一個(gè)模糊時(shí)間序列預(yù)測模型的集合

馬樹才, 馬 芳, 王鴻緒

(1. 遼寧大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院, 沈陽 110036; 2. 海南熱帶海洋學(xué)院 海商學(xué)院, 海南 三亞 572000)

0 引 言

跑道侵入(runway incursion)是指發(fā)生在機(jī)場的對(duì)飛機(jī)跑道安全產(chǎn)生不利影響的事件。對(duì)跑道侵入的定義目前是由國際民用航空組織(ICAO)于2006年4月27日規(guī)定的:在機(jī)場中發(fā)生的任何涉及錯(cuò)誤的出現(xiàn)在用于飛機(jī)起飛和降落的保護(hù)區(qū)表面的飛機(jī),車輛以及行人的事件[1]。崔軒瑞[1]應(yīng)用灰色模型GM(1,1)對(duì)于美國2010—2016年的跑道侵入進(jìn)行預(yù)測,每個(gè)預(yù)測值的相對(duì)誤差都較大;再應(yīng)用灰色馬爾科夫模型對(duì)2017年的跑道侵入進(jìn)行預(yù)測,得到相對(duì)誤差為1.26%,又對(duì)未來的2018年的跑道侵入進(jìn)行預(yù)測。

1 一個(gè)模糊時(shí)間序列預(yù)測模型的集合(SPMFTS)的基本理論

定義1 設(shè)時(shí)間序列論域?yàn)镾={S1,S2,…,Sn}。歷史數(shù)據(jù)的比的計(jì)算公式為

Qj-1=Sj/Sj-1

(1)

得到歷史數(shù)據(jù)的比的論域?yàn)镼={Q1,Q2, …,Qn-1}。

定理1 設(shè)時(shí)間序列論域?yàn)镾={S1,S2,…,Sn},歷史數(shù)據(jù)的比的論域?yàn)镼={Q1,Q2,…,Qn-1},則

Sj=Qj-1Sj-1.

(2)

定義2 設(shè)時(shí)間序列論域?yàn)镾={S1,S2,…,Sn},歷史數(shù)據(jù)的比的論域?yàn)镼={Q1,Q2, …,Qn-1}。則根據(jù)定理1可以定義

(3)

其中自變量x∈(0, 1],f∈(0, 1],i∈(0, 1]。如果取x=i=0.5,f=1,則在公式(3)中的所有分母都是模糊數(shù)[13],它們是文獻(xiàn)[3]中的預(yù)測模型的分母的推廣,因此公式(3)就是文獻(xiàn)[3]中的預(yù)測模型的直接推廣。Cj(x,f,i)叫做SPMFTS的j年的的預(yù)測函數(shù),或者預(yù)測公式,或者預(yù)測模型。Cj(x,f,i)也叫做時(shí)間序列S的j年的預(yù)測函數(shù),或者預(yù)測公式,或者預(yù)測模型。

定義3 設(shè)時(shí)間序列論域?yàn)镾={S1,S2,…,Sn},歷史數(shù)據(jù)的比的論域?yàn)镼={Q1,Q2,…,Qn-1},能夠建立SPMFTS的j年的預(yù)測模型Cj(x,f,i)。當(dāng)遍取j∈{1,2,…,n},并且遍取自變量x∈(0, 1],f∈(0, 1],i∈(0, 1]時(shí),能夠建立SPMFTS的無窮多個(gè)預(yù)測模型Cj(x,f,i)。時(shí)間序列S的所有預(yù)測模型SPMFTS的全體叫做一個(gè)模糊時(shí)間序列預(yù)測模型的集合(A set of the prediction models for fuzzy time series, SPMFTS),其中任意一個(gè)元素Cj(x,f,i)叫做時(shí)間序列S的j年的預(yù)測模型,也是SPMFTS的j年的預(yù)測模型。

定理2(SPMFTS的預(yù)測函數(shù)Cj(x,f,i)的連續(xù)性定理) 設(shè)時(shí)間序列論域?yàn)镾={S1,S2,…,Sn}，歷史數(shù)據(jù)的比的論域?yàn)镼={Q1,Q2,…,Qn-1}。則SPMFTS的預(yù)測函數(shù)Cj(x,f,i)是半開半閉區(qū)間(0,1]上的連續(xù)函數(shù)。

證明 結(jié)果顯然。

定理3(SPMFTS的預(yù)測函數(shù)Cj(x,f,i)的收斂定理) 設(shè)時(shí)間序列論域?yàn)镾={S1,S2,…,Sn},歷史數(shù)據(jù)的比的論域?yàn)镼={Q1,Q2,…,Qn-1}。對(duì)于任意取定的x∈(0,1],f∈(0,1],i∈(0,1]。固定f,當(dāng)x→0,i→0時(shí),則SPMFTS的預(yù)測函數(shù)Cj(x,f,i)是收斂的,并且j年的SPMFTS的預(yù)測函數(shù)Cj(x,f,i)收斂于j年的時(shí)間序列S中的元素Sj(j=1,2,…,n)。

證明 對(duì)于任意取定的x∈(0,1],f∈(0,1],i∈(0,1]。固定f,當(dāng)x→0,i→0時(shí),

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)和結(jié)果分析

表1 Cj(0.000 5,1,0.000 5)和GM(1,1)模型仿真預(yù)測美國2010—2016年的跑道侵入

……

注意:隨著跑道侵入的比Q2016逐漸增大,殘差逐漸減少,相對(duì)誤差也隨著不斷減少,但都是正數(shù)。

表2 FMC和灰色馬爾科夫模型預(yù)測美國2017—2018年的跑道侵入Tab.2 FMC and the gray markov model predict runway incursions in the United States in 2017-2018

實(shí)驗(yàn)2 在崔軒瑞[1]的論文中,仿真預(yù)測美國2010—2018的跑道侵入得到的數(shù)據(jù)如表3所示,如果把原文的“殘差”改成“絕對(duì)殘差”,“相對(duì)誤差”改成“絕對(duì)誤差”,并求出“平均絕對(duì)誤差(AAE)”,以便于比較。把SPMFTS中的建模FMC的結(jié)果也列于表3中,更能看出SPMFTS中的建模FMC的預(yù)測精確度比灰色馬爾科夫模型大幅度提高。

表3 FMC與灰色馬爾科夫模型預(yù)測美國2010—2018年的跑道侵入Tab.3 FMC and the Gray markov model predict runway invasions in the United States from 2010 to 2018

3 結(jié) 語

模糊時(shí)間序列預(yù)測模型的集合(SPMFTS)是時(shí)間序列的新預(yù)測模型的集合,數(shù)值實(shí)驗(yàn)分析顯示,該預(yù)測模型結(jié)構(gòu)簡潔,使用方便;SPMFTS中建模FMC的預(yù)測精確度比灰色馬爾科夫模型大幅度提高,顯示出它更有優(yōu)勢。