推理題中的冪運(yùn)算

◎莊 嚴(yán)

學(xué)習(xí)了“冪的運(yùn)算”之后，同學(xué)們對(duì)同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪的除法的運(yùn)算法則已經(jīng)掌握，并能很好地運(yùn)用。但當(dāng)遇到和算理相關(guān)的計(jì)算推理題時(shí)，有些同學(xué)還是會(huì)不知所措。針對(duì)“冪的運(yùn)算”中的代數(shù)推理題，我們結(jié)合例題進(jìn)行整理，希望可以幫助同學(xué)們理解。

一、演繹推理題（從乘方的定義入手，進(jìn)行運(yùn)算推理）

【分析】（1）觀察算式am·an·ap（m、n、p是正整數(shù)），我們不難看出，此題屬于同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，和算式am·an的不同之處在于多乘了因式ap，但并不影響法則的運(yùn)用，計(jì)算可以依據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行。（2）此題要求用兩種方法計(jì)算，那么除了運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算外，我們還可以回到乘方的定義進(jìn)行計(jì)算。乘方是特殊的乘法運(yùn)算，所謂特殊，是指每一個(gè)因式都相同。如果我們將am·an·ap還原成乘法運(yùn)算，再根據(jù)乘方的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)換也是可以的。（3）此題還可以嘗試用符號(hào)表示若干個(gè)同底數(shù)冪相乘的法則。

解：方法 1 am·an·ap=am+n·ap=am+n+p。

二、合情推理題

例2 在“8.2冪的乘方與積的乘方”中，我們探索得到了積的乘方的法則：（ab）n=anbn（n是正整數(shù)）。請(qǐng)類(lèi)比該法則的推導(dǎo)過(guò)程，解決下列問(wèn)題：

（2）嘗試用文字表述第（1）小題中得到的結(jié)論。

【分析】（1）回顧探索積的乘方法則的過(guò)程，利用乘方的定義和乘法的交換律、結(jié)合律得出（ab）n=anb（nn是正整數(shù)）的結(jié)論。根據(jù)已有的事實(shí)，我們進(jìn)行觀察、比較、聯(lián)想、歸納、類(lèi)n比，最終提出（ ）=的猜想。根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，我們嘗試將改成a·，即將除法化歸成乘法，然后用積的乘方法則、乘方的定義和乘法結(jié)合律解決問(wèn)題。（2）有了積的乘方法則的文字語(yǔ)言表述的經(jīng)驗(yàn)，類(lèi)比它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，嘗試用文字語(yǔ)言表述商的乘方的法則。

（2）文字語(yǔ)言表述：商的乘方等于把被除數(shù)和除數(shù)分別乘方，再把所得的冪相除。