD設(shè)計(jì)的比較

由于Augmented Pairs Minimax Design（APM設(shè)計(jì)）、Central Composite Design（CCP設(shè)計(jì)）、Box-Behnken Design（BBD設(shè)計(jì)）的每種設(shè)計(jì)各部分缺失一個(gè)數(shù)據(jù)的效率值發(fā)生趨勢(shì)是基本相同的，所以僅用第一部分帶有一個(gè)缺失數(shù)據(jù)的APM設(shè)計(jì)的效率圖與原點(diǎn)處帶有一個(gè)缺失數(shù)據(jù)的Box-Behnken設(shè)計(jì)的效率圖進(jìn)行對(duì)比。如圖1，不難發(fā)現(xiàn)APM設(shè)計(jì)和BBD設(shè)計(jì)的A-效率、E-效率，均隨著因子數(shù)的增加而減少，而APM設(shè)計(jì)的A-效率、E-效率趨向于零，D-效率與上兩種設(shè)計(jì)有很大的差異。

比較圖2、圖3可以看出：CCD設(shè)計(jì)的A-效率、E-效率與BBD設(shè)計(jì)基本一致，都呈遞減趨勢(shì)，只是BBD設(shè)計(jì)的A-效率值、E-效率值在K=3時(shí)略大于CCD的A-效率值、E-效率值;而兩種設(shè)計(jì)的D效率值相差較大，BBD設(shè)計(jì)的D-效率值隨著因子數(shù)的增加不斷降低，而CCD的D-效率大體上遞減，但在因子數(shù)為5、試驗(yàn)次數(shù)為30（對(duì)應(yīng)橫坐標(biāo)第一個(gè)5）時(shí)D-效率較低，在因子數(shù)為5、試驗(yàn)次數(shù)為46（對(duì)應(yīng)橫坐標(biāo)第一個(gè)5）時(shí)D-效率又升高至0.55，在因子數(shù)為7時(shí)D-效率值下降到0。

綜上所述，不同的設(shè)計(jì)在缺失一個(gè)數(shù)據(jù)的情況下三種效率值有一定的相似之處。即：A-效率值和E-效率值都較小且呈遞減趨勢(shì);D-效率值較大但幾乎沒有規(guī)律可循。在缺失一個(gè)數(shù)據(jù)的情況下，這一現(xiàn)象也是符合實(shí)際要求的，即A-效率值、E-效率值越小越好，D-效率值越大越好。

4? ? 因子數(shù)一定時(shí)的最優(yōu)設(shè)計(jì)

4.1? K=3時(shí)，三種設(shè)計(jì)的各效率值比較

K=3時(shí)，由表4可以看出，APM設(shè)計(jì)的D-效率值最高，A-效率值、E-效率值最低。此時(shí)，在缺失一個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)APM設(shè)計(jì)最優(yōu)。

4.2? K=4時(shí)，三種設(shè)計(jì)的各效率值比較

K=4時(shí)，由表5可見，CCD設(shè)計(jì)的D-效率值最高，其A-效率值略低于其它兩種設(shè)計(jì)，而三種設(shè)計(jì)的E-效率值幾乎相等。所以，此時(shí)CCD設(shè)計(jì)較優(yōu)。

4.3? K=5時(shí)，三種設(shè)計(jì)的各效率值比較

K=5時(shí)，從表6中可以看出，CCD設(shè)計(jì)的D-效率最高。同時(shí)，其A-效率、E-效率最小。此時(shí)，CCD 設(shè)計(jì)最優(yōu)。

4.4? K=6時(shí)，三種設(shè)計(jì)的各效率值比較

K=6時(shí)，從表7可見，D-效率最高的依舊是CCD設(shè)計(jì)，BBD設(shè)計(jì)的A-效率、E-效率最低。所以，若以D-效率為判別準(zhǔn)則，則選用CCD設(shè)計(jì);若以A-效率、E-效率為判別準(zhǔn)則，則選用BBD設(shè)計(jì)。

5? ? 結(jié)語

通過上文討論可以發(fā)現(xiàn)：不同的設(shè)計(jì)其效率損失也不同;因子數(shù)不同時(shí)，所表現(xiàn)出的效率損失也不盡相同。我們可以根據(jù)因子數(shù)的不同，選擇不同的設(shè)計(jì)，使得效率損失最小。通過對(duì)每種設(shè)計(jì)都采用三種效率準(zhǔn)則計(jì)算，發(fā)現(xiàn)在不同效率準(zhǔn)則下，最優(yōu)設(shè)計(jì)也存在差異。同時(shí)，還可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于每種設(shè)計(jì)，不管是哪一部分帶有缺失數(shù)據(jù)，效率隨因子數(shù)的變化呈現(xiàn)相同的趨勢(shì)。最后，在因子數(shù)相同的條件下，將不同設(shè)計(jì)在不同效率準(zhǔn)則下的效率值進(jìn)行歸類。結(jié)果表明：在因子數(shù)較小時(shí)，CCD設(shè)計(jì)優(yōu)于BBD設(shè)計(jì)和APM設(shè)計(jì)。

參考文獻(xiàn)：

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