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    基于混合加權(quán)距離的畢達哥拉斯模糊TOPSIS多屬性決策方法研究

    2019-04-02 04:16:28曾守楨穆志民
    中國管理科學(xué) 2019年3期
    關(guān)鍵詞:畢達哥拉斯方法

    曾守楨,穆志民

    (1.寧波大學(xué)商學(xué)院,浙江 寧波 315211;2.復(fù)旦大學(xué)管理學(xué)院,上海 200433;3.天津農(nóng)學(xué)院基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院,天津 300384)

    1 引言

    距離測度是最常用的信息測度工具之一,主要用于反映變量或指標之間的差異程度或相似性,目前已在模糊識別、醫(yī)療診斷、聚類分析、圖像處理和決策分析等多個領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。例如醫(yī)生為病人診斷病情, 需要先查看病人的病情, 再與某種疾病的癥狀進行測度比對, 從而對癥下藥;再如,在群體共識中,通常需要計算個體偏好值與群體意見之間的距離,然后根據(jù)距離偏差程度確認個體與群體的共識程度。常見的距離測度主要是基于加權(quán)平均視角而構(gòu)建的,如加權(quán)平均漢明距離、加權(quán)平均歐氏距離等[1]。而最近基于有序加權(quán)視角的距離測度方法引起了廣大學(xué)者的興趣,如基于有序加權(quán)平均(OWA)算子[2]的思路,Xu Zeshui和Chen Jian[1]首先提出了有序加權(quán)距離(OWD)測度,并研究了一種基于OWD的群體共識達成法,該方法的特點是專家可以根據(jù)實際問題的需要設(shè)置OWD測度的權(quán)重,進而增強或者緩解或大或小的差異在集成結(jié)果中的影響,從而能得到較理想的結(jié)果和較快達成共識。Merigó和Gil-Lafuente[3]則提出了有序加權(quán)平均距離測度,研究了其優(yōu)良的特性和特殊形式,并將其應(yīng)用于金融投資方案的決策中。在此基礎(chǔ)上,諸多學(xué)者將OWD方法應(yīng)用于不同的決策場景,如Xu Zeshui和Xia Meimei[4]將OWD方法應(yīng)用于猶豫模糊情形中,提出了猶豫模糊OWD(HFOWD)測度;Merigó和Casanovas[5]將之與誘導(dǎo)變量相結(jié)合,提出了出了基于誘導(dǎo)變量的有序加權(quán)測度方法,得到了誘導(dǎo)有序加權(quán)平均測度,并研究了該測度方法在群體決策中的應(yīng)用。Zeng Shouzhen和Su Weihua[6]則提出了直覺模糊OWD(IFOWD)測度及研究了其在金融決策中的應(yīng)用;Zeng Shouzhen等[7]研究了基于概率的有序加權(quán)距離測度方法及其在區(qū)間多屬性決策中的應(yīng)用。Liu Huchen等[8]研究了基于二維區(qū)間信息的混合OWD測度并將之應(yīng)用于醫(yī)療故障風(fēng)險評價與分析。Zhou Ligang等[9]從連續(xù)性方面研究了OWD測度。更多關(guān)于有序加權(quán)測度的理論和應(yīng)用研究可見文獻[10-15]。

