圓與圓的綜合題（上）

“與圓有關(guān)的綜合題”系列一經(jīng)推出，受到了不少“造粉”的喜愛，大臉兔在QQ以及“學苑創(chuàng)造雜志”的微信公眾號后臺都收到了同學們的熱烈反饋，希望還能繼續(xù)推出這系列的文章。所以大臉兔再次邀請甘曉云老師來為同學們講解與圓有關(guān)的綜合題。大家可要認真學習喲。

在初中階段，圓與圓的綜合題不會太難，大致可以分為兩類：一是求面積（這類題目大多與弧的知識相關(guān)）；二是求（證明）切線（下期講）.本期先講解求面積.

一、求面積

這類題仔細觀察你就會發(fā)現(xiàn)，將圖形進行割補往往能湊成我們熟悉的規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的面積和差就能很快計算出所求部分的面積.

1.如圖，在半徑為1cm，圓心角為90°的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為（ ）.

A.πcm2 B.[23]πcm2 C.[12]cm2 D.[23]cm2

【解析】仔細看圖形，不難發(fā)現(xiàn)，將陰影部分進行拼湊，會得到一個直角三角形.已知半徑，只需要勾股定理求出AB的長度即可.答案C.

【點撥】雖然本題沒有涉及扇形、弧長等知識，但是既然出現(xiàn)了這樣的圖形，我們就一起來復習扇形的相關(guān)知識——

一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫扇形（半圓與直徑的組合也是扇形）.顯然，它是由圓周的一部分與它所對應的圓心角圍成。

扇形面積公式：[S扇]=[n360πR2=12lR]，其中n是扇形的圓心角度數(shù)，R是扇形的半徑，l是扇形的弧長.

2.如圖，⊙A與⊙B外切于⊙O的圓心O，⊙O的半徑為1，則陰影部分的面積是_____________.

【解析】首先觀察圖形，陰影部分的面積等于⊙O的面積減去空白部分的面積，但是這個空白部分不是我們熟悉的圖形，所以我們必須添加輔助線，讓它變成我們熟悉的圖形.

連接DF，DB，F(xiàn)B，OB，OD，因為⊙O的半徑為1，所以O(shè)B=BD=BF=OD=1，即△OBD是等邊三角形，則有DF垂直平分OB，交點為G，那么空白部分的面積就是4個相同的ODF的面積.

ODF是個弓形，弓形面積就是扇形面積與圓心角的面積之差.我們只需要求出一個弓形ODF的面積即可.

根據(jù)勾股定理，DF=2[（BD2-DG2）]=2[1-14]=[3]

S弓形ODF=S扇形BDF-S△BDF=[n360πR2]-[12]DF×BG=[120π×12360-12×3×12]=[π3-34]

所以S陰影部分=S⊙O[-]4S弓形ODF=[π-4×π3-34=3-π3]

【點撥】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系以及扇形面積的計算.解題的關(guān)鍵是明確不規(guī)則的陰影部分的面積如何轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何圖形的面積.

3.如圖，半徑為2cm，圓心角為90°的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為（ ）.

A.[π2-1]cm2 B.[π2+1]cm2 C.1cm2 D.[π2]cm2

【解析】陰影部分的面積不是我們熟悉的圖形，但是通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)，陰影部分的面積等于扇形AOB的面積減去以O(shè)B為直徑的半圓，和一個三角形.這個三角形就是通過割補的方式湊出來的，你發(fā)現(xiàn)了嗎？

建立起了關(guān)系，我們添加輔助線即可求解.

如圖所示，設(shè)以O(shè)A，OB為直徑作的兩個半圓相交于點D，連接OD.

因為扇形OAB的圓心角為90°，半徑為2，所以S扇形AOB=[90π×22360=π]（cm2）

以O(shè)B為直徑的半圓的面積為：[12×π×12=π2]（cm2）

因為三角形AOB是等腰直角三角形，點D是AB的中點，所以過點D做OA的垂線，交OA于點E，則DE=[12]OB=1cm，那么Rt△OAD的面積等于[12]×2×1=1（cm2）.

陰影部分的面積=扇形OAB的面積[-]以O(shè)B為直徑的半圓的面積[-]Rt△OAD的面積=[π-π2-1=π2-1]（cm2）.

除了這種割補的方法，你還有其他方法嗎？試一試吧！

4.如圖，把一個斜邊長為2且含有30°角的直角三角板ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°到△A1B1C，則在旋轉(zhuǎn)過程中，這個三角板掃過的圖形的面積是（ ）.

