高中數(shù)學(xué)章節(jié)起始課的教學(xué)實(shí)踐與思考

【摘 要】章節(jié)起始課是新課程改革和教材變革的產(chǎn)物。從教學(xué)時(shí)間來(lái)看，它應(yīng)該是一個(gè)新的章節(jié)開展教學(xué)的第一節(jié)課；從教材內(nèi)容來(lái)看，它必須包含章節(jié)起始內(nèi)容；從教學(xué)內(nèi)容來(lái)看，它必須突出章節(jié)的核心知識(shí)或核心研究方法；從教學(xué)結(jié)果來(lái)看，它必須能幫助學(xué)生自主構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)章節(jié)起始課既要體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)，同時(shí)也要充分體現(xiàn)教育的社會(huì)目標(biāo)并符合教育規(guī)律。

【關(guān)鍵詞】章節(jié)起始課；數(shù)列；知識(shí)結(jié)構(gòu)；認(rèn)知結(jié)構(gòu)；教育規(guī)律

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2019）03-0029-04

【作者簡(jiǎn)介】羅建宇，江蘇省張家港市沙洲中學(xué)（江蘇張家港，215600）副校長(zhǎng)，高級(jí)教師，蘇州市優(yōu)秀教育工作者，蘇州市學(xué)科帶頭人。

隨著新課程改革的不斷推進(jìn)，涌現(xiàn)出了越來(lái)越多的新課型，章節(jié)起始課就是其中之一。筆者認(rèn)為，章節(jié)起始課并不能簡(jiǎn)單認(rèn)為是每一章的第一節(jié)課，章節(jié)起始課要能發(fā)揮引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)的作用，應(yīng)將章節(jié)起始內(nèi)容納入常規(guī)教學(xué)之中?？疾飚?dāng)前的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，章節(jié)起始內(nèi)容并未作為常規(guī)課內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)。一方面，一部分教師認(rèn)為高中內(nèi)容多，課時(shí)緊，沒有必要教這部分內(nèi)容，而且教和不教效果可能差別不大；另一方面，有些教師雖然也關(guān)注到了章節(jié)起始內(nèi)容，但卻不知如何將其作為教學(xué)內(nèi)容開展教學(xué)。筆者圍繞“章節(jié)起始內(nèi)容”展開了系列研究，形成了自己的一些認(rèn)識(shí)和思考，現(xiàn)以普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修5“數(shù)列”的章節(jié)起始內(nèi)容的分析與教學(xué)為例，談?wù)劰P者的認(rèn)識(shí)和思考，敬請(qǐng)同行指正。

一、“數(shù)列”章節(jié)起始內(nèi)容的梳理和教學(xué)設(shè)計(jì)的思考

在進(jìn)行“數(shù)列”一章的章節(jié)起始內(nèi)容的教學(xué)之前，筆者對(duì)各個(gè)版本教材的章節(jié)起始內(nèi)容作了梳理工作，具體如下。

1. 關(guān)于章頭圖的梳理。章頭圖一般都與本章的主題相關(guān)，同時(shí)體現(xiàn)數(shù)學(xué)美。各版本教材數(shù)列章節(jié)的章頭圖梳理如下：人教A版教材章頭圖有樹木的分杈、花瓣的數(shù)量、種子的排列；蘇教版教材章頭圖有鸚鵡螺殼花紋的排列；人教B版教材章頭圖有兔子繁衍問(wèn)題（斐波拉契數(shù)列）和帶棋盤的國(guó)際象棋（傳說(shuō)的故事與等比數(shù)列有關(guān)）。筆者在課堂小結(jié)時(shí)展示了這些圖片（見本文教學(xué)設(shè)計(jì)“課堂小結(jié)”部分）說(shuō)明其與后續(xù)學(xué)習(xí)的關(guān)系，并用幾何畫板展示了斐波拉契螺線，讓學(xué)生感受其蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)美。