    為改進傳統(tǒng)模糊集[16]中僅考慮隸屬度的缺陷,Atanassov在文獻[17]中對傳統(tǒng)的模糊集進行了拓展,提出了直覺模糊集的概念,其優(yōu)點是可以同時考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度這三個方面信息的直覺模糊集。與傳統(tǒng)模糊集相比,直覺模糊集更符合決策者對被評估對象表現(xiàn)出肯定、否定和猶豫的思維習(xí)慣,在處理模糊性和不確定問題方面更具靈活性和實用性。近20年來,直覺模糊集引起了眾多研究者的重視和關(guān)注,相應(yīng)的理論和應(yīng)用研究成果也較豐富[18-22]。然而在直覺模糊決策的過程中, Yager[23]發(fā)現(xiàn)專家所給出的方案滿足屬性的隸屬度和非隸屬度之和往往會出現(xiàn)大于1的情況,此時,直覺模糊信息將無法正確地描述專家的偏好信息。為此,Yager提出了一種新的模糊集—畢達哥拉斯模糊集[23],其特征是允許隸屬度和非隸屬度之和可以超過1, 但其平方和不超過1,從而使得專家不必因重新修改其直覺模糊評價值而中斷決策過程?;诖藘?yōu)點,眾多學(xué)者從不同角度對畢達哥拉斯模糊集進行了深入的拓展研究。較具代表性的,如Zhang Xiaolu和Xu Zeshui[24]提出了畢達哥拉斯模糊運算規(guī)則,并給出了基于畢達哥拉斯模糊信息的TOPSIS方法;劉衛(wèi)鋒等[25]提出了一系列畢達哥拉斯模糊環(huán)境下的擬加權(quán)平均和擬加權(quán)幾何集成方法;Zeng Shouzhen等[26]從平均加權(quán)和有序加權(quán)視角研究了達哥拉斯模糊距離測度方法及其在多屬性決策中的應(yīng)用。Peng Xindong和Yang Yong[27-28]分別研究了基于Choquet積分和基于區(qū)間值的畢達哥拉斯模糊集及其應(yīng)用。Gou Xunjie等[29]從連續(xù)性方面研究了畢達哥拉斯模糊集的特征及其應(yīng)用。Zhang Xiaolu[30-31]從相似度等方面對畢達哥拉斯模糊集進行了深入研究。

    由以上文獻可以看出,畢達哥拉斯模糊集理論和應(yīng)用的研究成果日趨豐富,但目前尚未從有序加權(quán)視角研究畢達哥拉斯模糊距離測度方法,同時畢達哥拉斯模糊多屬性決策方法體系也有待進完善研究。為此,本文將從有序加權(quán)視角研究畢達哥拉斯模糊距離測度及其多屬性決策方法。本文的結(jié)構(gòu)安排如下:首先, 提出畢達哥拉斯模糊有序加權(quán)距離(PFOWD)測度,并給出了其權(quán)重確認方法;其次,在PFOWD的基礎(chǔ)上,提出了畢達哥拉斯模糊混合加權(quán)距離(PFHWD)測度,研究了其優(yōu)點及其特殊形式;最后,提出了一種基于PFHWD-TOPSIS的畢達哥拉斯模糊多屬性決策方法, 并通過案例應(yīng)用說明其可行性和有效性。

    2 預(yù)備知識

    2.1 畢達哥拉斯模糊集

    定義1[23]。設(shè)X為論域,則稱

    A={〈x,μA(x),vA(x)〉|x∈X}

    (1)

    (2)

    表示X中元素x屬于A的猶豫度或不確定度。特別地,若πA(x)=0,?x∈X,則A退化為Zadeh的傳統(tǒng)模糊集。為便于表述,稱α=(μα,vα)為畢達哥拉斯模糊數(shù)(PFN)[24], 其中,

    (3)

    且設(shè)全體PFN的集合為Ω。

    (1)若s(α1)

    (2)若s(α1)=s(α2), 則

    ?若h(α1)

    ?若h(α1)>h(α2), 則α1>α2;

    定義3[24]. 設(shè)α=(μα,vα),α1=(μα1,vα1) 和α2=(μα2,vα2)為任意三個PFN,λ>0,則其運算規(guī)則定義為:

    定義4[24]. 設(shè)α1=(μα1,vα1)和α2=(μα2,vα2)為兩個PFN,則稱

    dPFD(α1,α2)=

    (4)

    為α1和α2的距離測度。

    2.2 有序加權(quán)距離測度

    基于OWA算子[2]的思路,Xu和Chen[1]提出有序加權(quán)距離(OWD)測度,定義如下:

    定義5. 對于實數(shù)集A={a1,a2,…,an}和B={b1,b2,…,bn},記aj與bj之間的距離為d(aj,bj)=|aj-bj|,則

    (5)

    特別地,當(dāng)λ=1和λ=2時,OWD測度分別稱為有序加權(quán)平均(OWAD)[3]測度和有序加權(quán)Euclidean距離(OWED)測度:

    (6)

    (7)

    OWD測度的特點在于它能通過分配或高或低的權(quán)重進而增強或者緩解或大或小的差異在集成結(jié)果中的影響。然而,上述有序距離測度只適用于所給信息為實數(shù)值時的情形,下面研究基于畢達哥拉斯模糊信息的有序加權(quán)距離測度。

