數(shù)列極限的定義在微課教學中的設計

張艷妮

摘? ?要：微課教學模式是現(xiàn)代高等教育中的一個新型的重要教學模式，是克服傳統(tǒng)教學資源的局限性而發(fā)展起來的一種新型教學資源及應用模式。極限概念是高等數(shù)學中的基本概念，極限思想貫穿了整個高等數(shù)學的學習過程，但是極限概念始終是學生學習的一個難點。本文試圖從身邊的例子入手，結合筆者多年的教學經(jīng)驗，給出數(shù)列極限定義在微課教學過程中的教學設計。

關鍵詞：數(shù)列極限? 無限趨近? 微課教學

中圖分類號：G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-098X（2019）11（c）-0207-02

1? 微課教學的發(fā)展現(xiàn)狀

微課一詞最早是由美國新墨西哥州圣胡安學院的戴維·彭羅斯根據(jù)教學實踐要求提出的，微課教學是將教師在教學過程中圍繞某個知識點而展開的教與學全程通過視頻的方式記錄下來，其核心部分是課堂教學視頻。微課教學方式雖與傳統(tǒng)的教學方式有一定的差異，但是這種教學方式也是以傳統(tǒng)教學方式為基礎發(fā)展起來的。相較于傳統(tǒng)而單一的教學類型，微課具有短小精悍、使用方便、主題突出、內(nèi)容分具體、半結構化、容易補充等特點。深受廣大師生喜歡和推崇。

與課堂教學結構類似，微課也有課前預習、課堂知識教學、習題理解以及課后復習等環(huán)節(jié)，在微課制作過程中要合理設計各環(huán)節(jié)，以達到滿足學生實際學習需求的目的。

隨著當前網(wǎng)絡技術的發(fā)展，微課與其他應用軟件一樣，也將有廣泛的發(fā)展前景和教育價值。對教師而言，微課可以起到輔助教學的目的，不但可以突破傳統(tǒng)的教師教學生學的教學模式，并且借助于豐富的表現(xiàn)形式，還可以起到提高學生的學習興趣和學習效果的目的。對與學生而言，完全破除了學生只能隨堂聽課的單一形式，學習在課下遇到的問題也能做到隨時解決，不但方便了學生的學習，也縮短了學生解決問題的時間。并且隨著當前手持移動設備的發(fā)展，學生可以隨時隨地地利用微課進行學習，微課必將成為一種最廣泛最流行的學習和教學方式，深受廣大師生的喜歡和歡迎。

2? 微課在高等數(shù)學課程中的應用

在高等院校教學中，高等數(shù)學教學作為基礎課具有非常重要的教學地位和教學意義，它是掌握其他各門學科的基礎知識，在培養(yǎng)高校學生，尤其是理工科學生綜合能力素質(zhì)方面，具有獨特的，不可替代的作用。

隨著信息與通信技術，尤其是視頻技術的發(fā)展，在高等數(shù)學教學過程中，只單一的采用傳統(tǒng)的課堂講授式教學，已經(jīng)不能滿足學生的需求，因此逐漸出現(xiàn)了一種新的教學方式——微課式教學。這種教學方式與我們傳統(tǒng)的教學方法相結合，不但使得授課過程更生動，并且更能引起學生的學習興趣，通過一些小事例、小視頻，也更增加了學生對于抽象數(shù)學的理解。這種教學方式不但改善了數(shù)學學習過程中稍顯枯燥的特點，并且也加強了學生對數(shù)學的實際應用性的認識，加深了學生對數(shù)學的學習興趣，以及明確了學好數(shù)學的目標。

眾所周知，微課之所以被大家認可，主要得益于微課的主題突出，短小精悍等特點，也就是每一節(jié)微課都只是一個知識點，這就保證了學習者可以快速的，準確的找到所要了解的內(nèi)容，并能很簡單直接、目的明確的掌握所需要學習的知識點，這種教學方式既方便的教師的教，也方便了學生的學，是目前最受師生們歡迎的一種教學方式和教學趨勢。此外，教師們對于微課教學方式的認可度也在不斷提高，在教學過程中穿插采用微課式教學方式的教師人數(shù)也在不斷增多，而對于該種現(xiàn)象，也出現(xiàn)了一個重要的為題：對于微課式教學方法的知識點該如何設計？下面我們就以數(shù)列的極限這節(jié)課為例，具體展示出在微課程中如何設對一個知識點進行設計。

3? 數(shù)列極限定義在微課教學中的教學設計

數(shù)列極限的概念是微積分中的基本概念，也是學習后續(xù)眾多概念的基本工具。但是，概念中的ε-N語言始終是學生在學習中的一大難點，本文結合筆者的實際教學經(jīng)驗，給出極限定義的一個教學設計。下面從六個環(huán)節(jié)來設計本課程。

3.1 引出極限的描述性定義

首先給出四個簡單數(shù)列：;;;

。然后引導學生觀察，得到直觀的結論：當數(shù)列的下標n無限增大時，數(shù)列的通項有兩種變化趨勢，一種是無限趨近于某一個固定的常數(shù)，另外一種不趨近于某一個固定的常數(shù)。從而，自然的引出極限的描述性定義[1]：設數(shù)列{xn}和常數(shù)A，如果當n無限增大時，xn無限的趨近于某個固定的常數(shù)A，則稱數(shù)列{xn}的極限為A或稱數(shù)列{xn}收斂于A，記為;否則，稱數(shù)列{xn}發(fā)散。

