基于QR法建模的結(jié)構(gòu)非線性抗震分析方法

謝 丙 旭

(華北水利水電大學土木與交通學院，河南 鄭州 450000)

0 引言

眾所周知，地震災害是一種能夠直接給國家與人民生命財產(chǎn)安全造成重大損失的自然災害,并且它一般發(fā)生的很突然,所以結(jié)構(gòu)非線性抗震分析尤其是大型復雜結(jié)構(gòu)的非線性抗震分析就顯得尤為重要。結(jié)構(gòu)非線性主要是包括幾何非線性和材料非線性。在大型復雜結(jié)構(gòu)設(shè)計及施工中往往需要必須綜合考慮其雙重非線性才能確保工程結(jié)構(gòu)的經(jīng)濟性及適用性。

當前，國內(nèi)外對結(jié)構(gòu)的非線性分析幾乎都是選用的基于幾何非線性理論、經(jīng)典本構(gòu)關(guān)系及有限元分析方法建立的非線性有限元法。此法對結(jié)構(gòu)非線性分析有很大貢獻，但仍然存在較多問題，如:

1)有限元法是一種網(wǎng)格法，通過它來分析大型復雜結(jié)構(gòu)的非線性問題經(jīng)常會帶來極大地阻礙，有時甚至得不到正確解；

2)該方法數(shù)值計算量太過巨大，迭代速度太慢；

3)應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系受流動法則影響巨大，難以得出真實解。

因此，通過非線性有限元分析的方法并不是一個合理的方法。由秦榮所提出的基于QR法建模并通過樣條加權(quán)殘數(shù)法來建立地震反應(yīng)分析的方法就是一種能夠解決上述問題的分析方法。下面將著重就這種方法的求解過程進行闡述。

1 QR法建模

(1)

采用彈塑性應(yīng)變理論和變分原理可得結(jié)構(gòu)非線性地震反應(yīng)模型。

(2)

[K]=[K0]+[K1]+[K2]

(3)

利用非線性QR法建模，則[K0],[K1],[K2],[C],[M]及{f}的形式為:

(4)

故由式(2)可得：

(5)

2 樣條加權(quán)殘數(shù)法求解

對時域[t0,tm]進行樣條離散化，即：

這時，同學們才小聲議論，并陸續(xù)舉報：“白虎隊”成員小王在班上扯女生頭發(fā)，小曹拿別人東西不還，小黃和值日生“叫板”，小但總在放學路上欺侮同學，小胡經(jīng)常逼迫別人叫他“老大”……做錯事不可怕，可悲的是他們似乎并不知道自己錯在哪里。

則動力反應(yīng)向量可定義為:

(6)

如果t=tj,{X(tj)}={X}j，則:

(7)

將式(7)代入式(2)，可以推出殘數(shù)方程:

(8)

由樣條加權(quán)殘數(shù)法可得:

(9)

其中，W(t)為權(quán)函數(shù)。將式(8)代入式(9)可得:

H1aj+1+H2aj+H3aj-1+Pj=0

(10)

則可得遞推公式，即：

(11)

由上述可知，通過上式求出aj+1,aj及aj-1的值后，即可通過式(7)求出結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)向量。

上述方法采用了遞推計算，是條件穩(wěn)定算法；如果Δt≤0.55T,則可以認定該算法是穩(wěn)定的。

上述求解方法的具體步驟可以總結(jié)如下：

1)建立結(jié)構(gòu)動力模型，詳見式(2)；

3)求t0時刻的應(yīng)力反應(yīng)σ0及恢復力F0；

4)通過式(10)求參數(shù)向量a2的值；

6)求出結(jié)構(gòu)應(yīng)力反應(yīng)σ1及恢復力F1的值；

3 結(jié)語

本文對一種結(jié)構(gòu)非線性抗震分析方法的主要過程進行了探討。這種方法是基于QR法建立結(jié)構(gòu)動力模型而提出的。