古人如何開平方

◎吳 琨

在金庸的武俠小說中，常常出現(xiàn)與中國古代數(shù)學有關(guān)的內(nèi)容，比如在《射雕英雄傳》之中就有這么一段情節(jié)：

黃蓉坐了片刻，精神稍復，見地下那些竹片都是長約四寸，闊約二分，知是計數(shù)用的算子。再看那些算子排成商、實、法、借算四行，暗點算子數(shù)目，知她正在計算五萬五千二百二十五的平方根。這時“商”位上已記算到二百三十，但見那老婦撥弄算子，正待算那第三位數(shù)字。黃蓉脫口道：“五！二百三十五！”

那老婦吃了一驚，抬起頭來，一雙眸子精光閃閃，向黃蓉怒目而視，隨即又低頭撥弄算子。這一抬頭，郭、黃二人見她容色清麗，不過四十左右年紀，想是思慮過度，是以鬢邊早見華發(fā)。那女子搬弄了一會，果然算出是“五”，抬頭又向黃蓉望了一眼，臉上驚訝的神色迅即消去，又見怒容，似乎是說：“原來是個小姑娘。你不過湊巧猜中，何足為奇？別在這里打擾我的正事?！表樖謱ⅰ岸偃濉蔽遄钟浽诩埳?，又計下一道算題。

這段故事當中，郭靖與黃蓉被鐵掌幫追殺，郭、黃二人無意中闖到瑛姑的小屋中，正巧撞見瑛姑正在算這樣一道開平方的問題。

那么小說當中，宋朝人用來計算平方根的方法是什么呢？我們今天就來介紹一下。

小說中所提到的這種計算平方根的方法叫做增乘開平方法，是由我國古代數(shù)學家賈憲在十一世紀中葉所提出來的，其方法與意大利數(shù)學家魯裴尼和英國數(shù)學家霍納所提出來的高次方程數(shù)值解法相同，但比他們早了750年。

那么增乘開平方法是如何來計算一個數(shù)的平方根的呢？我們就以小說中瑛姑所計算的求55225的平方根這個問題為例（為了便于理解，我們就直接用阿拉伯數(shù)字來表示）：

首先我們把55225放入實這一行；

商實法借萬 5千 5百 2十 2個 5

（1）由于55225是一個五位數(shù)，因此我們估算商應當是一個三位數(shù)，并且由于萬位上的數(shù)是5，所以估計商的百位數(shù)是2（200的平方是40000，而300的平方是90000，所以商的百位數(shù)一定是2）；

（2）令借為1，法的值則為借乘商（1×2）；

商實法借萬 5 2 1千 5百2 2十 2個 5

（3）更新實，使之為原實減去商乘法（5-2×2=1），則新實為1；

商實法借萬 1 2 1千 5百2 2十 2個 5

（4）更新法為商乘借加到舊法上（2+2×1=4）；

商實法借萬 1 4 1千 5百2 2十 2個 5

（5）將法后移一位，借后移兩位。

商實法借萬 1千 5 4百2 2 1十 2個 5

然后我們再次重復（1）到（5）的循環(huán)：

（1）估算商的十位為3（3×4000=12000＜15225）；

商實法借萬 1千 5 4百2 2 1十3 2個 5

（2）更新法，為原法加十位商乘借（4000+3×100=4300）；

商實法借萬 1千 5 4百2 2 3 1十3 2個 5

（3）更新實，使之為原實減去商乘法（15225-4300×3=2325），則新實為2325；

萬 千商實法借2 4百2 3 3 1十3 2個 5

（4）更新法為商乘借加到舊法上（43+3×1=46）；

萬 千商實法借2 4百2 3 6 1十3 2個 5

（5）將法后移一位，借后移兩位。

萬 千商實法借2百2 3 4十3 2 6個 5 1

第二輪結(jié)束，第三輪開始，再一次重復這五個步驟：

（1）估算商的個位為5；

萬 千2商實法借百2 3 4十3 2 6個5 5 1

（2）更新法，為原法加個位商乘借（460+5×1=465）；

萬 千商實法借2百2 3 4十3 2 6個5 5 5 1

（3）更新實，使之為原實減去商乘法（2325-465×5=0）。

萬 千商實法借百2 4十3 6個5 0 5 1

到這一步我們驚喜地發(fā)現(xiàn)，實的值為0了，也就是說我們最后解出來了55225的平方根為235。

我們可以再驗證一下，計算235的平方，發(fā)現(xiàn)235的平方果然是55225，也就是說我們的計算結(jié)果是正確的。

增乘開平方法其實一共就五個步驟：估算商，用商乘借加到法上，實減去商乘法，再用商乘借加到法上，法后移一位，借后移兩位。然后只要不斷地循環(huán)上述步驟，直到實為0，此時的商就是我們所求的平方根的值啦。