奇階可裂亞循環(huán)p群的各階子群個(gè)數(shù)

蔡?hào)|平

(陜西國際商貿(mào)學(xué)院 信息工程學(xué)院，陜西 西安 712046)

奇階可裂亞循環(huán)p群的各階子群個(gè)數(shù)

蔡?hào)|平

(陜西國際商貿(mào)學(xué)院 信息工程學(xué)院，陜西 西安 712046)

p群計(jì)數(shù)問題是有限p群研究的重要內(nèi)容之一.關(guān)于有限p群的各種類型子群、元素或子集的個(gè)數(shù)是p群計(jì)數(shù)問題的重要方面.利用亞循環(huán)P群的結(jié)構(gòu)性質(zhì)計(jì)算出了奇階可裂亞循環(huán)p群的各階子群的個(gè)數(shù).

亞循環(huán)p群；可裂；P.Hall計(jì)數(shù)原則

0 引言

p群計(jì)數(shù)問題是有限p群研究的重要內(nèi)容之一.關(guān)于有限p群的各種類型子群、元素或子集的個(gè)數(shù)是p群計(jì)數(shù)問題的重要方面.亞循環(huán)p群是一類重要的有限p群.因此，研究亞循環(huán)p群的各階子群個(gè)數(shù)有重要的意義.

著名數(shù)學(xué)家徐明曜在文[1]中得到了如下結(jié)果：

論斷1：有限非交換亞循環(huán)p群(p≠2)只有下述兩種互不同構(gòu)的類型：

(Ⅰ)lt;a,b|apn=1,bpm=1,ab=a1+psgt;,n,m,s為正整數(shù)，且slt;n,m+s≥n.

(Ⅱ)lt;a,b|apn=1,bpm=apt，ab=a1+psgt;,n,m,s,t為正整數(shù)，且s+t≥n,slt;tlt;min(n,m).

下文中為了方便，我們用M(n,m,s)來記可裂的亞循環(huán)p群.

其中，當(dāng)s=0時(shí)，M(n,m,0)=lt;a,b|apn=1,bpm=1,[a,b]=1gt;；

當(dāng)s≠0時(shí)，M(n,m,s)=lt;a,b|apn=1,bpm=1,ab=a1+psgt;.即上述定理中的(Ⅰ)型群.

1 主要引理

引理1 若G≌M(n,m,s)，則

由于奇階亞循環(huán)p群是正則的，于是，

下面計(jì)算Ωk(G).

當(dāng)1≤klt;min(n,m) 且lt;apn-kgt;≤G,lt;bpkgt;≤G，lt;apn-kgt;∩lt;bpkgt;=1時(shí)，

由lt;apn-kgt;charlt;agt;?G知lt;apn-kgt;?G，比較階可知Ωk(G)=lt;apn-kgt;lt;bpm-kgt;.

當(dāng)min(n,m)≤klt;max(n,m)時(shí)，若nlt;m，lt;agt;≤Ωk(G),lt;bpm-kgt;≤Ωk(G) .又lt;agt;∩lt;bpm-kgt;=1，lt;agt;?G.比較階可知Ωk(G)=lt;agt;lt;bpm-kgt; .

同樣地，若ngt;m,Ωk(G)=lt;apm-kgt;lt;bgt;.

當(dāng)k=max(n，m),由exp(G)=pmax(n,m)可知Ωk(G)=G.

引理2 若G≌M(n,m,s)，則

證明:由G正則可知Λk(G)=Ωk(G)，[2]并且由引理1可計(jì)算|Ωk(G)|，于是：

當(dāng)1≤k≤min(n,m)時(shí)，

=pk-1(p+1) ；

當(dāng)min(n,m)lt;k≤max(n,m)時(shí)，

=pmin(n,m).

引理3 奇階可裂亞循環(huán)p群的子群還是可裂的.

證明:若G是交換的可裂亞循環(huán)p群，結(jié)論顯然成了.

