數(shù)學(xué)的形式化特征及其在物理中的應(yīng)用研究

劉思千

摘要：物理和數(shù)學(xué)是現(xiàn)代科學(xué)體系中最基礎(chǔ)的兩門學(xué)科，物理是對(duì)客觀存在的事物和事物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行研究，數(shù)學(xué)是研究空間結(jié)構(gòu)、數(shù)量變化的一門科學(xué)，也是進(jìn)行其他學(xué)科研究的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)由于其具有符號(hào)化、公式化和程序化的形式化特征，被廣泛應(yīng)用于物理研究和物理學(xué)習(xí)中。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；形式化特征；物理

一、數(shù)學(xué)的形式化特征

任何事物都具有內(nèi)容和形式兩部分。數(shù)學(xué)形式化特征指的是用特定的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述形式與內(nèi)容的某些特征。形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一，即用特定的數(shù)學(xué)語(yǔ)言包括圖像，符號(hào)和文字，來(lái)表現(xiàn)空間結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系[1]。數(shù)學(xué)的形式化即符號(hào)化，公式化，程序化。符號(hào)化是指將復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念，用簡(jiǎn)短、準(zhǔn)確的符號(hào)來(lái)表示。公式化指的是數(shù)量之間的某種關(guān)系，通過(guò)運(yùn)用符號(hào)形成準(zhǔn)確的關(guān)系式來(lái)表示。程序化是指解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有模式可以遵循。且形式化具有相對(duì)固定樣式的數(shù)學(xué)結(jié)論、法則、概念，它具有以下特點(diǎn)：

（1）穩(wěn)定性

數(shù)學(xué)結(jié)論、法則、概念等內(nèi)容一旦成為“形式”，就不會(huì)因環(huán)境、條件的變更而發(fā)生變化，具有相當(dāng)?shù)姆€(wěn)定性。

（2）概括性

數(shù)學(xué)形式是無(wú)數(shù)具體事物經(jīng)抽象概括的結(jié)果，應(yīng)該是研究數(shù)量關(guān)系或圖形本質(zhì)屬性的反應(yīng)。例如用公式概括總結(jié)數(shù)量之間的關(guān)系。

（3）簡(jiǎn)潔性

往往東西越簡(jiǎn)單就越是深刻，越簡(jiǎn)潔的東西就越具有生命力，越具使用價(jià)值。數(shù)學(xué)形式就以其表述方式的簡(jiǎn)潔而稱道，公式因其簡(jiǎn)短，更容易讓學(xué)習(xí)者掌握。

（4）廣泛性

數(shù)學(xué)形式的概括性決定了它具有廣泛性，可真正達(dá)到華羅庚教授所說(shuō)的“數(shù)學(xué)是一個(gè)原則，無(wú)數(shù)內(nèi)容，只需一個(gè)方法，卻到處有用。

（5）可操作性

按照相關(guān)數(shù)學(xué)形式進(jìn)行的程式化操作可稱為行為模式。人的行為模式有兩種，一種是需要智力投入、思維參與的行為模式；一種是較少需要智力投入、思維參與的行為模式。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的所有活動(dòng)中，創(chuàng)造性思維的含量只占少部分，運(yùn)用更多的是程式化的操作。這種操作講究的是熟練、準(zhǔn)確、快速、高效。學(xué)生大多數(shù)解題是按既定法則進(jìn)行模式化操作。即使是難度較大的需要一定的創(chuàng)造思維，但創(chuàng)造的“根”仍然扎在堅(jiān)實(shí)的基本數(shù)學(xué)形式的土壤中?；緮?shù)學(xué)形式是創(chuàng)造的源泉與原型。當(dāng)然，即便進(jìn)行的是簡(jiǎn)單化、機(jī)械化、程序化的操作，也要在其中努力加大智力與思維的含量。

二、數(shù)學(xué)的形式化特征在物理研究中的應(yīng)用

1.模擬實(shí)驗(yàn)研究

許多物理問(wèn)題由于條件的限制或問(wèn)題的復(fù)雜，無(wú)法直接對(duì)其進(jìn)行研究。而在這種情況下，模擬替代是一種重要的研究方法[2]。法拉第在進(jìn)行電磁場(chǎng)規(guī)律研究時(shí)由于受到數(shù)學(xué)知識(shí)的限制，無(wú)法將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，找到相應(yīng)的數(shù)學(xué)建模，對(duì)物理對(duì)象進(jìn)行用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將自己的成就表述出來(lái)。雖然提出了“場(chǎng)”的概念，并且內(nèi)容系統(tǒng)的分析和綜合，對(duì)對(duì)象進(jìn)行詮釋和預(yù)測(cè)，是解決物理問(wèn)題的最有效途徑。這既要求對(duì)物理基本概念和規(guī)律有正確的理解，又要求對(duì)數(shù)學(xué)的形式化特征熟練掌握。綜上，物理學(xué)研究中，數(shù)學(xué)方法是一種有效的進(jìn)行推理和邏輯證明理論和技巧。

例如靜電場(chǎng)的模擬設(shè)計(jì)。

有些電學(xué)儀器，需要特定的電場(chǎng)，使帶電粒子在其中做特定的運(yùn)動(dòng)。而在實(shí)際測(cè)定的時(shí)候由于很難直接測(cè)定靜電場(chǎng)中各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)，實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)通常采用模擬的方法進(jìn)行研究。

