追向量之根溯內(nèi)積之源

摘 要：中學(xué)階段向量運(yùn)算主要有線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算涉及長度、夾角等問題，但數(shù)量積運(yùn)算常常與三角函數(shù)、解三角形、圓等交匯，故綜合強(qiáng)度大.

關(guān)鍵詞：數(shù)量積定義；幾何意義；投影；基底；坐標(biāo)法

一、問題的提出

在新課程改革中，教材在必修與選修中都引入了向量，其目的很明確，即為研究平面幾何、空間幾何問題提供新的研究手段，充分體現(xiàn)向量的工具性.向量這個既有大小又有方向的量，不僅從“數(shù)”的方面可以運(yùn)算，也可以從“形”的方面巧妙呈現(xiàn)，所以高中數(shù)學(xué)中向量的問題，往往比較靈活，而其中數(shù)量積問題（也稱內(nèi)積），既考查數(shù)量積概念及幾何意義的靈活運(yùn)用，又考查幾何圖形性質(zhì)的應(yīng)用，學(xué)生往往無從下手.究其原因，發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生只是粗淺地記憶數(shù)量積公式，沒有站在向量整個模塊的高度來審視數(shù)量積.

向量數(shù)量積不同于向量的線性運(yùn)算，因?yàn)樗慕Y(jié)果是數(shù)量，不是向量.向量數(shù)量積與距離、夾角等緊密聯(lián)系，用它可以解決一些涉及距離、夾角的幾何問題.但是作為工具性的章節(jié)，向量的考查往往又與三角函數(shù)、解三角形、圓、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等交匯，綜合強(qiáng)度大，學(xué)生往往困于破解的突破口，本文將追根溯源，探求數(shù)量積概念的本源，揭示處理數(shù)量積問題常用的幾種角度.

二、數(shù)量積的定義及其意義

三、平面向量基本定理與數(shù)量積的坐標(biāo)表示

平面向量基本定理是向量坐標(biāo)表示的理論基礎(chǔ).直角坐標(biāo)系中與x軸、y軸方向相同的單位向量是它的一組正交基底，平面內(nèi)任何一個向量都可由一對有序?qū)崝?shù)（x，y）表示.這樣建立了向量的坐標(biāo)表示與點(diǎn)的坐標(biāo)表示的對應(yīng)關(guān)系，把向量（以原點(diǎn)為始點(diǎn)的有向線段）與點(diǎn)對應(yīng)起來.

由此可見，合理選擇基底，把所求向量都用基底轉(zhuǎn)化，再進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，則可以有效計算出數(shù)量積.這是從選擇基底的角度轉(zhuǎn)化表示數(shù)量積，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想.

用坐標(biāo)法解決幾何問題的基本過程就是：合理建系，坐標(biāo)表示，向量運(yùn)算，化簡結(jié)果，最后再把向量運(yùn)算結(jié)果翻譯成幾何結(jié)論.

若能方便建系，表示所求點(diǎn)的坐標(biāo)，則可快速表示數(shù)量積.這是從坐標(biāo)化的角度表示數(shù)量積.這兩個角度可以說是從教材中數(shù)量積這一節(jié)與前后兩節(jié)知識聯(lián)系而挖掘出來的.

評析：由單位圓出發(fā)，建系，使用三角函數(shù)定義設(shè)點(diǎn)，表示所求向量坐標(biāo)，數(shù)量積一運(yùn)算，貌似復(fù)雜，但繼續(xù)算下去經(jīng)三角變換，發(fā)現(xiàn)可以合并成一個三角函數(shù)，利用三角函數(shù)有界性可快速求出最值.真是“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”！而還可以求出最小值或范圍.相比于前兩種角度，第三種角度思維量小，計算量也不大，抓住三角函數(shù)定義這個本質(zhì)，較徹底地認(rèn)識·的變化情況.

本題是選擇題，不少學(xué)生大膽猜想當(dāng)BC∥PQ時，取得最大值.但要嚴(yán)格推理論證或是變式一下，就無從下手了.只要學(xué)生能深刻理解數(shù)量積的定義，從本質(zhì)出發(fā)，熟悉常用的幾種切入口，這種數(shù)量積的問題就能輕松拿下.

萊布尼茲曾說過：“學(xué)生在我看來，沒有什么能比探索發(fā)明的源頭還要重要，它遠(yuǎn)比發(fā)明本身更重要。”很多數(shù)學(xué)問題，我們應(yīng)該經(jīng)常思考，應(yīng)該選擇什么角度入手，把握概念的本質(zhì)以及其來龍去脈，做到能正向研究，也能逆向思維，則我們就能站在一個相對的高度上看數(shù)學(xué)問題.透過現(xiàn)象看本質(zhì)，則解題就水到渠成了！

作者簡介：林清利，男，出生于1985年5月，大學(xué)本科學(xué)歷，就職于福建省莆田第一中學(xué)，在高中教學(xué)第一線。endprint

摘 要：中學(xué)階段向量運(yùn)算主要有線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算涉及長度、夾角等問題，但數(shù)量積運(yùn)算常常與三角函數(shù)、解三角形、圓等交匯，故綜合強(qiáng)度大.

