數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)如何真實(shí)發(fā)生

近年來(lái)，我們的教學(xué)在不斷地嘗試改革，如先學(xué)后教、翻轉(zhuǎn)課堂等的出現(xiàn)就是如此。這種以強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主學(xué)習(xí)為主的改革出發(fā)點(diǎn)是好的，但是在實(shí)際操作中，我們往往又會(huì)顧此失彼。例如，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的興趣而忽視系統(tǒng)知識(shí)的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動(dòng)參與而忽視教師的引導(dǎo)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的愉悅而輕視嚴(yán)肅嚴(yán)格的學(xué)習(xí)，等等。于是，基于教學(xué)規(guī)律之上的探索就顯得尤為重要，深度學(xué)習(xí)之研究即是如此。

我們認(rèn)為，深度學(xué)習(xí)是指課堂教學(xué)中學(xué)生的學(xué)習(xí)而不是一般的學(xué)習(xí)者的自學(xué)，強(qiáng)調(diào)教師的引導(dǎo)和幫助。這是符合學(xué)習(xí)認(rèn)知規(guī)律的，老師有相對(duì)系統(tǒng)的認(rèn)知體系，懂得如何引導(dǎo)學(xué)生將學(xué)習(xí)走向深入。深度學(xué)習(xí)的內(nèi)容是有挑戰(zhàn)性的人類已有認(rèn)識(shí)成果。例如，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，就這個(gè)問(wèn)題而言，學(xué)生要理解它甚至運(yùn)用它是富有挑戰(zhàn)性的。從心理學(xué)的角度看，富有挑戰(zhàn)性的活動(dòng)會(huì)更吸引學(xué)生窮究到底的興趣。深度學(xué)習(xí)是學(xué)生感知、思維、情感、意志、價(jià)值觀全面參與、全身心投入的活動(dòng)，而知、情、意是人類心理活動(dòng)的三種基本形式，當(dāng)知、情、意、行完美統(tǒng)一的時(shí)候就成了最恰當(dāng)?shù)慕逃?/p>

由于深度學(xué)習(xí)是極為復(fù)雜的活動(dòng)，在具體的教學(xué)實(shí)踐中，如何知道深度學(xué)習(xí)發(fā)生了？或者說(shuō)，我們從哪些方面努力就可能引發(fā)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)呢？

一、聯(lián)想與結(jié)構(gòu)

我們可以從兩個(gè)方面去理解聯(lián)想與結(jié)構(gòu)，一方面指學(xué)生學(xué)習(xí)方式的樣態(tài)，另一方面指這樣的學(xué)習(xí)方式所處理的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

作為學(xué)習(xí)方式的樣態(tài)，說(shuō)的其實(shí)就是如何把需要學(xué)習(xí)的知識(shí)系統(tǒng)與學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)建立起聯(lián)系。教師要考慮的問(wèn)題是如何調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)來(lái)參與當(dāng)下的學(xué)習(xí)，又要將當(dāng)下的學(xué)習(xí)內(nèi)容與已有的經(jīng)驗(yàn)建立起結(jié)構(gòu)性的關(guān)聯(lián)，從而使知識(shí)轉(zhuǎn)化為與學(xué)生個(gè)體有關(guān)聯(lián)的、能夠操作和思考的內(nèi)容，并進(jìn)一步納入新的認(rèn)知系統(tǒng)。知識(shí)→聯(lián)結(jié)→經(jīng)驗(yàn)→新的經(jīng)驗(yàn)→新的知識(shí)，這樣的活動(dòng)，就是深度學(xué)習(xí)。

例如，在教學(xué)“圓柱的體積”時(shí)，我們?cè)O(shè)計(jì)了這樣一個(gè)活動(dòng)：老師出示一張圓形紙片和一張長(zhǎng)方形紙片，告訴學(xué)生，這兩張紙片的大小一樣，也就是面積相等?，F(xiàn)在，我想把這樣的100張圓形紙片與100張長(zhǎng)方形紙片分別摞起來(lái)形成一個(gè)圓柱、一個(gè)長(zhǎng)方體。比較這兩個(gè)立體圖形的體積，你認(rèn)為哪一個(gè)會(huì)更大些？說(shuō)說(shuō)理由。