無(wú)電荷分布的空間（真空）中的靜電場(chǎng)的電勢(shì)ψ滿足方程

①

不含電源的各向同性均勻?qū)щ娊橘|(zhì)中的穩(wěn)恒電流場(chǎng)的電流密度j滿足

②

電流密度j與電場(chǎng)強(qiáng)度E的關(guān)系為

③

電場(chǎng)強(qiáng)度E與電勢(shì)ψ的關(guān)系為

④

由②③④三式同樣得到①式。

可見(jiàn)，運(yùn)用數(shù)學(xué)的辦法解決物理問(wèn)題十分方便。

2.探索未知領(lǐng)域

物理探索中，如果發(fā)現(xiàn)新的物理現(xiàn)象與已知的物理現(xiàn)象，在某種對(duì)應(yīng)的屬性上具有相同的數(shù)學(xué)特征，則它們所遵循的物理規(guī)律可能具有相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

例如靜電力與萬(wàn)有引力。

牛頓曾用數(shù)學(xué)方法證明：如果平方反比定律有效，質(zhì)量均勻分布的均勻球殼對(duì)其內(nèi)部的物體沒(méi)有引力作用，而且任何不滿足平方反比關(guān)系的力都不會(huì)有此結(jié)果。普利斯特立即大膽的作出假設(shè)：電荷間的相互作用與萬(wàn)有引力一樣，也遵循平方反比規(guī)律。經(jīng)過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)研究和證明，在1785年確定了庫(kù)侖定律：

而地面上物體所受的萬(wàn)有引力大小為

三、數(shù)學(xué)的形式化特征在物理學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

1.引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度理解物理知識(shí)

顯然，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度理解物理知識(shí)對(duì)強(qiáng)化其數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)有著顯著促進(jìn)作用。物理源于生活，物理學(xué)的大多數(shù)定律都是建立在對(duì)客觀事物或普遍現(xiàn)象的觀察基礎(chǔ)之上，進(jìn)而通過(guò)借助相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)而最終得出的。也就是說(shuō)運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法對(duì)其進(jìn)行計(jì)算、分析、研究，然后以數(shù)學(xué)的語(yǔ)言將其表達(dá)出來(lái)，形成物理公式。可以說(shuō)，數(shù)學(xué)在這一方面展露無(wú)遺。

總之，實(shí)際當(dāng)中應(yīng)當(dāng)善于引導(dǎo)學(xué)生在物理概念、原理和規(guī)律的學(xué)習(xí)中滲透數(shù)學(xué)知識(shí)，結(jié)合數(shù)學(xué)理解物理。這樣才有助于學(xué)生更好的理解所學(xué)物理知識(shí)，更有利于強(qiáng)化其數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

2.解決物理問(wèn)題的好幫手

物理解題中涉及到的數(shù)學(xué)形式化特征的地方有很多，最常見(jiàn)的如函數(shù)換元、數(shù)列、排列組合、三角函數(shù)等。例如函數(shù)換元：在解答一些物理計(jì)算題時(shí)，復(fù)雜運(yùn)算的涉及是常見(jiàn)現(xiàn)象。函數(shù)換元的鮮明優(yōu)勢(shì)在于其能使運(yùn)算大大簡(jiǎn)化，而且實(shí)際上出題人在很多時(shí)候也考慮到了函數(shù)換元的應(yīng)用，并設(shè)置了巧妙的應(yīng)用角度和切入點(diǎn)。因此學(xué)生必須要切實(shí)掌握 此方法并在解題過(guò)程中注意觀察，靈活運(yùn)用[3]。

例如：分別位于A、B兩地的王同學(xué)和章同學(xué)相向而行，兩人均可看作勻速直線運(yùn)動(dòng)，王同學(xué)比章同學(xué)晚出發(fā)5分鐘，但在兩人相遇時(shí)卻比張同學(xué)多走了600米。從相遇的一刻算起，章同學(xué)10分鐘后到達(dá)B地，王同學(xué)3分鐘后到達(dá)A地。試求AB兩地之間的距離。

分析題設(shè)后我們可設(shè)當(dāng)兩人相遇時(shí)的位置距離A地為x，則王同學(xué)的速度為x/3；張同學(xué)相遇后還需走x+600，其速度為（x+600）/10，于是可列方程：x/[（x+600）/10]=（x+600）/（x/3）+5，將x/（x+600）用字母Y代替，計(jì)算量一下子減少很多，這就為快速準(zhǔn)確的計(jì)算出最終結(jié)果提供了保障。

四、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)的形式化特征為符號(hào)化，格式化，程序化，將其運(yùn)用于物理研究和學(xué)習(xí)中可以簡(jiǎn)化步驟，方便運(yùn)算。并且在此研究中我們可以得出，由于數(shù)學(xué)的形式化特征，在兩個(gè)物理必象中，如果有相同的數(shù)學(xué)結(jié)果，則可能得出相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；如果有相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，則必定有相同的數(shù)學(xué)結(jié)果。

參考文獻(xiàn)

[1]王懷琴.略論數(shù)學(xué)方法在高中物理解題中的應(yīng)用[J].考試周刊，2010（41）.

[2]鐘贛萍.數(shù)學(xué)知識(shí)在高中物理解題中運(yùn)用的幾點(diǎn)思考[J].理科考試研究，2014（7）.

[ 3] 林輝慶.高中物理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與方法[M].杭州：浙江教育出版社，2016.

（作者單位：西安高新唐南中學(xué)）