關(guān)鍵詞：數(shù)量積定義；幾何意義；投影；基底；坐標(biāo)法

一、問題的提出

在新課程改革中，教材在必修與選修中都引入了向量，其目的很明確，即為研究平面幾何、空間幾何問題提供新的研究手段，充分體現(xiàn)向量的工具性.向量這個既有大小又有方向的量，不僅從“數(shù)”的方面可以運(yùn)算，也可以從“形”的方面巧妙呈現(xiàn)，所以高中數(shù)學(xué)中向量的問題，往往比較靈活，而其中數(shù)量積問題（也稱內(nèi)積），既考查數(shù)量積概念及幾何意義的靈活運(yùn)用，又考查幾何圖形性質(zhì)的應(yīng)用，學(xué)生往往無從下手.究其原因，發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生只是粗淺地記憶數(shù)量積公式，沒有站在向量整個模塊的高度來審視數(shù)量積.

向量數(shù)量積不同于向量的線性運(yùn)算，因?yàn)樗慕Y(jié)果是數(shù)量，不是向量.向量數(shù)量積與距離、夾角等緊密聯(lián)系，用它可以解決一些涉及距離、夾角的幾何問題.但是作為工具性的章節(jié)，向量的考查往往又與三角函數(shù)、解三角形、圓、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等交匯，綜合強(qiáng)度大，學(xué)生往往困于破解的突破口，本文將追根溯源，探求數(shù)量積概念的本源，揭示處理數(shù)量積問題常用的幾種角度.

二、數(shù)量積的定義及其意義

三、平面向量基本定理與數(shù)量積的坐標(biāo)表示

平面向量基本定理是向量坐標(biāo)表示的理論基礎(chǔ).直角坐標(biāo)系中與x軸、y軸方向相同的單位向量是它的一組正交基底，平面內(nèi)任何一個向量都可由一對有序?qū)崝?shù)（x，y）表示.這樣建立了向量的坐標(biāo)表示與點(diǎn)的坐標(biāo)表示的對應(yīng)關(guān)系，把向量（以原點(diǎn)為始點(diǎn)的有向線段）與點(diǎn)對應(yīng)起來.

由此可見，合理選擇基底，把所求向量都用基底轉(zhuǎn)化，再進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，則可以有效計算出數(shù)量積.這是從選擇基底的角度轉(zhuǎn)化表示數(shù)量積，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想.

用坐標(biāo)法解決幾何問題的基本過程就是：合理建系，坐標(biāo)表示，向量運(yùn)算，化簡結(jié)果，最后再把向量運(yùn)算結(jié)果翻譯成幾何結(jié)論.

若能方便建系，表示所求點(diǎn)的坐標(biāo)，則可快速表示數(shù)量積.這是從坐標(biāo)化的角度表示數(shù)量積.這兩個角度可以說是從教材中數(shù)量積這一節(jié)與前后兩節(jié)知識聯(lián)系而挖掘出來的.

評析：由單位圓出發(fā)，建系，使用三角函數(shù)定義設(shè)點(diǎn)，表示所求向量坐標(biāo)，數(shù)量積一運(yùn)算，貌似復(fù)雜，但繼續(xù)算下去經(jīng)三角變換，發(fā)現(xiàn)可以合并成一個三角函數(shù)，利用三角函數(shù)有界性可快速求出最值.真是“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”！而還可以求出最小值或范圍.相比于前兩種角度，第三種角度思維量小，計算量也不大，抓住三角函數(shù)定義這個本質(zhì)，較徹底地認(rèn)識·的變化情況.

本題是選擇題，不少學(xué)生大膽猜想當(dāng)BC∥PQ時，取得最大值.但要嚴(yán)格推理論證或是變式一下，就無從下手了.只要學(xué)生能深刻理解數(shù)量積的定義，從本質(zhì)出發(fā)，熟悉常用的幾種切入口，這種數(shù)量積的問題就能輕松拿下.

萊布尼茲曾說過：“學(xué)生在我看來，沒有什么能比探索發(fā)明的源頭還要重要，它遠(yuǎn)比發(fā)明本身更重要?！焙芏鄶?shù)學(xué)問題，我們應(yīng)該經(jīng)常思考，應(yīng)該選擇什么角度入手，把握概念的本質(zhì)以及其來龍去脈，做到能正向研究，也能逆向思維，則我們就能站在一個相對的高度上看數(shù)學(xué)問題.透過現(xiàn)象看本質(zhì)，則解題就水到渠成了！

作者簡介：林清利，男，出生于1985年5月，大學(xué)本科學(xué)歷，就職于福建省莆田第一中學(xué)，在高中教學(xué)第一線。endprint

摘 要：中學(xué)階段向量運(yùn)算主要有線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算涉及長度、夾角等問題，但數(shù)量積運(yùn)算常常與三角函數(shù)、解三角形、圓等交匯，故綜合強(qiáng)度大.

