基于敏感性的冗余度在框架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

沈利來 ， 繆衛(wèi)清 ，常 軍

（1.蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215011；2.蘇交科集團(tuán)股份有限公司 江蘇 南京 210019）

縱觀國(guó)內(nèi)外土木結(jié)構(gòu)，六面體形狀因其剛性的合理性最大已被廣泛應(yīng)用于土木工程領(lǐng)域。作為六面體代表的框架結(jié)構(gòu)具有“部件數(shù)量多，冗余度高”的特點(diǎn)[1]。即使部分構(gòu)件由于外界災(zāi)害而降低承載力，但由于應(yīng)力重新分配到其他構(gòu)件而對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)的承載能力影響不大[2]。為了定量地顯示這樣的屬性，冗余度應(yīng)運(yùn)而生。采用冗余度評(píng)估結(jié)構(gòu)的安全性和穩(wěn)定性，并根據(jù)評(píng)估結(jié)果優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，使設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)更加經(jīng)濟(jì)安全合理是該領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)。

丁銳等[3]從單元的勢(shì)能方程出發(fā)得出了剛性結(jié)構(gòu)構(gòu)件冗余度的計(jì)算方法，分析了冗余度與結(jié)構(gòu)外荷載、幾何構(gòu)造、截面參數(shù)以及約束情況之間的關(guān)系；郭冬梅等[4]研究了不同冗余度RC框架結(jié)構(gòu)的抗震性能，降低結(jié)構(gòu)冗余度，即減小結(jié)構(gòu)某一方向跨數(shù)，或增加結(jié)構(gòu)某一方向跨度，結(jié)構(gòu)最大層間位移角增加，延性系數(shù)和屈服強(qiáng)度系數(shù)減小，結(jié)構(gòu)彈塑性變形能力和承載力儲(chǔ)備能力降低，抗震性能變差。朱南海等[5]則選擇利用彈性模量的敏感性為參數(shù)基于材料的應(yīng)變響應(yīng)計(jì)算了單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的冗余度，通過試驗(yàn)?zāi)M對(duì)比得出結(jié)論，冗余度可以衡量構(gòu)件在結(jié)構(gòu)中的重要性，冗余度較小的構(gòu)件為關(guān)鍵構(gòu)件，其損傷對(duì)結(jié)構(gòu)整體影響較大。袁行飛等[6]人通過梁系結(jié)構(gòu)的變形勢(shì)能方程探討了構(gòu)件參數(shù)和約束條件對(duì)單元冗余度的影響，桿件的單元冗余度隨剛度的增大而減小，約束條件剛接變鉸接時(shí)結(jié)構(gòu)整體冗余度變小。

上述研究在某一方面都取得了一定的成就，但對(duì)結(jié)構(gòu)冗余度都沒有統(tǒng)一的定義，且大都以承載力為指標(biāo)，較局限。微觀層面構(gòu)件單元的冗余度和宏觀層面的結(jié)構(gòu)的冗余度往往不加區(qū)分統(tǒng)一計(jì)算。論文采用考慮材料屈曲時(shí)的冗余度指標(biāo)GNR[5]，設(shè)置了剛性框架結(jié)構(gòu)的模型，使用敏感性指標(biāo)來分析模型，并且研究GNR分布以獲得框架結(jié)構(gòu)的冗余特性。另外，考慮到通過分析獲得的GNR分布來執(zhí)行構(gòu)件的優(yōu)化布置。本文的目標(biāo)是通過仔細(xì)研究結(jié)構(gòu)特征來創(chuàng)建充分利用結(jié)構(gòu)冗余特性的較優(yōu)設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)。

1 冗余評(píng)估方法

1.1 概要

結(jié)構(gòu)的冗余度與結(jié)構(gòu)元件的非敏感性成正比，也可以說與其結(jié)構(gòu)單元的敏感性成反比。定義見式（1）。

其中，Vi為i元素的體積。

根據(jù)式（1），Barai等定義了一種廣義的構(gòu)件單元j冗余度指標(biāo)[7]：

其中，n為元素的數(shù)量，V為結(jié)構(gòu)的總體積，Sij為j元素?fù)p壞時(shí)i元素的敏感性。

通過標(biāo)準(zhǔn)化（歸一化）上式可得到如下定義：

1.2 敏感性分析

考慮材料屈曲，,通過引入許用應(yīng)力的概念并且取應(yīng)力與許用應(yīng)力之比[8]對(duì)截面積A的敏感性，式（2）中的響應(yīng)敏感性[9-10]定義如下：

針對(duì)框架模型，構(gòu)件單元有壓縮拉伸兩種情況，并且考慮彎曲情況，定義如下：

其中，σc為壓縮應(yīng)力；cσb為壓縮側(cè)彎曲應(yīng)力；fc為容許壓縮應(yīng)力；fb為容許彎曲應(yīng)力；σt為拉伸應(yīng)力；tσb為拉伸側(cè)彎曲應(yīng)力；ft為容許拉伸應(yīng)力。

