李昌成 曾 靜 車燕昭
(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)
在全國(guó)高考數(shù)學(xué)理科Ⅱ卷中,選考內(nèi)容是以解答題形式考查的.其中選修4-4極坐標(biāo)與參數(shù)方程的題型相對(duì)穩(wěn)定,備受考生歡迎.但是部分學(xué)生因?yàn)閷?duì)極坐標(biāo)中的ρ、θ,直線參數(shù)方程中的t的幾何意義理解不到位,而采取逃避的辦法,全部轉(zhuǎn)化為普通的直角坐標(biāo)方程作答,這是不科學(xué)的.本文從幾何意義的角度,研究近年來Ⅱ卷相關(guān)的高考題,以饗讀者.
在極坐標(biāo)系中,極徑ρ表示平面內(nèi)任意一點(diǎn)M到極點(diǎn)(原點(diǎn))O的距離.恰當(dāng)靈活運(yùn)用這一幾何意義可以方便快捷地解答很多高考選考解答題.
(1) 求C2的方程;
分析在第(2)中,射線是用極坐標(biāo)形式給出的,因此我們應(yīng)該將曲線C1、C2化成極坐標(biāo),利用極徑ρ的幾何意義求長(zhǎng)度|AB|,如圖1,|AB|=|OB|-|OA|.這樣可以避免大量的運(yùn)算.
解(1)略解得曲線C2的普通方程為x2+(y-4)2=16.
(2)由已知得,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ.
由(1)得,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=8sinθ.
例2 (2017年全國(guó)高考理科Ⅱ卷第23題)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=4.
(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在線段OM上,且滿足|OM|·|OP|=16,求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程.
(2)略.
分析已知中|OM|、|OP|分別代表動(dòng)點(diǎn)M、P的極徑,而非一般的長(zhǎng)度.我們可以將|OM|·|OP|=16等價(jià)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)關(guān)系式,考慮到極角相同,這是一件容易操作的事.若受到問題中“直角坐標(biāo)方程”的誤導(dǎo),解題會(huì)掉入陷阱.
所以C2的極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ(ρ>0).
因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4(x≠0).
在極坐標(biāo)系中,極角θ表示平面內(nèi)以極點(diǎn)O為頂點(diǎn),Ox為始邊,OM為終邊的∠xOM.恰當(dāng)準(zhǔn)確運(yùn)用這一幾何意義也可以方便快捷地解答很多高考選考解答題.
(1)求點(diǎn)A,B,C,D的直角坐標(biāo);
(2)略.
(1)求C的參數(shù)方程;
分析本題對(duì)極角的考查很深刻.已知中的半圓靠極角來確定具體位置,只有準(zhǔn)確理解極角定義,才能找準(zhǔn)極角位置,進(jìn)一步確定究竟是什么位置的半圓,進(jìn)而確定參數(shù)方程中的參數(shù)范圍.否則兩問都會(huì)因?yàn)闃O角幾何意義而出錯(cuò).
所以C的普通方程為(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).
例5 (2016年全國(guó)高考理科Ⅱ卷第23題)在直線坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25.
(1)略;
(1)略;
(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求l的斜率.
分析在直線參數(shù)方程中,借助t的幾何意義有t1+t2=0,以此為突破口可以做答.
解(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程,整理得關(guān)于t的方程
(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0①.
通過以上研究不難發(fā)現(xiàn),充分利用極坐標(biāo)中的ρ、θ,直線參數(shù)方程中的t的幾何意義答題是比較方便快捷的,甚至用于處理一些圓錐曲線解答題也是一種技巧.掌握應(yīng)用幾何意義也是教學(xué)大綱和高考考綱的要求,值得關(guān)注.