平面向量的應(yīng)用縱橫談

高慧明

一、平面向量基本定理的應(yīng)用問(wèn)題

平面向量問(wèn)題一直在高中數(shù)學(xué)中以數(shù)學(xué)工具的形式出現(xiàn)，它很好的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系與遷移，具體到平面向量基本定理，又在向量這部分知識(shí)中占有重要地位，是向量坐標(biāo)法的基礎(chǔ)，是聯(lián)系幾何和代數(shù)的橋梁.

1. 利用平面向量基本定理表示未知向量

平面向量基本定理的內(nèi)容：如果同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向定兩個(gè)不共線向量為基底，可以表示平面內(nèi)的任何一個(gè)向量.

【例1】如圖，（? ? ?）

A. λ分解原理”，過(guò)點(diǎn)C分別作直線OA，OB的平行線，分別與直線OB，OA相交，利用向量加法的平行四邊形法則和平面向量共線定理將表示.

【解析】設(shè)C.

【點(diǎn)評(píng)】利用平面向量基本定理表示未知向量時(shí)，向量加法的三角形法則、平行四邊形法則以及必要的平面幾何知識(shí)是必要的.

相關(guān)鏈接：在？駐ABC中，若點(diǎn)D滿足 （? ? ）

2. 利用平面向量基本定理確定參數(shù)的值、取值范圍問(wèn)題

平面向量基本定理是向量坐標(biāo)的理論基礎(chǔ)，通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)用坐標(biāo)表示，利用坐標(biāo)相等列方程，尋找變量的等量關(guān)系，進(jìn)而表示目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

【分析】首先利用已知條件建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并寫(xiě)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，然后運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再=1可得λ，？滋所滿足的等式關(guān)系即圓的方程，設(shè)t=λ+？滋，將其代入上述圓的方程并消去？滋得到關(guān)于λ的一元二次方程，最后運(yùn)用判別式大于等于0即可得出所求的答案.

【點(diǎn)評(píng)】若題中有互相垂直的單位向量，大多可建立坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題.

相關(guān)鏈接：如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為以A為圓心，AB為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)向量，則λ+？滋的最小值為 .

【解析】以A為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系. 設(shè)正方形ABCD的邊上為1，則E（，C（1，1），D（0，1），A（0，0）.

設(shè)

由題意得0≤？∴0≤cos？茲≤1，0≤sin？茲≤1.

∴當(dāng)cos？茲=1時(shí)，同時(shí)，sin？茲=0時(shí)，λ+？滋取最小

3. 三點(diǎn)共線向量式

設(shè)A，B，C是共線三點(diǎn)，O是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則，其特征是“起點(diǎn)一致，終點(diǎn)共線，系數(shù)和為1”，利用向量式，可以求交點(diǎn)位置向量或者兩條線段長(zhǎng)度的比值.

【例3】如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且的值為? ? ? ? ? .

【分析】g（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間可轉(zhuǎn)化為g（x）≤0在區(qū)間（-2，-1）有解，且不是唯一解，參變分離為a≤，只需求右側(cè)函數(shù)的最大值，再檢驗(yàn)等號(hào).

【解析】這題應(yīng)該用到這個(gè)結(jié)論：O是直線AB外一C三點(diǎn)共線的充要條件是m+n=1. 本題中就是

【點(diǎn)評(píng)】本題實(shí)質(zhì)是不等式的有解問(wèn)題，可先參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，但是需注意因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)是對(duì)于某一區(qū)間而言的，故還需檢驗(yàn)解不是唯一.

相關(guān)鏈接：若點(diǎn)M是？駐ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足

（1）求？駐ABM與？駐ABC的面積之比.

（2）若N為AB中點(diǎn)，AM與CN交于點(diǎn)O，設(shè)，求x，y的值.