1.3 余量平均值

余量可視作在一個(gè)線性范圍內(nèi)，其定義為從1減去已經(jīng)使用的和損傷耗損的結(jié)構(gòu)性能占比之和[11]。而結(jié)構(gòu)性能采用應(yīng)力參數(shù)指標(biāo)，具體定義如下：

其中，fi為i元素許用應(yīng)力；σ為構(gòu)件中產(chǎn)生的應(yīng)力；A為橫截面面積；ΔA為損傷的橫截面面積。

在這種情況下，為了獲得部分構(gòu)件損壞時(shí)對(duì)整體的影響，計(jì)算RRi時(shí)使用運(yùn)算平均值RRave。

2 框架模型的冗余特性

2.1 分析模型

如圖1－圖3所示為3層的3乘3框架模型，固定支撐，剛性連接。加載條件是3.8 kN的垂直載荷和1.14 kN的水平載荷的節(jié)點(diǎn)載荷，具體作用位置見圖3中粗線層次中的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)上，即每一層的梁和柱相交的節(jié)點(diǎn)處，共計(jì)48個(gè)節(jié)點(diǎn)處作用荷載。截面為0.125 m×0.125 m的矩形鋼截面，每段梁柱均為2 m，柱的彈性模量2.1×1011Pa，梁的彈性模量2.1×1015Pa。泊松比0.3，屈服應(yīng)力3.45×108Pa。每一層的梁標(biāo)號(hào)詳見圖2，每一層的柱標(biāo)號(hào)與梁標(biāo)號(hào)類似，見圖3。具體型號(hào)規(guī)格見表1。

2.2 分析結(jié)果

2.2.1 GNR分布

首先通過有限元軟件建立模型，加載分析得出每個(gè)構(gòu)件的應(yīng)力，包括彎曲應(yīng)力和拉伸應(yīng)力或壓縮應(yīng)力，再將結(jié)果通過Matlab程序編程導(dǎo)入計(jì)算出最終的GNR值。采用Matlab編程可以使計(jì)算方便快捷，最后得到框架模型的所有柱和梁的GNR分布，詳見圖4和圖5。

圖1 框架模型

圖2 框架俯視圖（cm）

圖3 框架正視圖（cm）

表1 型號(hào)規(guī)格

圖4 柱GNR分布

圖5 梁GNR分布

該框架模型一共48根柱，72根梁，為了使GNR分布顯示更方便清晰，其中柱編號(hào)1—16為第一層的柱，17－32 為第二層柱，33－48 為第三層柱。與此類似，梁編號(hào) 1－24，25－48，49－72 分別為第一、二、三層的梁。由圖4可以看出，柱的GNR分布數(shù)值較小，在數(shù)量級(jí)10-13左右，這與施加荷載大小、形式有關(guān)，且每層柱之間的GNR值也有差距，同一層柱之間也有高有低，例如第二、三層。表明現(xiàn)有柱的冗余特性分布不均。梁的GNR詳見圖5，由于不同梁的GNR分布數(shù)量級(jí)相差較大，這是GNR定義導(dǎo)致的，不可避免的，為了完整的比較所有梁的GNR值，縱坐標(biāo)刻度采取了不等分和斷開措施?？梢钥闯隽旱腉NR分布的數(shù)值也有高有低，但是有其規(guī)律，因?yàn)樵谑芩胶奢d時(shí)，由于框架模型中存在兩個(gè)方向的梁，所以即使承受大的水平荷載的梁受到損傷，應(yīng)力在另一個(gè)方向的梁上流動(dòng)，所以梁會(huì)出現(xiàn)這種GNR分布，根據(jù)柱和梁的GNR分布圖，可以認(rèn)為現(xiàn)有結(jié)構(gòu)梁和柱的冗余特性分布都不均。

2.2.2 余量均值研究

考慮部件冗余特性的余量平均值，把重點(diǎn)放在冗余度低（GNRmin）的部件和許用應(yīng)力比大（應(yīng)力值大）的部件上，當(dāng)然作為對(duì)比，冗余度高（GNRmax）的部件也將一起進(jìn)行計(jì)算研究。圖6便是3乘3框架結(jié)構(gòu)冗余特性的余量均值圖，橫坐標(biāo)為部件損傷率，是部件損傷面積比上完好狀態(tài)下時(shí)的面積。

根據(jù)上面的梁和柱的GNR分布圖，選取GNRmin和GNRmax相對(duì)應(yīng)的部件為第一層的梁B21和B51。許用應(yīng)力比最大的部件為第一層的柱C41。

在該框架模型中，當(dāng)選定部件的損傷率達(dá)到0.5左右時(shí)，GNRmin和許用應(yīng)力比最大的兩個(gè)部件的冗余特性余量均值略有所下降，當(dāng)損傷率達(dá)到1時(shí)，即完全損傷時(shí)，下降幅度也較小。而GNRmax的部件的冗余余量均值則不變化。由圖6可以得出結(jié)論，該框架結(jié)構(gòu)由于具有較多的梁和柱部件，所以即使個(gè)別部件損壞，對(duì)整體的影響也較小。

