具有脈沖源項(xiàng)的二階半線性奇攝動(dòng)邊值問(wèn)題

謝亞南,謝峰

(東華大學(xué)理學(xué)院,上海201620)

1 引言

奇異攝動(dòng)理論和方法來(lái)源于對(duì)天體力學(xué)和流體力學(xué)邊界層理論的研究[1],目前已是解決非線性問(wèn)題的重要手段之一.奇異攝動(dòng)問(wèn)題廣泛存在于力學(xué)、物理、生物等學(xué)科中,這類(lèi)問(wèn)題的典型特征是其解通常包含多個(gè)時(shí)間尺度,如解的邊界層現(xiàn)象和內(nèi)部層現(xiàn)象.至上個(gè)世紀(jì)九十年代末,二階奇異攝動(dòng)兩點(diǎn)邊值問(wèn)題獲得了充分的研究,光滑的二階奇攝動(dòng)邊值問(wèn)題的邊界層理論和空間對(duì)照理論已較為完善[2?4].

近年來(lái),具有不連續(xù)系數(shù)和不連續(xù)源項(xiàng)的奇異攝動(dòng)問(wèn)題受到較多關(guān)注[5?8],這類(lèi)模型經(jīng)常出現(xiàn)在流固耦合等實(shí)際問(wèn)題中.如文[5]中,Lin? Torsten研究了具有集中點(diǎn)源的對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題

其中δd=δ(x ?d)為Dirac-delta函數(shù),這是一類(lèi)典型的具有不連續(xù)系數(shù)的奇攝動(dòng)邊值問(wèn)題.在文[6]中,Gracia 和O’Riordan考慮了一個(gè)具有移動(dòng)脈沖的奇異攝動(dòng)對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題,作者構(gòu)造出解原問(wèn)題的參數(shù)一致的數(shù)值方法.

本文研究一類(lèi)具有典型脈沖源項(xiàng)的二階半線性奇異攝動(dòng)邊值問(wèn)題：

其中f(x,y)和g(x)分別為[a,b]×R和[a,b]上的充分光滑函數(shù),0<ε ?1為攝動(dòng)參數(shù),A和B為給定常數(shù),I(s) = e?s2為脈沖源項(xiàng).這類(lèi)問(wèn)題可以看做是具有集中點(diǎn)源奇攝動(dòng)問(wèn)題的光滑化.令ε →0,其退化問(wèn)題為

這里方程(1.1)的右端不依賴于未知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)y′(x),故方程(1.1)為二階半線性微分方程[1].一般而言,它在x=x0處不連續(xù).退化問(wèn)題的解可看作具有集中點(diǎn)源,因而原問(wèn)題的解除展示邊界層外,可能會(huì)出現(xiàn)內(nèi)部層現(xiàn)象.本文將用合成展開(kāi)法和微分不等式理論研究問(wèn)題(1.1)-(1.2)解的存在性和漸近估計(jì).

2.構(gòu)造形式漸近解

首先作如下假設(shè):

(H)f(x,y)∈C∞([a,b]×R),存在常數(shù)?>0,使得

因退化問(wèn)題的解在x=x0處的非光滑性,原問(wèn)題的解除了在x=a和x=b處具有邊界層性質(zhì)外,在x=x0處可能具有內(nèi)部層現(xiàn)象.因此,按照合成展開(kāi)法,我們尋求問(wèn)題(1.1)-(1.2)的如下形式漸近解y(x,ε)=U(x,ε)+V(ξ,ε)+W(η,ε)+Z(t,ε),其中,U(x,ε)為外部展開(kāi),V(ξ,ε)和W(η,ε)為邊界層校正項(xiàng),Z(t,ε)為內(nèi)部層展開(kāi)式,

ξ為伸展變量.邊界層和內(nèi)部層項(xiàng)vj(ξ),wj(η)和zj(t)滿足邊界層函數(shù)性質(zhì)

我們首先求解的外部展開(kāi)式.當(dāng)x≠x0時(shí),考慮到脈沖源項(xiàng)當(dāng)ε →0時(shí)的指數(shù)衰減性,原問(wèn)題變?yōu)?/p>

在(2.3)式中令ε →0 即得到退化方程f(x,u0) = 0,由假設(shè)(H)知它存在唯一光滑的解y=u0(x),x ∈[a,b].比較(2.3)式中ε1,ε2,ε3,ε4的系數(shù),可得

類(lèi)似地,u4k+1(x)=u4k+2(x)=u4k+3(x)≡0 (k=1,2,···),并可逐次確定u4k(k=2,3,4···).

為構(gòu)造左邊界層校正項(xiàng),將y=U(x,ε)+V(ξ,ε)代入(2.1)式和(2.2)中的左邊界條件y(a)=A,可得

其中

在式(2.4)-(2.5)中,令ε的同次冪系數(shù)相等,得到

其中P2j?2(ξ)為由v0,v2,···v2j?2逐次確定的已知函數(shù).

并且由假設(shè)(H)和文[2]中的定理2.2.3,可得v0(ξ) =O(exp(??ξ)),ξ →+∞.而式(2.7)中每個(gè)v2j(ξ)都可以用降階法解出

其中?(ξ)=?˙v0(ξ)為與(2.7)相應(yīng)的齊次線性微分方程的解.