若G是非交換的可裂亞循環(huán)p群，由論斷1可設(shè)G=lt;a,b|apn=1,bpm=1,ab=a1+psgt;，n,m,s正整數(shù)，且slt;n,m+s≥n.由于d(G)=2,φ(G)=lt;ap,bpgt;，故G的1+p個(gè)極大子群分別為：

M1=lt;b,φ(G)gt;=lt;b,ap,bpgt;=lt;b,apgt; ，

Mk=lt;abi,φ(G)gt;=lt;abi,ap,bpgt;

=lt;abi,apgt;,0≤i≤p-1,2≤k≤p+1.

容易看出M1可裂，下面來證Mk是可裂的.

2 主要結(jié)論及證明

定理1 若G≌M(n,m,s)，則

sk(G)=

證明:由引理3可知G的所有子群都是可裂的.于是可用歸納法來證明.假設(shè)對(duì)G的所有真子群都滿足結(jié)論，現(xiàn)在來證明對(duì)G也滿足.

(1)當(dāng)1≤klt;min(n,m)時(shí)，由引理1可知Ωk(G)≌M(k,k,s′).于是由歸納假設(shè)可得：

sk(G)=sk(Ωk(G))≌sk(M(k,k,s′))=1+p+…+pk.

(2)當(dāng)min(n,m)≤klt;max(n,m)時(shí)，由引理1可知Ωk(G)≌M(min(n,m),k,s′)lt;G.于是由歸納假設(shè)可得：

sk(G)=sk(Ωk(G))≌sk(M(min(n,m),k,s′))

=1+p+…+pmin(n,m).

(3)當(dāng)k=max(n,m)時(shí)，由引理2可知ck(G)=pmin(n,m).于是由歸納假設(shè)可得：

sk(G)=ck(G)+sk(Ωk-1(G))≌ck(G)+sk(M(max(n,m)-1,min(n-m),s′))

=pmin(n,m)+(1+p+…+pmax(n,m)+min(n,m)-1-k)

=pmin(n,m)+(1+p+…+pmax(n,m)+min(n,m)-1-max(n-m))

=pmin(n,m)+(1+p+…+pmin(n,m)-1)

=1+p+…+pmin(n,m).

(4)當(dāng)max(n,m)lt;k≤m+n時(shí)，由于G不存在pk階循環(huán)子群，并注意到G是亞循環(huán)群，從而，G的所有pk階子群都二元生成.于是，由P.Hall計(jì)數(shù)原則得：[3]

當(dāng)k=n+m-1時(shí)，

sk(G)=1+p；

當(dāng)k=n+m-2時(shí)，

=(1+p)(1+p)-p

=1+p+p2；

當(dāng)k=n+m-3時(shí)，

=(1+p)(1+p+p2)-p(1+p)

=1+p+p2+p3；

…

當(dāng)k=n+m-(k′-2)時(shí)，

sk(G)=1+p+p2+…+pk′-2；

當(dāng)k=n+m-(k′-1) 時(shí)，

sk(G)=1+p+p2+…+pk′-1；

當(dāng)k=n+m-k′時(shí)，

=(1+p)(1+p+…+pk′-1)-p(1+p+…+pk′-2)

=1+p+…+pk′=1+p+…+pm+n-k.

綜上(1)(2)(3)(4)，命題得證.

[1] 徐明曜.奇階可裂亞循環(huán)p群的完全分類[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，1983(1):72-73.

[2] 徐明曜，曲海鵬.有限p群[M].北京：北京大學(xué)出版社，2010：214.

[3] 徐明曜.有限群導(dǎo)引·上冊(cè)[M].北京：科學(xué)出版社，1999:138.

[責(zé)任編輯鄧杰]

TheNumberofSubgroupsofSplitMetacyclicGroupsofPrime-powerOrder

CAI Dong-ping

(Shaanxi institute of international trade and commerce ，Xi′an Shaanxi 712046 ，China)

Counting problem is one of the important research contents in finite group of prime-power order.Counting various types of subgroups,element oand the subset is the significant aspect of the problem.This paper gets the number of subgroups of split metacyclic groups of prime-power order.

metacyclic groups of prime-power order；split; P.Hall counting principle

2012-12-07

蔡?hào)|平(1984—)，男，河南陜縣人.助教，碩士，主要從事有限群研究.

O152.2

A

1674-5248(2013)02-0028-03