顯然，這樣的問(wèn)題激活了學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)：底面積一樣，高度一樣，體積（物體所占空間的大?。┛隙ㄒ粯?。在此基礎(chǔ)上，老師進(jìn)一步提出問(wèn)題：“基于剛才的研究，你們能提出什么新的問(wèn)題嗎？”有學(xué)生提出，只要底面積相同（與形狀無(wú)關(guān)），高度相同，體積一定相等。此時(shí)，老師追問(wèn)：“果真如此嗎？”通過(guò)操作和討論，學(xué)生達(dá)成共識(shí)，只要底面積和高分別相等的柱體，體積一定相等。

這樣教學(xué)，通過(guò)聯(lián)想，激活學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，以融會(huì)貫通的方式對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行重組，從而建構(gòu)出自己新的知識(shí)結(jié)構(gòu)，達(dá)到學(xué)一課知一類的目標(biāo)。

二、活動(dòng)與體驗(yàn)

活動(dòng)與體驗(yàn)是深度學(xué)習(xí)的重要特征。這里的活動(dòng)是以學(xué)生為主體的活動(dòng)，不僅僅是動(dòng)手操作，更多的是來(lái)源于學(xué)生頭腦的思維活動(dòng)。這里的體驗(yàn)指的是學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)的個(gè)體體驗(yàn)，當(dāng)學(xué)生全身心投入時(shí)，這種體驗(yàn)是一種積極的有后勁的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，是學(xué)生愿意持續(xù)進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的原動(dòng)力。

我們強(qiáng)調(diào)學(xué)生要有活動(dòng)的機(jī)會(huì)，特別強(qiáng)調(diào)要有親身經(jīng)歷。當(dāng)然，這種親身經(jīng)歷不排除用頭腦與心靈去模擬地、簡(jiǎn)約地經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)現(xiàn)、形成、發(fā)展的過(guò)程。華東師范大學(xué)張奠宙先生在《教育數(shù)學(xué)是具有教育形態(tài)的數(shù)學(xué)》一文中指出，數(shù)學(xué)具有三種形態(tài)：原始形態(tài)、學(xué)術(shù)形態(tài)、教育形態(tài)。原始形態(tài)是指數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理、證明數(shù)學(xué)命題時(shí)所進(jìn)行的反復(fù)曲折的數(shù)學(xué)思考；學(xué)術(shù)形態(tài)是指數(shù)學(xué)家在發(fā)表論文時(shí)采用的形態(tài)，包括形式化、嚴(yán)密地演繹和邏輯地推理，它呈現(xiàn)出簡(jiǎn)潔的、冰冷的形式化的美麗，卻把原始的、火熱的思考淹沒(méi)在形式化的海洋里；教育形態(tài)是指通過(guò)教師的努力，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行火熱的思考，使學(xué)生更容易接受人類數(shù)千年積累的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。我們認(rèn)為，張奠宙先生提倡的教育形態(tài)的數(shù)學(xué)與深度學(xué)習(xí)在本質(zhì)上是一樣的，教師要充分發(fā)揮主觀能動(dòng)作用，設(shè)計(jì)適合深度學(xué)習(xí)的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程。

例如，集合是近代數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，集合思想作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想已向小學(xué)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行滲透。但是，集合思想對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)非常抽象難懂，要感悟是很困難的。那么，如何設(shè)計(jì)好的數(shù)學(xué)活動(dòng)與數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生在活動(dòng)中領(lǐng)悟集合思想，并運(yùn)用集合思想與方法解決實(shí)際問(wèn)題呢？我們進(jìn)行了這樣的設(shè)計(jì)。

【課前準(zhǔn)備】學(xué)生在卡紙上寫(xiě)自己的名字。

【教學(xué)過(guò)程】

活動(dòng)一：棋子的秘密。

師：今天的數(shù)學(xué)課從游戲開(kāi)始，先請(qǐng)同學(xué)們看這兩個(gè)圓圈。（出示實(shí)物綠圓圈、紅圓圈，綠圓圈里有4顆棋子，紅圓圈里有3顆棋子）

