三維不可壓Boussinesq方程組的正則性準(zhǔn)則*

郭香香，郭聰沖

(1. 暨南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，廣東 廣州 510632； 2. 龍巖學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，福建 龍巖 364012)

考慮三維不可壓Boussinesq方程組：

(1)

其中u(x,t)=(u1(x,t),u2(x,t),u3(x,t))表示速度場(chǎng)，P=P(x,t)是壓強(qiáng)，θ=θ(x,t)是溫度，ν>0是動(dòng)粘度，κ>0是熱擴(kuò)散系數(shù)，e3=(0,0,1)T，本文令ν=κ=1。

注意到當(dāng)θ≡0時(shí)，方程組(1)退化為不可壓Navier-Stokes(簡(jiǎn)記為N-S)方程組。三維不可壓N-S方程組光滑解的整體存在性或光滑解在有限時(shí)間內(nèi)爆破的問(wèn)題是千禧年七大問(wèn)題之一。這個(gè)問(wèn)題的主要困難是理解三維不可壓流體渦旋拉伸的影響(二維不可壓N-S方程組渦旋守恒)。 為了更好的理解三維不可壓流體的渦旋拉伸作用，學(xué)者們提出了各種簡(jiǎn)化模型，其中Boussinesq方程組是常用的模型之一，它不僅與三維不可壓流體有著相似的渦旋拉伸效果，而且在大氣科學(xué)和地球物理應(yīng)用中發(fā)揮著重要的作用。所以該方程組被來(lái)自不同領(lǐng)域的學(xué)者們廣泛研究，并且對(duì)它的研究是有物理背景和意義的。

N-S方程組有一系列的研究，參見(jiàn)文獻(xiàn)[1-4]等。在討論Boussinesq方程組之前，我們先回憶一下三維N-S方程組取得的進(jìn)展。Prodi等給出了當(dāng)0≤t≤T時(shí)，若Leray-Hopf弱解u∈Lq(0,T;Lp(R3))滿足

下面具體討論Boussinesq方程組。對(duì)于二維Boussinesq方程組，ν,κ>0時(shí)的全局時(shí)間正則解已證。ν=0,κ>0或ν>0,κ=0的部分粘性整體正則性由許多學(xué)者們做了一系列的工作[9-11]，Xu[12]證明了具有分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散項(xiàng)的二維Boussinesq方程組解的存在性，唯一性和正則性。然而，對(duì)于三維Boussinesq方程組，ν,κ=0時(shí)奇點(diǎn)的正則性是流體力學(xué)中的一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題[13-15]，因此考慮三維Boussinesq方程組解的正則性是一個(gè)比較有意義的問(wèn)題。期間Fan等[16]和Ishimura等[17]分別提出了以下爆破準(zhǔn)則：

(2)

▽u∈L1(0,T;L∞(R3))

(3)

之后，Qiu等[18]證明了三維不可壓Boussinesq方程組的Serrin準(zhǔn)則。更多關(guān)于Boussinesq方程組相關(guān)的成果請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)[19-20]等。

在闡述本文的主要結(jié)果之前，我們給出以下記號(hào)：

▽=(?1,?2,?3)，▽h=(?1,?2)

和

uh=(u1,u2)，ω=?1u2-?2u1

本文的主要定理如下：

定理1 設(shè)

(u,θ)是方程組(1)在[0,T*)上的局部解，滿足

且

其中p∈(2,∞),i=1,2,3

則(u,θ)可連續(xù)延拓到端點(diǎn)T*。

1 預(yù)備知識(shí)

在本文證明的過(guò)程中，我們將對(duì)速度場(chǎng)分別作水平方向和垂直方向的分解。為此，先給出一些預(yù)備知識(shí)。

定理2 記

和ω=?1u2-?2u1，則

(4)

(5)

定理3 (Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式)設(shè)j,m是任意正整數(shù)，滿足0≤j

使得

(6)

(7)

接著回顧齊次Littlewood-Paley分解的相關(guān)理論。

P>j=I-P≤j，其中I是單位算子；

為方便使用，簡(jiǎn)記：

又由φ支集的性質(zhì)，當(dāng)|j-j′|>1，有PjPj′=0。

進(jìn)一步，我們給出仿積分解引理[8]。

引理1 對(duì)任意的f,g,h∈ζ(Rn)，可得

fjg[j-3,j+3]h

發(fā)情、配種、產(chǎn)犢時(shí)間：荷斯坦牛第一次發(fā)情時(shí)間應(yīng)小于11月齡，實(shí)際上9～10月齡發(fā)情在牛場(chǎng)已經(jīng)很普遍。第一次配種時(shí)間推薦12.5～14月齡，隨著遺傳進(jìn)展，荷斯坦牛13月齡體尺或體高即可達(dá)到配種要求；第一次產(chǎn)犢時(shí)間建議22～24月齡，平均23月齡，如果牛場(chǎng)做得足夠好，22月齡是可以實(shí)現(xiàn)的，24月齡已經(jīng)有點(diǎn)遲。

f

為證明主要定理，我們還需給出(u,θ)的H1估計(jì)。

(8)