2. 關(guān)于章頭語(yǔ)和名人名言的梳理。章頭語(yǔ)和名人名言一般都能揭示數(shù)學(xué)概念的由來(lái)。人教A版教材章頭語(yǔ)說(shuō)道：“對(duì)數(shù)列的研究源于現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活的需要。從數(shù)學(xué)概念的發(fā)展看，數(shù)列是定義在正整數(shù)集或其有限子集的函數(shù)，是刻畫離散過(guò)程的重要數(shù)學(xué)模型。”蘇教版教材章頭語(yǔ)引用了德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特的話：“數(shù)學(xué)科學(xué)是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體，它的生命力正在于各部分之間的聯(lián)系?！?函數(shù)概念發(fā)展的早期與數(shù)列有極其重要的聯(lián)系，數(shù)列是定義域特殊的函數(shù)，它也具有單調(diào)性，這些都有利于對(duì)函數(shù)的理解。

3. 關(guān)于章頭詩(shī)詞的梳理。湘教版教材最大的特點(diǎn)是每一章有一首章頭詩(shī)。經(jīng)與教材作者確認(rèn)，“數(shù)列”一章的章頭詩(shī)由中科院張景中院士所作，內(nèi)容是：玉兔子孫世代傳，棋盤麥塔上摩天；壇壇罐罐求堆垛，步步為營(yíng)算連環(huán)；數(shù)列尋根屬函數(shù)，自成一格意盎然；等差等比初學(xué)步，登堂入室看來(lái)年。這首詩(shī)不僅涵蓋了數(shù)列一章的主要知識(shí)，而且與筆者設(shè)計(jì)的本節(jié)課內(nèi)容非常吻合，因此借用張?jiān)菏克鞯恼骂^詩(shī)作為本節(jié)章節(jié)起始課教學(xué)的壓軸內(nèi)容。

二、“數(shù)列”章節(jié)起始課的教學(xué)設(shè)計(jì)

情境1：古詩(shī)欣賞《山村詠懷》（別名《一去二三里》）： 一去二三里，煙村四五家，亭臺(tái)六七座，八九十枝花。詩(shī)中所涉及的數(shù)字依次是？

情境2：傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子來(lái)表示數(shù)。

圖1三角形點(diǎn)陣表示三角形數(shù)，它們表示的數(shù)字依次為？

情境3：《莊子·天下篇》引用過(guò)一句話：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭?！币馑际牵阂怀唛L(zhǎng)的木棒，每日取其一半，永遠(yuǎn)也取不完。如果將“一尺之棰”視為1份，那么每日剩下的部分依次為？

情境4：將π的不足近似值按小數(shù)位數(shù)從少到多的次序排成一列數(shù)，依次是？

【設(shè)計(jì)意圖】章節(jié)起始課是每章的第一節(jié)課，應(yīng)利用大量豐富的情境引導(dǎo)學(xué)生感知本章的研究主題，因此筆者借助四個(gè)情境，引導(dǎo)學(xué)生從中抽象出數(shù)列的概念，這些數(shù)列分別與等差數(shù)列和等比數(shù)列，有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列，遞增數(shù)列和遞減數(shù)列，能寫出通項(xiàng)的數(shù)列和不能寫出通項(xiàng)的數(shù)列等有關(guān)，為本節(jié)課后面學(xué)習(xí)的概念建構(gòu)作鋪墊。

學(xué)生活動(dòng)1：按照定義，你能否舉出一些數(shù)列的例子？

學(xué)生活動(dòng)2：（大家來(lái)找茬）這張?zhí)钔康拇痤}卡上，從數(shù)列的角度看，為什么錯(cuò)了？

【設(shè)計(jì)意圖】活動(dòng)1意圖讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)列的概念，借豐富具體的數(shù)列例子（可引導(dǎo)學(xué)生寫出一個(gè)常數(shù)列），與問(wèn)題情境中抽象出來(lái)的數(shù)列一起，作為即將學(xué)習(xí)的特殊數(shù)列?；顒?dòng)2讓學(xué)生用數(shù)列的知識(shí)解決學(xué)習(xí)生活中碰到的實(shí)際問(wèn)題。以上情境和活動(dòng)旨在讓學(xué)生體會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察、用數(shù)學(xué)的思維分析和用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)，進(jìn)一步讓學(xué)生明確本章的研究主題。

例1 已知數(shù)列的第n項(xiàng)an記為2n-1，寫出這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)，第2項(xiàng)和第3項(xiàng)。