A.[π] B.[3] C.[3π4+32] D.[11π12+34]

【解析】解題之前必須明確，三角板掃過的圖形面積是由以BC為半徑的扇形，包含∠BAC的三角形以及以AC為半徑的扇形.明確這點之后我們就可以添加輔助線求解了.

如圖所示，設(shè)點B掃過的路線與AB的交點為D，連接CD.因為BC=DC，且∠B=60°，所以△BCD是等邊三角形.

利用勾股定理求出BC=1，AC=[3].因此BD=BC=1.由此推出點D是AB的中點，所以△ACD的面積等于△ABC的面積的一半.

所以S△ACD=[12×1×3=32]，S扇形BCD=[n360πR2]=[60360]π×12=[π6]，S扇形ACA1=[n360πR2]=[90360]π×[3]2=[3π4].

三角板ABC掃過的面積=S扇形ACA1+S扇形BCD+S△ACD=[3π4+π6+32]=[11π12+34]，答案選D.

【點撥】此題不僅考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，還考查了直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，同學們要注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應關(guān)系.掃過的面積分成兩個扇形的面積與一個三角形面積是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點.不少同學會想當然認為三角板掃過的圖形只有兩個扇形，于是求出來的答案會是A.同學們一定要注意審題，避免犯此類錯誤.

5.如圖，在正方形鐵皮上剪下一個圓形和扇形，使之恰好圍成如圖所示的一個圓錐模型.設(shè)圓的半徑為r，扇形的半徑為R，則圓的半徑與扇形半徑之間的關(guān)系為（ ）.

A.R=2r B.R=r C.R=3r D.R=4r

【解析】根據(jù)弧長公式l=[nπR180]計算出扇形的弧長=[90πR180]=[12]πR，圓的周長C=2πr；再根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長得到[12]πR=2πr，即可得到R與r的關(guān)系R=4r.故選B.

【點評】本題除了考查弧長的計算公式，還考查了圓錐的計算，圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線長，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長.

6.如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，曲線FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六邊形的漸開線”，其中[FK1]，[K1K2]，[K2K3]，[K3K4]，[K4K5]，[K5K6]，…的圓心依次按點A，B，C，D，E，F(xiàn)循環(huán)，其弧長分別記為l1，l2，l3，l4，l5，l6，…當AB=1時，l2011等于（ ）.

A.[2011π2] B.[2011π3] C.[2011π4] D.[2011π6]

【解析】我們先來試著求幾個弧長：

l1=[nπR180]=[60π×1180=π3]；l2=[60π×2180]=[2π3]；l3=[60π×3180=3π3]；l4=[60π×4180=4π3]…

按照這個規(guī)律，不難推出l2011=[60π×2011180=2011π3]，故答案選B.

【點撥】本題并不難，雖然題目看起來復雜，但實際上就是考查同學們是否對弧長公式了然于胸，只要記得公式，順勢推導就能得出答案.

7.如圖，在平面直角坐標系中，點A，B均在函數(shù)y=[kx]（k>0，x>0）的圖象上，⊙A與x軸相切，⊙B與y軸相切.若點B的坐標為（1，6），⊙A的半徑是⊙B的半徑的2倍，則點A的坐標為（ ）.

A.（2，2） B.（2，3） C.（3，2） D.[4，32]

【解析】雖然這道題與函數(shù)圖象相結(jié)合，但只要弄清題意就能找到解題思路.函數(shù)是未知的，但是函數(shù)上的點是已知的，先把B點的坐標帶入函數(shù)，求出k=6，得出函數(shù)的解析式是y=[6x].因為點B的坐標為（1，6），且⊙B與y軸相切，所以⊙B的半徑是1，則⊙A的半徑是2，把y=2代入函數(shù)的解析式y(tǒng)=[6x]，得x=3，則點A的坐標即可求出，為（3，2）.故答案選C.

【點撥】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及斜線的性質(zhì)，圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑的相關(guān)知識點.

【舉一反三】

1.右圖為△ABC與⊙O的重疊情形，其中BC為⊙O之直徑，若∠A=70°，[BC]=2，則圖中灰色區(qū)域的面積為（ ）.

A.[55π360] B.[110π360]

C.[125π360] D.[140π360]

2.如圖，將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，則∠AOB′的度數(shù)是（ ）.

A.25° B.30°

C.35° D.40°

3.如圖，AB，CD是兩條相互垂直的公路，設(shè)計時想在拐彎處用一段圓弧形彎道把它們連接起來（圓弧在A，C兩點處分別與道路相切），測得AC=60米，∠ACP=45°.

（1）在圖中畫出圓弧形彎道的示意圖；

（2）求彎道部分的長.（結(jié)果保留四個有效數(shù)字）.

（答案在本期找）