巧用幾何意義 妙解高考選做題
——以全國(guó)Ⅱ卷為例

李昌成 曾 靜 車燕昭

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

在全國(guó)高考數(shù)學(xué)理科Ⅱ卷中，選考內(nèi)容是以解答題形式考查的.其中選修4-4極坐標(biāo)與參數(shù)方程的題型相對(duì)穩(wěn)定，備受考生歡迎.但是部分學(xué)生因?yàn)閷?duì)極坐標(biāo)中的ρ、θ，直線參數(shù)方程中的t的幾何意義理解不到位，而采取逃避的辦法，全部轉(zhuǎn)化為普通的直角坐標(biāo)方程作答，這是不科學(xué)的.本文從幾何意義的角度，研究近年來Ⅱ卷相關(guān)的高考題，以饗讀者.

一、利用ρ的幾何意義解題

在極坐標(biāo)系中，極徑ρ表示平面內(nèi)任意一點(diǎn)M到極點(diǎn)(原點(diǎn))O的距離.恰當(dāng)靈活運(yùn)用這一幾何意義可以方便快捷地解答很多高考選考解答題.

(1) 求C2的方程；

分析在第(2)中，射線是用極坐標(biāo)形式給出的，因此我們應(yīng)該將曲線C1、C2化成極坐標(biāo)，利用極徑ρ的幾何意義求長(zhǎng)度|AB|，如圖1,|AB|=|OB|-|OA|.這樣可以避免大量的運(yùn)算.

解(1)略解得曲線C2的普通方程為x2+(y-4)2=16.

(2)由已知得，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ.

由(1)得，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=8sinθ.

例2 (2017年全國(guó)高考理科Ⅱ卷第23題)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=4．

(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|=16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程.

(2)略.

分析已知中|OM|、|OP|分別代表動(dòng)點(diǎn)M、P的極徑，而非一般的長(zhǎng)度.我們可以將|OM|·|OP|=16等價(jià)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)關(guān)系式，考慮到極角相同，這是一件容易操作的事.若受到問題中“直角坐標(biāo)方程”的誤導(dǎo)，解題會(huì)掉入陷阱.

所以C2的極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ(ρ>0).

因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4(x≠0).

二、利用θ的幾何意義解題

在極坐標(biāo)系中，極角θ表示平面內(nèi)以極點(diǎn)O為頂點(diǎn)，Ox為始邊，OM為終邊的∠xOM.恰當(dāng)準(zhǔn)確運(yùn)用這一幾何意義也可以方便快捷地解答很多高考選考解答題.

(1)求點(diǎn)A，B，C，D的直角坐標(biāo)；

(2)略.

(1)求C的參數(shù)方程；

分析本題對(duì)極角的考查很深刻.已知中的半圓靠極角來確定具體位置，只有準(zhǔn)確理解極角定義，才能找準(zhǔn)極角位置，進(jìn)一步確定究竟是什么位置的半圓，進(jìn)而確定參數(shù)方程中的參數(shù)范圍.否則兩問都會(huì)因?yàn)闃O角幾何意義而出錯(cuò).

所以C的普通方程為(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).

三、利用t的幾何意義解題

例5 (2016年全國(guó)高考理科Ⅱ卷第23題)在直線坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x+6)2+y2=25．

(1)略；

(1)略；

(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率．

分析在直線參數(shù)方程中，借助t的幾何意義有t1+t2=0，以此為突破口可以做答.

解(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程

(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0①.

通過以上研究不難發(fā)現(xiàn)，充分利用極坐標(biāo)中的ρ、θ，直線參數(shù)方程中的t的幾何意義答題是比較方便快捷的，甚至用于處理一些圓錐曲線解答題也是一種技巧.掌握應(yīng)用幾何意義也是教學(xué)大綱和高考考綱的要求，值得關(guān)注.