類(lèi)似地,將y=U(x,ε)+W(η,ε) 代入(2.1)式和(2.2)中的右邊界條件y(b) =B可逐次確定wj(η)(j=0,1,2,···),其中w0(η) 可以表示為

而

式中ψ(η)=?(η)滿足齊次線性微分方程

Q2j?2(η)為在構(gòu)造邊界層函數(shù)時(shí)由w0,w2,···,w2j?2逐次確定的已知函數(shù),并且每個(gè)wj(η)當(dāng)η →+∞時(shí)是指數(shù)式衰減的.

其退化方程為

由假設(shè)(H)可知,它有唯一光滑的解y=φ(t).將y=U(x,ε)+Z(t,ε)代入(2.9)式有

其中

令方程(2.11)兩邊關(guān)于ε的同次冪系數(shù)相等,得到一系列遞推代數(shù)方程,從而可逐次得到z0(t),z1(t),···.例如,z0(t),z1(t)滿足代數(shù)方程

從(2.12)(2.13)可得

從前面外部解展開(kāi)式的推導(dǎo)可知u1=0,u0(x) 滿足代數(shù)方程f(x,u0(x))=0.

對(duì)上式兩邊關(guān)于x在x0處求導(dǎo),可得

將u1=0和(2.14)代入(2.13),從而z1(t)可以表示為

命題1假設(shè)條件(H)成立,內(nèi)部層校正項(xiàng)z0(t)和z1(t)有如下估計(jì)：

證注意到f(x0,u(x0))=0,由(2.10)式可得

從而從假設(shè)(H)知

關(guān)于z1(t)的估計(jì)可由(2.15)式利用假設(shè)(H)直接得到.證畢.

至此,我們得到原問(wèn)題的一階形式漸近解

3 主要結(jié)論及證明

引理1[10](不等式理論) 假設(shè)函數(shù)α(x,ε),β(x,ε)∈C2[a,b] 使得

則邊值問(wèn)題(1.1)-(1.2)在區(qū)間[a,b]上存在一個(gè)解y=y(x,ε),且成立不等式

滿足條件(3.1)-(3.4)的函數(shù)α(x,ε)和β(x,ε)分別稱為問(wèn)題(1.1)-(1.2)的一個(gè)下解和上解.

定理1假設(shè)(H)成立,則問(wèn)題(1.1)-(1.2)在[a,b] 上存在一個(gè)解y(x,ε),且當(dāng)ε →0 時(shí)滿足

證選取界定函數(shù)

這里ξ,η,t為前面定義的伸展變量,r >0為待定常數(shù).顯然有,

為證明α(x,ε)滿足式(3.3),將區(qū)間[a,b]分成三部分

注意到漸近解的構(gòu)造過(guò)程,可得

其中k >0 使得式(3.5)中|O(ε2)|≤kε2.

可如前類(lèi)似證明

由(2.9)式知,

利用式(3.6),有

式中(x,?)=(x,u0+z0+εz1?θrε2),0<θ <1.

其中K >0,使得式(3.7)中|O(ε2)|≤Kε2.

這樣我們證明了當(dāng)r >max{k,K}時(shí),α(x,ε)是問(wèn)題(1.1)-(1.2)的一個(gè)下解.可完全類(lèi)似可證β(x,ε)是問(wèn)題(1.1)-(1.2)的一個(gè)上解.

顯然,在[a,b]上，α(x,ε)≤β(x,ε).又因?yàn)槊總€(gè)當(dāng)ε →0時(shí)為EST,故存在充分小的正數(shù)ε0,使得不等式α(a,ε)≤A ≤β(a,ε),α(b,ε)≤B ≤β(b,ε),對(duì)每個(gè)0<ε ≤ε0成立.根據(jù)引理,問(wèn)題(1.1)-(1.2)在[a,b]上存在一個(gè)解y(x,ε),并且滿足

α(x,ε)≤y(x,ε)≤β(x,ε),a ≤x ≤b.

4 例子

考慮兩點(diǎn)邊值問(wèn)題

其退化問(wèn)題的解為

左右邊界層v0(ξ),w0(η)分別滿足

它們有精確解v0=e?ξ,w0=e?η.作尺度變換x=εt得到內(nèi)部層項(xiàng)滿足的方程

易求得內(nèi)部層展開(kāi)式的前兩項(xiàng)為z0(t)=e?t2,z1(t)=0.

因此,從定理1知問(wèn)題(4.1)-(4.2)的一階漸近解為

進(jìn)一步,從前面漸近解的構(gòu)造過(guò)程我們也容易求出問(wèn)題(4.1)-(4.2)的二階漸近解

圖1出示了當(dāng)ε= 0.3時(shí)數(shù)值解與一階漸近解和二階漸近解的比較.二階漸近解比一階漸近數(shù)值解更好地吻合.當(dāng)ε取更小值時(shí),經(jīng)典的數(shù)值方法將難以得到其數(shù)值解,此時(shí)漸近解將展示出巨大優(yōu)勢(shì).

圖1 當(dāng)ε=0.3時(shí)數(shù)值解和一階、二階漸近解的比比較