此時，讓學生思考上面的極限定義是否嚴謹？然后向?qū)W生發(fā)問：什么是“無限趨近”？

3.2 通過生活中的例子解釋“無限趨近”

假設某人從長春出發(fā)要去北京，方向始終正確，第一天走了100km，第二天走了50km，第三天走了25km，以此類推，每一天走前一天路程的一半，并且假設可以無限走下去，請問此人是否“無限趨近”于北京？

直觀上好像此人“無限趨近”于北京，實際上所有走過的距離至多200km。通過這個簡單的例子，指出上面定義中數(shù)列{xn}“無限趨近于”A，從數(shù)量關系的角度，指的是無窮遠處的項xn與A的距離無限的趨近于0，即。另外，通過這個例子，告訴學生描述性的定義不嚴謹，容易造成歧義，進而指出須給出數(shù)列極限的嚴格的數(shù)學定義。也就是需要把上面的描述性定義“翻譯”成數(shù)學定義。這時拋出問題：怎么用數(shù)學的語言定義？

3.3 通過生活中的例子翻譯

假設有兩個小孩甲和乙在為一件事情爭辯，甲小孩說自己能數(shù)到100，乙小孩不服，說自己能數(shù)到1000，甲小孩改口又說自己能數(shù)到10000，…，經(jīng)過一番思考，乙小孩說了一句很有創(chuàng)意的話“無論你數(shù)到多少，我都能數(shù)到比你大10的數(shù)”。

通過這個例子，讓學生們體會，乙小孩那句充滿創(chuàng)意的話，其實用數(shù)學的話來說就是他能數(shù)到無窮大。這時，引導學生去體會乙小孩是通過一個比較的過程完成了對無窮大的描述，即不管你多大，我都比你大，那么我就是無窮大。同理如果用量化的語言來描述，也是通過一個比較的過程來實現(xiàn)。這樣，就自然地給出了翻譯后的數(shù)學語言：對任意的不管多么小的正數(shù)ε，都有。還可以用更簡練的數(shù)學語言描述：

3.4 給出數(shù)列極限的數(shù)學定義

通過上面的分析，我們可以得到如下等價關系：

“xn無限的趨近于某個固定的常數(shù)A”

提醒學生注意數(shù)列極限的描述性定義中包含了兩個無限趨近的過程，而我們上面僅僅翻譯了后半部分。但是，由前面的工作，不難得到定義中前半部分的數(shù)學定義：

“n無限增大”。

下面我們要做的就是把所得到的兩部分的數(shù)學定義進行整合，很明顯對于一個數(shù)列{xn}而言，可以看作是一個特殊的函數(shù)，即通項xn是下標n的函數(shù)。這樣的話在極限過程中的兩個無限趨近的過程就存在一個依賴關系，當我們把他們整合到一起時就必須要考慮這種依賴關系，從而就得到了如下數(shù)列極限的數(shù)學定義：當

我們通常也把上面的極限的數(shù)學定義叫做ε-N定義。

3.5 對ε-N定義的若干注解

第一，定義中的ε是一個任意的想多么小就多么小的正數(shù)，具有絕對的任意性，唯有如此，才能保證xn無限的趨近于A;而存在的N是一個與ε有關的下標的分界點，ε越小，則N越大。

第二，分界點N是不唯一的，只要找到一個即可。

第三，數(shù)列極限研究的是數(shù)列無窮遠處那些項的變化趨勢，與數(shù)列中有限項的值無關，所以改變一個數(shù)列中的有限項，不改變它的斂散性。

3.6 數(shù)列極限的幾何含義

從幾何上來說，意味著，對任意的正數(shù)ε，都能找到一個下標N，使得從第N項開始，后面的所有項都落在以A為心，以ε為半徑的領域內(nèi)，而在這個領域外只有數(shù)列中的有限項。通過幾何含義，使學生能更加直觀的理解極限的ε-N定義。

以上我們通過六個環(huán)節(jié)，給出了數(shù)列極限定義的教學設計。筆者試圖利用生活中的例子，化抽象為具體，讓學生真正理解和掌握數(shù)列極限的概念，為以后的學習打下堅實的基礎。

最后，在課程的結尾可以適當增加作業(yè)和答疑環(huán)節(jié)，將學生學習過程中常見問題總結出來，并以目錄的形式放在課程的結尾，學生得以對號入座，只要遇到類似的疑問，都可以直接進行進入鏈接查看具體解釋，這樣可以及時解決學生學習過程中遇到的問題，提高學生的學習熱情。

以上，我們借助于微課自身的特點和優(yōu)勢，將其應用到我們高等數(shù)學的具體教學過程中，將兩者的特點完整的結合在一起，既能起到學生學習好數(shù)列極限的目的，又能充分提高學生學習的積極性和主動性，使學生的學習時間和學習方式更加靈活，遠遠地破除了傳統(tǒng)教學模式中的只有課堂教師教學的模式，保證了學生在學習過程中只要出現(xiàn)問題可以隨時隨地學習的特點，完全打破了學習過程中時間和空間的局限性。但是，伴隨網(wǎng)絡的發(fā)展，微課已經(jīng)成為了一種普及的教學模式，在這種情況下，教學這一定要注意，我們在教學過程中可能產(chǎn)生的對微課的依賴現(xiàn)象，它只是我們在教學過程中的一種輔助手段，不能本末倒置。

參考文獻

[1] 同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（上冊）[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2] 徐兵.高等數(shù)學[M].3版.北京：高等教育出版社，2018.

[3] 徐鑫.微課教學在高校設計類專業(yè)互動教學中的實踐運用策略探討[J].智庫時代，2019（34）：239-240.