師：現(xiàn)在兩個(gè)圓圈里一共是幾顆棋子？

生：4+3=7，7顆。（板書(shū)：4+3=7）

師：對(duì)，這個(gè)游戲?qū)τ谀銈儊?lái)說(shuō)可能有點(diǎn)小兒科了?，F(xiàn)在游戲馬上升級(jí)，聽(tīng)好了，還是這兩個(gè)圓圈，還是這7顆棋子，變一變，讓綠圓圈里有5顆棋子，紅圓圈還是3顆棋子。你會(huì)嗎？

生1上臺(tái)從紅圓圈里拿1顆棋子放入綠圓圈。

師：老師采訪一下你，為什么要從紅圓圈里拿1顆棋子到綠圓圈里？

生1：因?yàn)榫G圓圈里要有5顆棋子，現(xiàn)在只有4顆，所以得從紅圓圈里拿1顆。

生2：不可以！這樣子紅圓圈里棋子的數(shù)量就不符合要求了！

生3：可以放中間。（師把棋子放在兩個(gè)圓圈的中間，如圖所示）

生4：不對(duì)不對(duì)。

師：哪里不對(duì)了？

生4：這樣放的話，紅圓圈里只有4顆，綠圓圈里只有2顆，它們都少了1顆棋子。

師：那這顆棋子到底怎么放？不要著急，有時(shí)靜下心來(lái)想一想，你就會(huì)想到兩全其美的辦法。

熱鬧的課堂很快安靜下來(lái)，同學(xué)們陷入了沉思。

一生上臺(tái)移動(dòng)紅圓圈，將兩個(gè)圓圈交叉在一起，然后從紅圓圈里拿出一顆棋子擺在中間交叉的部分（如圖所示）。

學(xué)生歡呼起來(lái)：這樣可以了！

師：什么叫可以了？

生5：你看！現(xiàn)在綠圓圈里有5顆棋子，紅圓圈里有3顆棋子。

師：噢，今天老師長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)了，原來(lái)5加3還可以等于7。（板書(shū)：5+3=7）

學(xué)生交流討論，發(fā)現(xiàn)中間的1重復(fù)計(jì)算了一遍。

師：你說(shuō)的重復(fù)是什么意思？

生6：中間的這顆棋子，我們數(shù)5時(shí)數(shù)了它，數(shù)3時(shí)也數(shù)了它，多數(shù)了一次就是重復(fù)了1次，所以要減1。（板書(shū)：5+3-1=7）

師：那這個(gè)減1是不是把中間的棋子減掉？

生：不是，減去的是重復(fù)計(jì)算的那個(gè)1。

師：看來(lái)，這游戲一升級(jí)就有點(diǎn)意思了。

在這樣的過(guò)程中，學(xué)生在掌握用重疊方法解決問(wèn)題的同時(shí)，受到集合思想的啟蒙。更重要的是，這些知識(shí)與方法的獲取完全來(lái)源于學(xué)生自身的活動(dòng)。學(xué)生在這樣的活動(dòng)中，不僅知其然也知其所以然，體會(huì)到交集策略的形成過(guò)程。在深度學(xué)習(xí)這里，教學(xué)不再是人們所諷刺的“頸部以上的”冷冰冰的理智活動(dòng)，而是理智與情感共在的，鮮活的、有溫度的活動(dòng)，學(xué)生以全部的思想和精神去感受和體驗(yàn)學(xué)習(xí)活動(dòng)的豐富復(fù)雜、細(xì)微精深。

三、本質(zhì)與變式

把握事物的本質(zhì)，是建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)的前提。在把握事物本質(zhì)的過(guò)程中，需要去除非本質(zhì)屬性的干擾，分辨出本質(zhì)與非本質(zhì)屬性的區(qū)別，對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容（學(xué)習(xí)對(duì)象）進(jìn)行深度加工。因此，對(duì)于數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)，我們不主張帶領(lǐng)學(xué)生背誦數(shù)學(xué)定義與概念，而是要設(shè)計(jì)好的活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中學(xué)會(huì)質(zhì)疑、探究、歸納等等。在這些深層次的活動(dòng)中，學(xué)生通過(guò)自身的努力逐漸逼近對(duì)事物本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