【解析】（1）

由O、M、A三點(diǎn)共線及O、N、C三點(diǎn)共線？圯x+

4. 平面向量基本定理在解析幾何中的應(yīng)用

【例4】設(shè)雙曲線（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線的其中一個(gè)交點(diǎn)為P，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，=m，則該雙曲線的漸近線為（? ? ）

【分析】過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F（c，0）并與x軸垂直的直線l ∶ x=c，與漸近線y=±的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（c），代入向量運(yùn)算得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，再代入雙曲線方程求出離心率，從而漸近線方程可求.

【解析】由題意可知A，

【點(diǎn)評(píng)】解析幾何中基本量的計(jì)算要注意方程思想的應(yīng)用和運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

相關(guān)鏈接：已知A是雙曲線>0，b>0）的左頂點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，G是△PF1F2的重心

A. 2 B. 3 C. 4 D. 與λ的取值有關(guān)

二、平面向量中的范圍、最值問(wèn)題

平面向量中的范圍、最值問(wèn)題是熱點(diǎn)問(wèn)題，也是難點(diǎn)問(wèn)題，此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯組合.其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍的等，解決思路是建立目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，同時(shí)向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份，所以解決平面向量的范圍、最值問(wèn)題的另外一種思路是數(shù)形結(jié)合.

1. 平面向量數(shù)量積的范圍問(wèn)題

已知兩個(gè)非零x2+y1y2;（3）運(yùn)用平面向量基本定理，將數(shù)量積的兩個(gè)向量用基底表示后，再運(yùn)算.

【例5】在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中，D是AB的中點(diǎn)，E為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，取值范圍為? ? ? ? .

【分析】利用向量的加法或減法法則，將向量表示，結(jié)合已知條件量x表示，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問(wèn)題.

【解析】由題意，，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問(wèn)題，其中選擇變量要有可操作性.

相關(guān)鏈接：已大值等于（? ）.

A. 13 B. 15

C. 19 D. 21

【解析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示（1，4），

等號(hào)成立. 故選A.

2. 平面向量模的取值范圍問(wèn)題

向量的模可以利用坐標(biāo)表示，也可以借助“形”，向量的模指的是有向線段的長(zhǎng)度，過(guò)可結(jié)合平面幾何知識(shí)求解，尤其注意，如果直接求模不易，可以將向量用基底向量表示再求.

【例6】已知向最大值為（? ? ）

【分析】根據(jù)已知條件可建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)點(diǎn)（向量），確定變量滿足的等式和目標(biāo)函數(shù)的解析式，結(jié)合平面幾何知識(shí)求最值或范圍.

【解析】，以O(shè)A所在直線為x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.

∵，則A（4，0），B（2，2），=-1，

∴x2+y2-6x-2y+9=0，即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3，1）為圓心，以1為半徑的圓，

示點(diǎn)A，C的距離即圓上的點(diǎn)與點(diǎn)A（4，0）的距離;∵圓心到B的距離故選D.

【點(diǎn)評(píng)】建立直角坐標(biāo)系的原則是能準(zhǔn)確快捷地表示有關(guān)向量或點(diǎn)的坐標(biāo)，正確找到變量間的關(guān)系，以及目標(biāo)函數(shù)代表的幾何意義是解題關(guān)鍵.

相關(guān)鏈接：已知]

C.（0，2]

試題分析：如右圖所示，故選C.

3. 平面向量夾角的取值范圍問(wèn)題

【例7】已知向在t0時(shí)取得最小值，當(dāng)0

【分析】示為變量t的二次+4cos？茲）t2 +（-2-4cos？茲）t+1，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值問(wèn)題，當(dāng)t0=

相關(guān)鏈

4. 平面向量系數(shù)的取值范圍問(wèn)題

平面向量中涉及系數(shù)的范圍問(wèn)題時(shí)，要注意利用向量的模、數(shù)量積、夾角之間的關(guān)系，通過(guò)列不等式或等式得系數(shù)的不等式，從而求系數(shù)的取值范圍.