練習(xí)：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)，并作出它的圖象。（1）an=■；（2）an=cosnπ。

【設(shè)計(jì)意圖】章節(jié)起始課還有一個(gè)特點(diǎn)：揭示本章的研究方法。通過(guò)例1給出數(shù)列通項(xiàng)公式的概念，并引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)列的通項(xiàng)公式可看成數(shù)列的函數(shù)解析式，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)理解數(shù)列。練習(xí)既是對(duì)例1的鞏固，加深從函數(shù)的角度理解數(shù)列，又與例1（遞增數(shù)列）互補(bǔ)，添加了遞減數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列案例，并將遞增數(shù)列和遞減數(shù)列用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言進(jìn)行表示。進(jìn)一步揭示本章的研究方法：用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)研究數(shù)列問(wèn)題。

例2 寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)。（1）-■，■，-■，■；（2）0，2，0，2。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生會(huì)尋求滿足條件的通項(xiàng)公式。其中，第（1）問(wèn)中用（-1）n來(lái)控制符號(hào)，且1與-1相差為2，為第（2）問(wèn)寫出通項(xiàng)公式an=1+（-1）n作鋪墊，結(jié)合例1的練習(xí)（2），說(shuō)明數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一。

課堂小結(jié)：

1.數(shù)列的有關(guān)概念。

（1）從函數(shù)的角度看數(shù)列，理解數(shù)列的概念和性質(zhì)（單調(diào)性）；

（2）辨析：若an=0，n=1，32，n=2或n≥4則{an}是否為數(shù)列。

2.我們?yōu)槭裁磳W(xué)數(shù)列？

從數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部看，數(shù)列是特殊的函數(shù)，是刻畫離散過(guò)程的重要數(shù)學(xué)模型，函數(shù)概念發(fā)展的早期與數(shù)列有極其重要的聯(lián)系。因此，蘇教版教材章頭語(yǔ)引用了數(shù)學(xué)家希爾伯特的話。人教A版教材章頭語(yǔ)也指出：數(shù)列的知識(shí)也是我們將來(lái)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

人教A版教材章頭語(yǔ)還說(shuō)道：對(duì)數(shù)列的研究源于現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活的需要。事實(shí)上，生活中樹木的分杈、花瓣的數(shù)量、種子的排列等都與斐波拉契數(shù)列有關(guān)。以斐波拉契數(shù)列的每個(gè)值為半徑依次作四分之一圓弧并銜接起來(lái)即為斐波拉契螺線（蘇教版教材中鸚鵡螺殼花紋）。它的前后項(xiàng)之間的關(guān)系（遞推關(guān)系）為an+2=an+an+1，a1=a2=1，并能推出其通項(xiàng)公式為an=■[（■）n-（■）n]，其中■，■都與黃金比有關(guān)。

3.高中數(shù)學(xué)中數(shù)列學(xué)什么？

“數(shù)列”一章中，重點(diǎn)學(xué)習(xí)等差數(shù)列和等比數(shù)列有關(guān)知識(shí)，并對(duì)一般數(shù)列可在已知數(shù)列的遞推公式或者前n項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上求其通項(xiàng)公式，以及在已知特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式的基礎(chǔ)上求其前n項(xiàng)和Sn。“數(shù)列”一章的學(xué)習(xí)內(nèi)容，正好匯成中科院張景中院士在湘教版教材上的章頭詩(shī)：玉兔子孫世代傳，棋盤麥塔上摩天（斐波拉契數(shù)列、等比數(shù)列等模型）；壇壇罐罐求堆垛，步步為營(yíng)算連環(huán)（數(shù)列求和及遞推）；數(shù)列尋根屬函數(shù)，自成一格意盎然（數(shù)列概念的函數(shù)本質(zhì)及特性）；等差等比初學(xué)步，登堂入室看來(lái)年（重要的數(shù)列模型，等差等比數(shù)列是高中學(xué)習(xí)數(shù)列的重點(diǎn)）。

【設(shè)計(jì)意圖】章節(jié)起始課應(yīng)為研究?jī)?nèi)容與研究方法的有機(jī)融合。在課堂小結(jié)階段，第1點(diǎn)為知識(shí)的小結(jié)。第2，3點(diǎn)的設(shè)計(jì)基于章節(jié)起始內(nèi)容滲透數(shù)學(xué)文化，彰顯詩(shī)意課堂，并通過(guò)對(duì)知識(shí)和方法的介紹引領(lǐng)整章的學(xué)習(xí)。