    3 主要結(jié)果

    在畢達哥拉斯模糊數(shù)距離定義的基礎(chǔ)上,我們首先定義畢達哥拉斯模集之間的加權(quán)距離。

    (8)

    顯然,PFWD測度僅考慮待集成指標的重要性,沒有體現(xiàn)出其所在位置的重要。為此,我們提出畢達哥拉斯模糊有序加權(quán)距離(PFOWD)測度,定義如下:

    (9)

    如何確定與PFOWD測度相關(guān)聯(lián)的權(quán)重是一個非常關(guān)鍵的問題,從定義可以看出,PFOWD與OWA算子和OWD測度一樣,其實質(zhì)都是一種有序加權(quán)方法,因此關(guān)于OWA算子和OWD測度的權(quán)重求解方法同樣適用于PFOWD測度,如最小二乘法和正態(tài)分布法[32]。根據(jù)PFOWD的特性,下面我們另外給出一種PFOWD的權(quán)重確定方法,設(shè)

    (10)

    (11)

    并設(shè)

    wj=

    (12)

    容易證明PFOWD算子具有一般集成算子的數(shù)學(xué)特征,如單調(diào)性、有界性、冪等性和交換性等。

    由定義6和定義7可以看出,PFWD測度與PFOWD測度的本質(zhì)區(qū)別在權(quán)重向量的確定,前者中的權(quán)重分配側(cè)重于反映評價者對指標屬性重要程度的判斷,而后者則強調(diào)待集成數(shù)據(jù)的序權(quán)重。兩者均僅考慮了權(quán)重分配的某一方面,都有一定的片面性。為克服上述缺點,筆者提出畢達哥拉斯?;旌霞訖?quán)距離測度,定義如下:

    (13)

    特別地,當(dāng)λ=1和λ=2時,對應(yīng)的PFHWD測度分別稱為畢達哥拉斯模糊混合加權(quán)漢明距離(PFHWHD)測度和畢達哥拉斯模糊混合加權(quán)歐氏距離(PFHWED)測度??梢宰C明PFWD和PFOWD都是PFHWD的特例。

    定理1PFWD是PFHWD測度的一個特例。

    證明:令w=(1/n,1/n,…,1/n)T和λ=1,則

    定理證畢。

    定理2PFOWD是PFHWD測度的一個特例。

    證明:令ω=(1/n,1/n,…,1/n)T, 則

    nωj(dPFD(ασ(j),βσ(j)))λ=(dPFD(ασ(j),βσ(j)))λ

    定理證畢。

    由定理1和定理2可知,PFHWD測度改進了PFWD和PFOWD測度的缺點,不僅能考慮每個數(shù)據(jù)的自身重要性程度,而且還體現(xiàn)了該數(shù)據(jù)所在位置的重要性程度。

    4 基于PFHWD的畢達哥拉斯模糊TOPSIS多屬性決策方法

    則基于PFHWD-TOPSIS畢達哥拉斯模糊多屬性決策方法步驟如下:

    步驟1.構(gòu)造畢達哥拉斯模糊決策矩陣R=(cj(xi))m×n,其中矩陣中的元素cj(xi)(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)是一個畢達哥拉斯模糊數(shù),為決策者給出的方案xi∈X關(guān)于屬性cj∈C下的評估值。

    步驟2. 利用公式(14)和(15)計算方案的畢達哥拉斯模糊正理想解A+和負理想解A-:

    (14)

    (15)

    步驟3. 利用方程(13)分別計算方案xi(i=1,2,…,m)與正理想解A+和負理想解A-的混合加權(quán)距離PFHWD(xi,A+)和PFHWD(xi,A-)。

    步驟4. 現(xiàn)有文獻的TOPSIS方法中一般采用傳統(tǒng)的貼進度函數(shù)來對方案進行排序[26,33-36]。然而文獻[24,37]指出,傳統(tǒng)貼近值最大的方案有時并不能同時滿足與正理想解最近和與負理想解最遠?;诖?,本文提出一種新的計算方案xi的貼近度函數(shù)ζ(xi)(i=1,2,…,m):

    (16)

    其中

    步驟5. 根據(jù)貼近度ζ(xi)的大小對方案xi(i=1,2,…,m) 擇優(yōu)排序,ζ(xi)越大,相應(yīng)的方案xi(i=1,2,…,m)則越優(yōu)。