關(guān)鍵詞：數(shù)量積定義；幾何意義；投影；基底；坐標(biāo)法

一、問題的提出

在新課程改革中，教材在必修與選修中都引入了向量，其目的很明確，即為研究平面幾何、空間幾何問題提供新的研究手段，充分體現(xiàn)向量的工具性.向量這個既有大小又有方向的量，不僅從“數(shù)”的方面可以運(yùn)算，也可以從“形”的方面巧妙呈現(xiàn)，所以高中數(shù)學(xué)中向量的問題，往往比較靈活，而其中數(shù)量積問題（也稱內(nèi)積），既考查數(shù)量積概念及幾何意義的靈活運(yùn)用，又考查幾何圖形性質(zhì)的應(yīng)用，學(xué)生往往無從下手.究其原因，發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生只是粗淺地記憶數(shù)量積公式，沒有站在向量整個模塊的高度來審視數(shù)量積.

向量數(shù)量積不同于向量的線性運(yùn)算，因?yàn)樗慕Y(jié)果是數(shù)量，不是向量.向量數(shù)量積與距離、夾角等緊密聯(lián)系，用它可以解決一些涉及距離、夾角的幾何問題.但是作為工具性的章節(jié)，向量的考查往往又與三角函數(shù)、解三角形、圓、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等交匯，綜合強(qiáng)度大，學(xué)生往往困于破解的突破口，本文將追根溯源，探求數(shù)量積概念的本源，揭示處理數(shù)量積問題常用的幾種角度.

二、數(shù)量積的定義及其意義

三、平面向量基本定理與數(shù)量積的坐標(biāo)表示

平面向量基本定理是向量坐標(biāo)表示的理論基礎(chǔ).直角坐標(biāo)系中與x軸、y軸方向相同的單位向量是它的一組正交基底，平面內(nèi)任何一個向量都可由一對有序?qū)崝?shù)（x，y）表示.這樣建立了向量的坐標(biāo)表示與點(diǎn)的坐標(biāo)表示的對應(yīng)關(guān)系，把向量（以原點(diǎn)為始點(diǎn)的有向線段）與點(diǎn)對應(yīng)起來.

由此可見，合理選擇基底，把所求向量都用基底轉(zhuǎn)化，再進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，則可以有效計算出數(shù)量積.這是從選擇基底的角度轉(zhuǎn)化表示數(shù)量積，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想.

用坐標(biāo)法解決幾何問題的基本過程就是：合理建系，坐標(biāo)表示，向量運(yùn)算，化簡結(jié)果，最后再把向量運(yùn)算結(jié)果翻譯成幾何結(jié)論.

若能方便建系，表示所求點(diǎn)的坐標(biāo)，則可快速表示數(shù)量積.這是從坐標(biāo)化的角度表示數(shù)量積.這兩個角度可以說是從教材中數(shù)量積這一節(jié)與前后兩節(jié)知識聯(lián)系而挖掘出來的.

評析：由單位圓出發(fā)，建系，使用三角函數(shù)定義設(shè)點(diǎn)，表示所求向量坐標(biāo)，數(shù)量積一運(yùn)算，貌似復(fù)雜，但繼續(xù)算下去經(jīng)三角變換，發(fā)現(xiàn)可以合并成一個三角函數(shù)，利用三角函數(shù)有界性可快速求出最值.真是“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”！而還可以求出最小值或范圍.相比于前兩種角度，第三種角度思維量小，計算量也不大，抓住三角函數(shù)定義這個本質(zhì)，較徹底地認(rèn)識·的變化情況.

本題是選擇題，不少學(xué)生大膽猜想當(dāng)BC∥PQ時，取得最大值.但要嚴(yán)格推理論證或是變式一下，就無從下手了.只要學(xué)生能深刻理解數(shù)量積的定義，從本質(zhì)出發(fā)，熟悉常用的幾種切入口，這種數(shù)量積的問題就能輕松拿下.

萊布尼茲曾說過：“學(xué)生在我看來，沒有什么能比探索發(fā)明的源頭還要重要，它遠(yuǎn)比發(fā)明本身更重要。”很多數(shù)學(xué)問題，我們應(yīng)該經(jīng)常思考，應(yīng)該選擇什么角度入手，把握概念的本質(zhì)以及其來龍去脈，做到能正向研究，也能逆向思維，則我們就能站在一個相對的高度上看數(shù)學(xué)問題.透過現(xiàn)象看本質(zhì)，則解題就水到渠成了！

作者簡介：林清利，男，出生于1985年5月，大學(xué)本科學(xué)歷，就職于福建省莆田第一中學(xué)，在高中教學(xué)第一線。endprint