三、章節(jié)起始課的系列思考

1.章節(jié)起始課的內(nèi)涵剖析。

分析相關(guān)文獻(xiàn)不難發(fā)現(xiàn)，有的研究者僅僅將章節(jié)起始課定位于每一章的第一節(jié)課，開門見山地講解教材每一章第一節(jié)的內(nèi)容，采用的仍然是傳統(tǒng)的教學(xué)方法，并未發(fā)揮章節(jié)起始課的獨(dú)特價(jià)值與功能，并沒有體現(xiàn)章節(jié)起始課“謀好篇、定好調(diào)、開好局”的重要意義。筆者認(rèn)為，章節(jié)起始課的內(nèi)涵至少應(yīng)該包括以下幾個(gè)方面：第一，從教學(xué)時(shí)間來(lái)看，它應(yīng)該是一個(gè)新的章節(jié)開展教學(xué)的第一節(jié)課；第二，從教材內(nèi)容來(lái)看，它必須包含章節(jié)起始內(nèi)容；第三，從教學(xué)內(nèi)容來(lái)看，它必須突出章節(jié)的核心知識(shí)或核心研究方法；第四，從教學(xué)結(jié)果來(lái)看，它必須能幫助學(xué)生自主構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.章節(jié)起始課的設(shè)計(jì)原則。

一節(jié)有效的高中數(shù)學(xué)章節(jié)起始課的教學(xué)價(jià)值必須依托于教學(xué)設(shè)計(jì)才能得以實(shí)現(xiàn)，因此，教學(xué)設(shè)計(jì)是章節(jié)起始課教學(xué)價(jià)值得以彰顯的重要行為。筆者認(rèn)為，設(shè)計(jì)章節(jié)起始課的基本要求可以提煉為一個(gè)宗旨、兩個(gè)基點(diǎn)。

一個(gè)宗旨，即構(gòu)建良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)。章節(jié)起始課的有效開展對(duì)學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的形成、發(fā)展和完善具有重要意義。同時(shí)，通過(guò)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以不斷對(duì)該知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行擴(kuò)展、修正、完善，最終形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。因此，在進(jìn)行章節(jié)起始課的教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)考慮以下問(wèn)題：如何整體性地處理本章數(shù)學(xué)知識(shí)，以增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化？在章節(jié)起始課的教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該以何種方式呈現(xiàn)這樣的知識(shí)結(jié)構(gòu)？呈現(xiàn)哪些部分？進(jìn)行章節(jié)起始課的教學(xué)過(guò)程中，如何才能幫助學(xué)生在頭腦中能形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)？

兩個(gè)基點(diǎn)，即數(shù)學(xué)教育的數(shù)學(xué)方面與教育方面。在數(shù)學(xué)方面，必須以數(shù)學(xué)學(xué)科的科學(xué)性作為基點(diǎn)。數(shù)學(xué)教育家項(xiàng)武義先生曾指出，“我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)正在去數(shù)學(xué)化”。數(shù)學(xué)教育，自然是以“數(shù)學(xué)”內(nèi)容為核心。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的優(yōu)劣，自然應(yīng)該以學(xué)生是否能學(xué)好“數(shù)學(xué)”為依歸。因此，在進(jìn)行章節(jié)起始課的教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)能體現(xiàn)本章的數(shù)學(xué)知識(shí)，應(yīng)能滲透一些本章所涉及的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，應(yīng)能呈現(xiàn)一些本章的數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，應(yīng)能突出一些本章數(shù)學(xué)知識(shí)的本然或來(lái)龍去脈。在教育方面，但凡進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，必須以學(xué)生的可接受性和學(xué)生的已有認(rèn)知作為基點(diǎn)。在進(jìn)行章節(jié)起始課的教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，必須考慮學(xué)生的已有認(rèn)知，以學(xué)生的已有認(rèn)知來(lái)建立新舊知識(shí)之間的本質(zhì)聯(lián)系，如此才能使得探求新知成為可能。

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