    注:Zhang Xiaolu和Xu Zeshui在文獻[24]中提出了一種基于加權(quán)平均距離(PFWD)測度的畢達哥拉斯模糊TOPSIS (PFWD-TOPSIS)方法,即在上述步驟3中利用PFWD來計算方案xi(i=1,2,…,m)與正理想解A+和負理想解A-的距離。由于PFWD測度是PFHWD測度的一種特殊形式,因此Zhang Xiaolu和Xu Zeshui[24]的PFWD-TOPSIS方法也是我們本文提出的PFHWWD-TOPSIS方法的一種特殊形式。事實上,根據(jù)PFHWD的參數(shù)λ和權(quán)重的取值變化,我們可以得到PFHWD的一系列特殊形式,從而可得到一系列基于PFHWD特殊形式TOPSIS方法,如PFWD-TOPSIS方法、PFHWHD-TOPSIS方法和PFHWED-TOPSIS方法等。

    5 實例分析

    近年來中國的高速鐵路發(fā)展迅速,由于其快速便捷越來越受到乘客的歡迎,對國內(nèi)航空市場造成了巨大的挑戰(zhàn)。特別是在2008年全球經(jīng)濟低迷之后,越來越多的航空公司都試圖通過降低價格來吸引顧客。但不幸的是,他們很快就發(fā)現(xiàn)這不是一個雙贏的局面,只有良好的服務(wù)質(zhì)量才是競爭生存的關(guān)鍵和基本要素。為了提高國內(nèi)航空公司的服務(wù)質(zhì)量,民用航空局建立了一個決策委員會來研究國內(nèi)主要的四大航空公司[24]:北方航空公司(x1)、南方航空公司(x2)、東方航空公司(x3)、廈門航空公司(x4)。假設(shè)委員會根據(jù)以下四個主要指標屬性來評估這四大航空公司:訂票與售票服務(wù)(c1)、安檢與登機服務(wù)(c2),客艙服務(wù)(c3)和響應(yīng)性服務(wù)(c4)。通過對四個評價指標重要性的問卷調(diào)查,確定屬性指標的權(quán)重向量為ω=(0.15,0.25,0.35,

    0.25)T。由于決策環(huán)境的復(fù)雜性和決策者自身知識、經(jīng)驗的有限性,本文假設(shè)該決策委員會用畢達哥拉斯模糊形式來表達他們對四大航空公司在其各個屬性下的評估值,具體見表1。

    依據(jù)上述決策信息,我們首先計算出畢達哥拉斯模糊正理想解A+和負理想解A-:

    表1 畢達哥拉斯模糊決策矩陣

    A+={(0.9,0.3), (0.9,0.2), (0.8,0.1), (0.7,0.4)}

    A-={(0.4,0.7), (0.7,0.6), (0.5,0.8), (0.6,0.6)}

    假設(shè)與PFHWD測度相關(guān)聯(lián)的權(quán)重向量W=(0.1,0.35,0.3,0.25)T,且不失一般性,設(shè)λ=2,則可利用PFHWD計算方案xi(i=1,2,…,m)與正理想解A+和負理想解A-的混合加權(quán)距離PFHWD(xi,A+)和PFHWD(xi,A-),并在此基礎(chǔ)上利用公式(16)計算方案xi的貼近度ζ(xi)(i=1,2,…,m),結(jié)果如下表2所示:

    表2 基于PFHWD-TOPSIS方法的評價結(jié)果

    因為ζ(x4)?ζ(x2)?ζ(x3)?ζ(x1),故四大航空公司的服務(wù)質(zhì)量排序為:

    x4?x2?x3?x1,

    即廈門航空公司(x4)為航空服務(wù)質(zhì)量評價最高的航空公司。

    下面我們采用Zhang Xiaolu和Xu Zeshui[24]的PFWD-TOPSIS(λ=2)方法對本例題進行分析,計算結(jié)果如表3所示:

    表3 基于PFWD-TOPSIS方法的評價結(jié)果

    根據(jù)ζ(x3)?ζ(x2)?ζ(x4)?ζ(x1),航空公司的服務(wù)質(zhì)量排序為:x3?x2?x4?x1,由此可得東方航空公司(x3)為航空服務(wù)質(zhì)量評價最高的航空公司,和本文提出的方法得出的結(jié)果不同。其主要原因是PFWD-TOPSIS方法中的PFWD測度只考慮了屬性指標的重要性,并不能體現(xiàn)屬性指標所在位置的重要性,從而得出有偏差的結(jié)果。

    我們可進一步分析PFHWD測度中的參數(shù)λ的變化對貼近度函數(shù)和決策結(jié)果的影響,如圖1所示,隨著參數(shù)λ的變化,方案的貼近度函數(shù)也在變化,從而排序結(jié)果也會發(fā)生相應(yīng)的變化。從圖1可以看出當(dāng)λ∈(0,1.55)時,南方航空公司(x2)可視為航空服務(wù)質(zhì)量評價最高,當(dāng)λ∈[1.55,6.02),廈門航空公司(x4)可選為最優(yōu)方案,而當(dāng)λ≥6.02,東方航空公司(x3)的貼近度函數(shù)都比其他方案的都大,從而x3可作為最優(yōu)方案。根據(jù)PFHWD中參數(shù)λ的數(shù)學(xué)特征可發(fā)現(xiàn),λ的大小主要可用于體現(xiàn)決策者決策風(fēng)險偏好的程度。

    圖1 候選方案的貼近度函數(shù)(基于參數(shù)λ的 PFHWD-TOPSIS)

    由以上分析可知,本文提出的PFHWD-TOPSIS方法具有良好的性質(zhì),主要體現(xiàn)在:(1)該方法不但考慮了集成數(shù)據(jù)的重要性,而且能體現(xiàn)數(shù)據(jù)所在位置的重要性,從而可以增加或減低偏差過大或者過小的數(shù)據(jù)對集成結(jié)果的影響;(2)提出的新的貼進度函數(shù)可以改進現(xiàn)有方法的缺陷,能夠同時滿足最優(yōu)方案距正理想解最近和與負理想解最遠;(3)專家可根據(jù)實際需要和偏好選擇合適的參數(shù)λ,從而為決策者提供了更多的選擇機會,與其他方法相比更具決策柔性,其適用范圍也更廣泛。

    6 結(jié)語

    本文從有序加權(quán)視角研究了畢達哥拉斯模糊距離測度方法及其應(yīng)用。首先,定義了畢達哥拉斯模糊有序加權(quán)距離測度,該距離測度能有效地消除過大或過小的不合理信息造成的誤差,從而提高了測度方法的科學(xué)性與合理性。其次,在有序加權(quán)距離測度的基礎(chǔ)上進一步提出了畢達哥拉斯模糊混合加權(quán)距離(PFHWD)測度,PFHWD不僅能體現(xiàn)每個數(shù)據(jù)的自身重要性程度,而且還突出了該數(shù)據(jù)所在位置的重要程度。再者,提出了一種基于PFHWD測度的畢達哥拉斯模糊TOPSIS多屬性決策方法(PFHWD-TOPSIS),其核心是利用PFHWD度量備選方案與正負理想解的距離,從而得到方案的貼近度,并根據(jù)其大小對方案進行排序與擇優(yōu)。該方法不僅計算簡單,而且拓展了PFHWD的應(yīng)用范圍,豐富了已有的畢達哥拉斯模糊測度的研究成果。最后,案例分析結(jié)果也體現(xiàn)了本文所提方法具有很強的決策柔性和靈活性,決策者可以依據(jù)風(fēng)險偏好和實際問題需要調(diào)節(jié)參數(shù)值λ,這一特性使該方法的適用范圍更加廣泛。

    值得注意的是,本文提出的PFHWD不僅能有效與TOPSIS方法結(jié)合,改進現(xiàn)有TOPSIS方法的缺陷,而且還可廣泛應(yīng)用于各種群體決策與評價問題中,具有一定的推廣價值。如在大規(guī)模群體決策活動中,由于專家的知識背景等差異,往往使得決策難以達成一致,而本文提出的PFHWD能有效地消除這種差異,幫助決策者快速達到群體共識,決策者還可根據(jù)評價目的與實際問題的需要選擇PFHWD中適當(dāng)?shù)膮?shù)進行決策分析,從而提高決策結(jié)果的科學(xué)性與合理性。

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