淺談高中物理中的“化曲為直”思想

摘要：“化曲為直”就是將曲線變成（看成）直線，從而方便問(wèn)題的解決.無(wú)限分割的基本功能就是“化變?yōu)楹恪被颉盎鸀橹薄?，在觀察有限分割的基礎(chǔ)上想象它們的極限狀態(tài)，這樣不僅使學(xué)生掌握公式還能從曲與直的矛盾轉(zhuǎn)化中萌發(fā)了無(wú)限逼近的極限思想。

關(guān)鍵詞：化曲為直;高中物理;無(wú)限分割

“化曲為直”是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要方法，在處理一些物理問(wèn)題時(shí)，也需要“化曲為直”，轉(zhuǎn)換思維，使物理模型或問(wèn)題得以簡(jiǎn)化。下面用三個(gè)例子談?wù)劇盎鸀橹薄彼枷朐谥袑W(xué)物理中的應(yīng)用。

一、 人教版必修二第五章第六節(jié)用平均加速度的方法研究瞬時(shí)加速度

由圖1可以看出把圓弧分的段數(shù)越多，圓弧就越接近于弦（化曲為直），圓弧的長(zhǎng)度就越接近于對(duì)應(yīng)的弦，那么分無(wú)數(shù)段，可認(rèn)為某一元過(guò)程的弧和弦重合。

圖1

圖2

由圖2丁可以看出三角形OAB和由ΔV，VA和VB組成的矢量三角形相似。

所以：νr=Δνν·Δt，結(jié)合加速度的定義式，解出an=ν2r。

還可以把弧長(zhǎng)l=rθ，角速度定義式ω=ΔθΔt，代入推出an=νω，再由ν=ωr，推出an=ν2r。

向心加速度的方向怎么研究？分得越細(xì)，圓心角越小，底角越接近90°，所以當(dāng)圓心角無(wú)限接近于0°，向心加速度指向圓心，從而化解了這個(gè)難題。

二、 人教版必修二第七章第四節(jié)求曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)重力做功

學(xué)生已經(jīng)會(huì)求直線運(yùn)動(dòng)時(shí)重力做的功是mgΔh，那么此時(shí)就要把圖3的運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)限分割，化曲為直，變成一個(gè)一個(gè)的“線元”，再把每個(gè)“線元”重力做功相加，整理一下就變成mg（Δh1+Δh2+Δh3+…+Δhn），

從圖上可以看出Δh1+Δh2+Δh3+…+Δhn=Δh，

即曲線運(yùn)動(dòng)重力做功也是mgΔh。

圖3

三、 【例】如圖4所示，某人用力F轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為R有轉(zhuǎn)盤(pán)，力F的大小不變，但方向始終與該力的作用點(diǎn)的轉(zhuǎn)盤(pán)的切線一致，則轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)一周該力做多少功？

圖4

分析：本題在轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)一周過(guò)程中，力F的方向時(shí)刻變化，因此力F做功是屬于變力做功的范疇，所以不能直接通過(guò)公式W=Fscosθ進(jìn)行求解，需要通過(guò)微元法，將力F的運(yùn)動(dòng)軌跡分割成無(wú)限個(gè)小段，取運(yùn)動(dòng)軌跡中的一小段作為研究對(duì)象來(lái)解決問(wèn)題。

解：將力F的運(yùn)動(dòng)軌跡看作是由無(wú)限多的小段組成，每一“線元”力F總是與該瞬時(shí)速度方向（切線方向即轉(zhuǎn)盤(pán)瞬間轉(zhuǎn)過(guò)的極小位移△S）同向，這樣，無(wú)數(shù)瞬時(shí)的極小位移Δs1，Δs2，Δs3，…，Δsn，都與當(dāng)時(shí)的F方向相同，那么在每一小段中力F所做的功（即元功）ΔW均可以表示為ΔW=FΔs，而在轉(zhuǎn)動(dòng)一周過(guò)程中，力F做的功應(yīng)等于在各極小位移段做的功的代數(shù)和，即W=∑FΔs=F·2πR。

這類(lèi)問(wèn)題很容易陷入這樣的誤導(dǎo)中，認(rèn)為根據(jù)做功的公式W=Fs從起點(diǎn)出發(fā)回到起點(diǎn)，位移為零，做功為零。事實(shí)上該題中的力是變力，不能照搬公式，如這樣理解的話就像開(kāi)車(chē)?yán)@地球一圈不耗油一樣荒謬。

微元法的應(yīng)用比較廣泛，用微元法解題，體現(xiàn)了微分和積分的思想，關(guān)鍵是先確定所研究的對(duì)象為單位量，然后對(duì)單位量進(jìn)行積累;同時(shí)對(duì)研究的物理過(guò)程要充分理解，把握每一過(guò)程中各量的關(guān)系，這樣才能理解透徹和梳理清楚所要解決的問(wèn)題。利用微元思想可以很好地發(fā)展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)創(chuàng)精神。

參考文獻(xiàn)：

[1]常飛.微元法在高中物理題中的運(yùn)用簡(jiǎn)說(shuō)[J].新課程學(xué)習(xí)（中），2012（11）：62-63.

[2]張細(xì)利.巧用微元法解決中學(xué)物理力學(xué)問(wèn)題[J].湖南中學(xué)物理，2015（8）.

作者簡(jiǎn)介：

方可，浙江省金華市，金華市第六中學(xué)。