例如，我們?cè)诮虒W(xué)四年級(jí)“圖形的面積與周長(zhǎng)”這一內(nèi)容時(shí)，為了讓學(xué)生體會(huì)“面積可增減，而周長(zhǎng)不可；周長(zhǎng)確定的條件下，面積可變”這些認(rèn)識(shí)，設(shè)計(jì)了下面的活動(dòng)。

師：能求出這個(gè)長(zhǎng)方形（如圖①，單位：厘米）的周長(zhǎng)嗎？（生集體回答）如果從這個(gè)圖形中去掉一塊（如圖②），變化以后的圖形周長(zhǎng)又是多少呢？

生1：把這個(gè)圖形的各條邊的長(zhǎng)度一段一段加起來(lái)就可以算出周長(zhǎng)了。

生2：一段一段地加太麻煩了，我們可以把4厘米的這條邊向上平移，可以看出，新的圖形的周長(zhǎng)比原來(lái)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)多2個(gè)2厘米。

師：借助平移求不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)確實(shí)方便，也能清楚地發(fā)現(xiàn)變化后的圖形的周長(zhǎng)與原來(lái)圖形的周長(zhǎng)之間的關(guān)系。我們現(xiàn)在把圖形變一變（演示課件：從圖②變化到圖③、④、⑤、⑥），請(qǐng)同學(xué)們求出變化后的每個(gè)圖形的周長(zhǎng)，然后和原圖比較，有什么發(fā)現(xiàn)？為什么？

生3：通過(guò)平移，我們可以發(fā)現(xiàn)圖②、③、④的周長(zhǎng)是一樣的，都是在原長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)上增加2個(gè)2厘米，圖⑤的周長(zhǎng)和原長(zhǎng)方形周長(zhǎng)相等，圖⑥的周長(zhǎng)比原長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)增加了2個(gè)4厘米。

生4：都是從原長(zhǎng)方形中去掉相同的長(zhǎng)方形，變化之后圖形的周長(zhǎng)可能增加，也可能不變。如果從頂點(diǎn)去掉長(zhǎng)方形，周長(zhǎng)不變；如果在每條邊的中間去掉長(zhǎng)方形，利用平移的辦法，剩下圖形的周長(zhǎng)與原圖形的周長(zhǎng)相比，多了兩條去掉圖形的長(zhǎng)或?qū)挕?/p>

師：大家觀察得很仔細(xì)，思考問(wèn)題也很全面，如果從面積的角度思考呢？

生5：無(wú)論怎樣變化，圖②到圖⑥的形狀雖然不同，但陰影部分（剩下圖形）的面積是相等的，都是從原來(lái)長(zhǎng)方形的面積中減去小長(zhǎng)方形的面積。

師：你們真是一群會(huì)學(xué)習(xí)的孩子！能從變中找不變，很了不起！還有別的發(fā)現(xiàn)嗎？舉例說(shuō)說(shuō)看。

生6：周長(zhǎng)相等的圖形，面積不一定相等，如原圖和圖⑤。

生7：面積相等的圖形，周長(zhǎng)可能相等，如圖②、③、④。

生8：面積相等的圖形，周長(zhǎng)也可能不相等，如圖⑤、⑥。

生9：周長(zhǎng)大的圖形，面積不一定大，如圖⑥和原圖。

師：孩子們善于觀察、對(duì)比、思考，發(fā)現(xiàn)的結(jié)論也很有價(jià)值。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是這樣，在觀察中思考，在思考中享受發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣！

在上面的設(shè)計(jì)里，學(xué)生于變中找不變。就是在這個(gè)思辨的過(guò)程中，學(xué)生的認(rèn)識(shí)越來(lái)越接近圖形的面積與周長(zhǎng)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。