三、平面向量在解析幾何中的應(yīng)用

向量具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份，平面向量與解析幾何的交匯是新高考命題改革的發(fā)展方向和必然趨勢(shì)，平面向量在解析幾何的應(yīng)用非常廣泛，通常涉及長(zhǎng)度、角度、垂直、平行、共線、三點(diǎn)共線等問(wèn)題的處理，其目標(biāo)就是將幾何問(wèn)題坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算.

1. 利用向量相等的關(guān)系，把幾何問(wèn)題代數(shù)化

兩向量相等當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等、方向相同，由于向量坐標(biāo)的唯一性，故兩個(gè)向量相等的充要條件是坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等.

【例9】

（1）求橢圓C的離心率;

（2）設(shè)直線l 與x 軸交于點(diǎn)D（別代入橢圓方程中，然后兩式相減，利用直線斜率公式

【解析】（1）設(shè)P（x1

兩式相減：

又k1=

（2）由（1）知ea2=3c2，b2=2c2，

可設(shè)橢圓C的方程為：2x2+3y2=6c2，

設(shè)直線l的方程為：x=my-入橢圓C的方程有（2m2+3）y

由韋達(dá)定理：y1+y2：6-6c2

所以S？駐OPQ=

當(dāng)且僅當(dāng)m2=時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)c2=5，代入？駐，有？駐>0成立，

所以所求橢圓C的方程1.

【點(diǎn)評(píng)】利用向量相等法解題，要注意以下兩點(diǎn)：1.已知向量起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，則向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo);2.向量相等的充要條件.

相關(guān)鏈接：已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=4y的焦點(diǎn)，離心率等于

（Ⅰ）求橢圓C的方程;

（Ⅱ）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，

令A(yù)（x1，y1），B（x2，y2），由y=k（x-2）2=1，得（5k2+1）x2-20k2x+20k2-5=0.

所以x12），

所以？姿1==-10.

2. 利用向量垂直的充要條件，巧妙化解解析幾何中的垂直問(wèn)題

兩個(gè)非零向垂直的充要條件是、右焦點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且PF1⊥PF2，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（ ）

【分析】由已知條件，F(xiàn)1，F(xiàn)2坐標(biāo)可求，設(shè)P（m，n），利關(guān)于m，n的方程，又點(diǎn)P=1立求m，n.

【解析】由已知得F1（-

【點(diǎn)評(píng)】解析幾何中的垂直往往利用直線斜率關(guān)系處理，但利用斜率要考慮斜率是否存在，有時(shí)需要討論，若把垂直問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為零可以避開(kāi)這個(gè)問(wèn)題，但是要注意以下兩點(diǎn)：1. 充分挖掘題中垂直的條件;2. 要善于尋找向量坐標(biāo).

相關(guān)鏈接：已知橢圓C m的值;

（2）若橢圓C上存在點(diǎn)M，使得以線段PM為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求m的取值范圍.

【解析】（1）依題意，M是線段AP的中點(diǎn)，因?yàn)锳（-1，0）

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)

因?yàn)镸是線段AP的中點(diǎn)，所以P（2x0+1，2y0）.

以線段PM為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)則，OP⊥OM，即

3. 利用向量平行的充要條件，靈活轉(zhuǎn)換解析幾何中的平行或共線問(wèn)題

的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)？姿，使是邊長(zhǎng)為2的正三角形.

（1）求橢圓C的方程;

（2）過(guò)點(diǎn)Q（-4，0）任作一動(dòng)直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，在線段MN上取一點(diǎn)R，判斷當(dāng)直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)R是否在某一定直線上運(yùn)動(dòng)？若在請(qǐng)求出該定直線，若不在請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】由已知條件得Q、M、N三點(diǎn)共線，R、M、N三點(diǎn)共線，式，利用向量相等的充要條件，得其坐標(biāo)間的關(guān)系并結(jié)合消參技巧得x0=-1，故點(diǎn)R在定直線x=-1上.