圖6 余量均值圖

3 優(yōu)化框架冗余度

3.1 概要

根據(jù)圖4和圖5所示的柱和梁的冗余GNR分布，將一部分具有較低冗余度的構(gòu)件改為具有大橫截面積的構(gòu)件，考慮材料的非線性。為了進(jìn)行優(yōu)化后的前后對(duì)比，在這設(shè)定一個(gè)總質(zhì)量不變的標(biāo)準(zhǔn)。隨即增大低冗余度部件橫截面積的同時(shí)，也要減小高冗余度部件的橫截面積。作為使用的材料，使用以下規(guī)格所示的方鋼管。部件布置圖詳見圖7和圖8。其中點(diǎn)畫線部件為增大后的部件，虛線為減小后的部件，實(shí)線是沒有變更的部件。 （變更前：125 mm×125 mm；變更后（增大）：150 mm×150 mm；變更后（減?。?00 mm×100 mm）

圖7 方案一部件布置圖

圖8 方案二部件布置圖

為了比較優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)的冗余度，應(yīng)注意初始屈服后屈服應(yīng)力的延伸。因此，使用冗余延伸率Rcy來表示[12]。

其中，Pcol為結(jié)構(gòu)體系的極限荷載；Pyiel為初始屈服荷載。

表達(dá)式（8）中的冗余延伸率表示從初始破壞到塌陷破壞的負(fù)載延伸相對(duì)于塌陷破壞負(fù)載的比率。其值范圍在0到1之間。該值越大表明該結(jié)構(gòu)被評(píng)估為冗余度高的結(jié)構(gòu)[13-14]。

3.2 分析結(jié)果

3.2.1 GNR分布

通過運(yùn)用冗余評(píng)估方法，優(yōu)化方案一的柱和梁的GNR分布見圖9和圖10。方案二的柱和梁的GNR分布見圖11和圖12。

根據(jù)以上兩個(gè)優(yōu)化方案的柱和梁的GNR分布，對(duì)比變更之前的GNR分布可以看出，方案一的柱的GNR值整體較變更之前有提高，但分層現(xiàn)象較明顯，每層柱的GNR值差距不大。方案二的柱的GNR分布較均勻，無論是層與層之間還是同一層柱與柱之間。優(yōu)化后的兩個(gè)方案的梁的GNR值較變更前都有明顯的提高，且橫梁縱梁之間的GNR差距有減小，表明優(yōu)化后出現(xiàn)了更多的高冗余梁部件。

圖9 柱的GNR分布

圖10 梁的GNR分布

圖11 柱的GNR分布

圖12 梁的GNR分布

3.2.2 彈塑性分析

圖13顯示了荷載位移曲線，此時(shí)針對(duì)的是水平荷載逐漸增大的情況。冗余延長(zhǎng)率的評(píng)估見下表2。

表2 框架模型冗余延長(zhǎng)率評(píng)估

圖13 荷載位移曲線

由表2可知，優(yōu)化后的方案一和方案二的模型結(jié)構(gòu)的冗余延長(zhǎng)率都得到了增加。三個(gè)模型的初始屈服點(diǎn)相近，崩塌荷載即極限荷載在優(yōu)化后都有了明顯的提升。方案一優(yōu)化后的冗余延伸率較方案二較高，而方案二優(yōu)化后構(gòu)件單元的冗余分布較方案一更加均勻，合理?？v觀微觀層面的柱梁冗余度和宏觀層面的冗余延長(zhǎng)率，結(jié)構(gòu)優(yōu)化后都取得了較好的理論驗(yàn)證。

4 結(jié)論

使用敏感性的冗余評(píng)估，根據(jù)冗余指標(biāo)GNR分布和冗余延伸率等，可以通過改變結(jié)構(gòu)尺寸對(duì)框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，得出以下結(jié)論：

（1）在框架模型中，施加在一個(gè)節(jié)點(diǎn)上的荷載由節(jié)點(diǎn)周圍的構(gòu)件共同傳遞，所以許用應(yīng)力比比較大的構(gòu)件往往被認(rèn)為是低冗余構(gòu)件，如果周圍連接GNR值較小的部件，極易引起連續(xù)性倒塌；

（2）從余量均值的趨勢(shì)來看，由于框架結(jié)構(gòu)具有較多不同方向的梁部件的存在，所以當(dāng)某一個(gè)部件受到損傷時(shí)，對(duì)整體的影響較??；

（3）通過對(duì)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，可以改變部件的冗余特性，做到安全可靠的同時(shí)分配材料的性能使之更合理化；

（4）在彈塑性分析中，冗余延長(zhǎng)率指標(biāo)可以宏觀的看出結(jié)構(gòu)的冗余特性，為優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供對(duì)比驗(yàn)證。