四、遷移與應(yīng)用

遷移與應(yīng)用指的是將所學(xué)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為新的認(rèn)知或者轉(zhuǎn)化為綜合實(shí)踐能力。深度學(xué)習(xí)離不開(kāi)遷移與應(yīng)用，任何脫離實(shí)際應(yīng)用的學(xué)習(xí)是稱不上深度學(xué)習(xí)的?？梢哉f(shuō)，應(yīng)用是遷移的重要表征，也可以說(shuō)，學(xué)習(xí)就是為了遷移。如果把學(xué)習(xí)活動(dòng)看作一個(gè)閉環(huán)結(jié)構(gòu)，那么遷移便在閉合處。它既是學(xué)習(xí)開(kāi)始的端點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)結(jié)束的端點(diǎn)，從別處遷移來(lái)，又從這里遷移到別處去。應(yīng)用也是如此，既是上一個(gè)環(huán)節(jié)學(xué)習(xí)結(jié)果在此處的應(yīng)用，又通過(guò)應(yīng)用開(kāi)啟新的學(xué)習(xí)。如此，學(xué)習(xí)內(nèi)容的系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性以及隨著活動(dòng)深化而展現(xiàn)的深刻性與豐富性，學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性、自覺(jué)性都在遷移與應(yīng)用中得以顯現(xiàn)。

例如，我們?cè)诮虒W(xué)六年級(jí)“圓柱與圓錐的整理與復(fù)習(xí)”這一內(nèi)容時(shí)，設(shè)計(jì)了下面這樣一個(gè)活動(dòng)。

課件出示：r=2.5cm，h=12.5cm。

師：這是一個(gè)圓柱的底面半徑和高的數(shù)據(jù)，請(qǐng)你先比劃一下這個(gè)圓柱有多大，再想象一下它可能是生活中的什么物體。

生：可能是筆桶、水杯……

師：大小相近，猜測(cè)合理?？纯蠢蠋煄?lái)的是什么呢？（拿出一罐飲料）看看你們比劃的，跟它差不多嗎？（學(xué)生修正）

師：針對(duì)這罐飲料，你能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？

生1：它貼的商標(biāo)面積是多大？它的體積是多少？需要用多少鐵皮？

師：它上面注明含有240毫升的飲料，商家有沒(méi)有欺騙消費(fèi)者呢？

生2：可以算出它的容積，再和240毫升比較。

（學(xué)生計(jì)算）

師：看到計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生3：商家沒(méi)有欺騙消費(fèi)者，因?yàn)榈脭?shù)比240大。

師：為什么求得的數(shù)據(jù)比標(biāo)明的數(shù)據(jù)還要大？

生4：可能是沒(méi)裝滿。飲料不宜裝得太滿，如果裝得太滿，在運(yùn)輸途中容易發(fā)生爆炸。

師：你懂得真多！

生5：測(cè)量的有誤差。

生6：我們是從外面測(cè)量的。

師：同學(xué)們猜測(cè)得合情合理。

……

在上面的學(xué)習(xí)中，遷移與應(yīng)用不只是對(duì)學(xué)習(xí)結(jié)果的檢驗(yàn)方式。遷移是經(jīng)驗(yàn)的擴(kuò)展與提升，應(yīng)用是將內(nèi)化了的知識(shí)外顯化、操作化的過(guò)程，這也是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的重要過(guò)程。

由此可見(jiàn)，深度學(xué)習(xí)的理論不是某一流派的理論演繹，而是歷史上優(yōu)秀教育理論成果及優(yōu)秀教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的匯聚與提煉，是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)與發(fā)展的一般道路的現(xiàn)實(shí)探討。深度學(xué)習(xí)實(shí)踐的理論價(jià)值，不僅僅在于克服機(jī)械學(xué)習(xí)、淺層學(xué)習(xí)的弊端，讓學(xué)生學(xué)得主動(dòng)、積極，更重要的是，要克服長(zhǎng)期以來(lái)的種種二元對(duì)立，使教師、學(xué)生、教學(xué)內(nèi)容（知識(shí)）獲得高度的統(tǒng)一，使教學(xué)內(nèi)容（人類歷史文化、人類認(rèn)識(shí)成果）發(fā)揮其應(yīng)有的價(jià)值，使教師、學(xué)生在教學(xué)中獲得最大發(fā)展，幫助學(xué)生形成有助于未來(lái)可持續(xù)發(fā)展的核心素養(yǎng)。

（執(zhí)筆：王麗燕參加討論人員：王麗燕、楊枚、邱娟、謝炤陽(yáng)、鄧求平、劉碩鵬、鄧詠梅、童建笛）