證明由標(biāo)準(zhǔn)的能量不等式，有

先估計(jì)I1項(xiàng)。因?yàn)?/p>

對(duì)K1,K2項(xiàng)，使用H?lder不等式和插值不等式。當(dāng)2

(9)

|K1|+|K2|≤

(10)

(11)

然后，I2項(xiàng)的界可簡(jiǎn)單估計(jì)為

|I2|≤C‖▽u‖L2‖▽?duì)取琇2≤

(12)

最后，估計(jì)I3項(xiàng)。由于

其中I31項(xiàng)可類(lèi)似K1,K2項(xiàng)處理。下面計(jì)算I32項(xiàng)。由最值原理和方程組(1)的第二個(gè)方程以及第三個(gè)方程，可得：‖θ‖L∞(0,T;L∞)≤C。對(duì)I32項(xiàng)分部積分，有

|I32|≤C‖θ‖L∞·

(‖▽u‖L2‖Δθ‖L2+‖Δu‖L2‖▽?duì)取琇2)

(13)

綜上得Ii(i=1,2,3)的界，并利用Gronwall不等式，定理得證。

2 主要結(jié)果

為更好的證明本文的主要定理，在此之前，我們先證明兩個(gè)非常重要的定理。

2.1 水平方向項(xiàng)的估計(jì)

定理5 設(shè)ω=?1u2-?2u1，1

2

(14)

或

對(duì)方程(5)作標(biāo)準(zhǔn)的Lr估計(jì)，有

(15)

先估計(jì)D1項(xiàng)。由H?lder不等式和插值不等式，當(dāng)2

(16)

然后估計(jì)D2項(xiàng)。注意到式(4)，我們有

對(duì)于D21項(xiàng)，當(dāng)2

(17)

和當(dāng)4≤p<∞時(shí)，有

(18)

接著，估計(jì)D22項(xiàng)。 當(dāng)2

(19)

和當(dāng)4≤p<∞時(shí)，有

(20)

由式(17) -(20)，可得D2項(xiàng)的界。

2.2 垂直方向項(xiàng)的估計(jì)

由定理4和定理5啟發(fā)可得，我們?nèi)匀恍枰烙?jì)‖|▽h|-δ▽u3‖L2和‖|▽h|-δ▽?duì)取琇2的界。

(21)

證明對(duì)方程組(1)的第一個(gè)方程的垂直方向和第二個(gè)方程分別乘以|▽h|-2δ?ku3和|▽h|-2δ?kθ，并作標(biāo)準(zhǔn)的L2估計(jì)，可得

通過(guò)觀察，可知E1,E3項(xiàng)和E2,E6項(xiàng)以及E4,E5項(xiàng)的結(jié)構(gòu)類(lèi)似。為了書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便，我們主要估計(jì)E2,E3和E4項(xiàng)。

首先，估計(jì)E2項(xiàng)。將速度場(chǎng)u分別沿水平方向和垂直方向分解，可得

▽h|-2δ?ku3dx

和

▽h)u3·|▽h|-2δ?ku3dx

(22)

對(duì)于

▽h|-1ω·▽h)u3·|▽h|-2δ?ku3dx

▽h|-1ω·▽h)u3·|▽h|-2δ?ku3dx=

(23)

(24)

(25)

(26)

當(dāng)2

(27)

和項(xiàng)(25)的估計(jì)

(28)

剩下的項(xiàng)(24)，項(xiàng)(26)的界可類(lèi)似式(27), 式(28)處理。

對(duì)

▽h|-1?3u3·▽h)u3·|▽h|-2δ?ku3dx

作水平方向的Littlewood-Paley分解，同上可得

▽h|-1?3u3·▽h)u3·|▽h|-2δ?ku3dx≤

(29)

由式(22)-(29)，可得E2項(xiàng)的界。

▽h|-1?3u3·▽h)θ·

(30)

C‖▽?duì)亍琇r‖θ‖L∞‖|▽h|-δ?kθ‖L2

(31)

接下來(lái)，估計(jì)E3項(xiàng)。 由于?3?kΔ-1θ=R3(θ)，其中R3是三維Riesz算子，對(duì)E3分部積分，有

|E3|≤C‖|▽h|-δ?kθ‖L2‖|▽h|-δ?ku3‖L2≤

(32)

類(lèi)似地，E1項(xiàng)可同E3項(xiàng)一樣估計(jì)，此處略。

(33)

▽h|▽h|-2δ?ku3dx=-

當(dāng)2

(34)

和

(35)

由式(33)-(35)，可得E4項(xiàng)的界。

(36)

綜上將E1項(xiàng)至E6項(xiàng)的界加起來(lái)，使用Young不等式，該定理得證。

2.3 定理1的證明

證明將定理5的不等式(14)和定理6的不等式(21)相加，利用Gronwall不等式，可得

主要定理得證。