巧轉(zhuǎn)化，妙破解
——一道向量最值題的探究

☉山東省青州第一中學(xué) 張偉言

平面向量的最值問題是高考平面向量內(nèi)容中比較常見的考查形式之一，往往涉及向量的模、向量的夾角、向量的數(shù)量積、參數(shù)值等相關(guān)最值的求解.也是各類模擬卷、自主招生中比較常見的題型，此類問題切入點(diǎn)多，方法多樣，而且難度一般都不低，是知識(shí)交匯、創(chuàng)新應(yīng)用、能力體現(xiàn)及數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)與提升的重要場所.

一、問題呈現(xiàn)

二、多解思維

從題目條件入手，通過對(duì)平面向量的線性關(guān)系的轉(zhuǎn)化，建立a，b，c關(guān)于x，y的表達(dá)式，結(jié)合余弦定理建立相應(yīng)的方程，借助基本不等式的應(yīng)用與二次不等式的求解確定x+y的取值范圍，并結(jié)合條件確定x+y的最大值.

從題目條件入手，通過對(duì)平面向量的線性關(guān)系的轉(zhuǎn)化，建立x，y的關(guān)系式與a，b，c的關(guān)系式之間的表達(dá)式，設(shè)出參數(shù)，結(jié)合余弦定理建立相應(yīng)的方程，借助基本不等式的應(yīng)用與二次不等式的求解確定m+n的取值范圍，并結(jié)合條件確定x+y的最大值.

故m+n≤4.

結(jié)合三角形的性質(zhì)，可知m+n∈（1，4］.

從題目條件入手，通過對(duì)平面向量的線性關(guān)系的轉(zhuǎn)化，建立x+y關(guān)于a，b，c的表達(dá)式，結(jié)合余弦定理建立相應(yīng)的方程，通過關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，利用基本不等式確定的最小值，進(jìn)而得以確定x+y的取值范圍，并結(jié)合條件確定x+y的最大值.

設(shè)內(nèi)切圓⊙I的半徑為r.

如圖1，設(shè)內(nèi)切圓⊙I與△ABC各邊的切點(diǎn)分別為M，N，P，延長AI交BC于點(diǎn)Q.

圖1

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x+y取得最大值.

其實(shí)在解答平面向量的最值問題時(shí)，關(guān)鍵是結(jié)合題目條件，從題意入手，從平面向量相關(guān)概念的本質(zhì)出發(fā)，選取代數(shù)與幾何、數(shù)與形等方式，用函數(shù)法、三角法、圖像法、不等式法等行之有效的基本方法參與解決，進(jìn)而達(dá)到解決相關(guān)最值問題的目的，提升能力，拓展思維.W