【解析】（1）？駐F1AF2是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則c=1，a=2，故橢圓C的方程1.

（2）直線MN的斜率必存在，設(shè)其直線方程為y=k（x+4），并設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）.

線x=-1上.

【點(diǎn)評(píng)】利用向量共線可以將解析幾何中的三點(diǎn)共線或者平行問(wèn)題代數(shù)化，利用向量相等的充要條件是聯(lián)系的橋梁，同時(shí)要注意設(shè)而不求技巧的體現(xiàn).

相關(guān)鏈接：設(shè)橢圓C ∶

（2）設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，N（-1，0），連接QN的直線交y軸于點(diǎn)求直線l的斜率.

【解析】（1）由題設(shè)知F1

=k（x+1），則有M（0，k）. 設(shè)Q（x1，y1），由于Q、N、M三點(diǎn)共線

解得x1=-2，y

解得k=0，k=±4，綜上，直線l的斜率為0或±4.

4. 利用向量夾角，合理處理解析幾何中的角度問(wèn)題

兩個(gè)非零向量范圍為[0，？仔]，由數(shù)量積定以靈活處理解析幾何中的角的問(wèn)題.

【例12】已知拋物線C ： y2=2px（p>0），F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，A為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作拋物線準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q.

（1）若點(diǎn)P（0，2）與F點(diǎn)的連線恰好過(guò)點(diǎn)A，且∠PQF=90°，求拋物線方程;

（2）設(shè)點(diǎn)M（m，0）在x軸上，若要使∠MAF總為銳角，求m的取值范圍.

【分析】（1）結(jié)合平面幾何知識(shí)易得點(diǎn)A為PF的中點(diǎn)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得A

（2）設(shè)A（x，y），y2=2px，

【點(diǎn)評(píng)】解析幾何中的角往往會(huì)用到正弦定理或余弦定理以及直線斜率等，但是因?yàn)榉N種限制因素，利用向量處理有“柳暗花明又一村”的感覺(jué)，但是注意向量夾角與三角形內(nèi)角的區(qū)別，向量夾角的范圍是[0，？仔]，而三角形內(nèi)角范圍是（0，？仔），向量夾角是銳角，則cos？茲>0，且cos？茲≠1，而三角形內(nèi)角為銳角，則cos？茲>0.

相關(guān)鏈接：已知圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且與直線l1 ∶ x-y-0相切.

（1）求直線l2 ∶ 4x-3y+5=0被圓C所截得的弦AB的長(zhǎng).

（2）過(guò)點(diǎn)G（1，3）作兩條與圓C相切的直線，切點(diǎn)分別為M，N求直線MN的方程

（3）若與直線l1垂直的直線l與圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若∠POQ為鈍角，求直線l縱截距的取值范圍.

【解析】（1）由題意得：圓心（0，0）到直線l1 ∶ x

），又圓C方程為：x2+y2=4……（2），由（1）-（2）得直線MN方程：x+3y-4=0.

（3）設(shè)直線l的方程為：y=-x+b聯(lián)立x2+y2=4得：2x2-2bx+b2-4=0，設(shè)直線l與圓的交點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），

由？駐=（-2b）2-8（b2-4）>0，得b2<8，x1+x2=b，x1·x2（3）

因?yàn)椤螾OQ為鈍角，所，即滿足x1x2+y1y2<0，向共線，

又y1=-x1+b，y2=-x2+b，所以x1x2+y1y2=2x1x2-b（x1+x2）+b2<0.

由（3）（4）得b2<4，滿足？駐>0，即-2

共線時(shí)，直線y=-x+b過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)b=0，不滿足題意，故直線l縱截距的取值范圍是-2

注：向量在解析幾何中的應(yīng)用，尤其是在處理角度、長(zhǎng)度、垂直、共線等方面顯示出更多的優(yōu)勢(shì)，利用向量坐標(biāo)是將幾何問(wèn)題坐標(biāo)化的橋梁.