習(xí)題講評(píng)需要“小題大做”
——以等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值為例

☉江蘇省曲塘高級(jí)中學(xué) 崔曉紅

習(xí)題教學(xué)主要是培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究能力，以及開發(fā)學(xué)生解題智慧的主要陣地，其核心是“在學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過(guò)程中，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析”等核心素養(yǎng).本文通過(guò)在解題教學(xué)中的心得，對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的解題教學(xué)的幾個(gè)環(huán)節(jié)略作剖析，以起到“小題大做”的效果.

一、習(xí)題講評(píng)的目的與作用

美國(guó)著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞強(qiáng)調(diào)過(guò)“中學(xué)數(shù)學(xué)的首要任務(wù)是加強(qiáng)解題訓(xùn)練”“掌握數(shù)學(xué)就意味著解題”，學(xué)生在解題過(guò)程中，不僅真正地理解和掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)的意義，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，而且提高了數(shù)學(xué)修養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力，而承擔(dān)提高學(xué)生解題能力任務(wù)的主要課型就是習(xí)題講評(píng)課.數(shù)學(xué)的基本概念是數(shù)學(xué)習(xí)題的基礎(chǔ)背景和核心，數(shù)學(xué)習(xí)題是數(shù)學(xué)基本理論應(yīng)用的延伸和發(fā)展，二者的密切配合是數(shù)學(xué)教學(xué)的統(tǒng)一整體.通常，數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)要達(dá)到如下幾個(gè)目的.

1.有助于學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解

在平時(shí)的課堂教學(xué)過(guò)程中，我們都要注意體會(huì)數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)的概念、定理，然而學(xué)生往往因?yàn)轶w會(huì)不到一定的深度，解題中應(yīng)用不夠充分而導(dǎo)致解題困難.習(xí)題課一般是在概念課、定理課等理論課型的基礎(chǔ)上，結(jié)合對(duì)基本概念、定理的理解而設(shè)置的訓(xùn)練課，目的是通過(guò)訓(xùn)練實(shí)現(xiàn)對(duì)相關(guān)知識(shí)的鞏固及靈活應(yīng)用，并通過(guò)“小題大做”、以點(diǎn)帶面、舉一反三來(lái)提高教與學(xué)的效率.

2.有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

習(xí)題課的講評(píng)教學(xué)必須把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力作為根本目的，因此必須讓習(xí)題教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中占據(jù)比較重要的地位，才能夠起到示范、啟發(fā)的作用.在講評(píng)過(guò)程中應(yīng)該“小題大做”，善于變換問(wèn)題背景，在原有題目的基礎(chǔ)上創(chuàng)新題目，善于從多個(gè)視角分析并解答問(wèn)題，善于將問(wèn)題的求解方法進(jìn)行遷移等.

二、如何做好習(xí)題講評(píng)的準(zhǔn)備工作

1.把好學(xué)生的訓(xùn)練關(guān)

習(xí)題訓(xùn)練作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，一節(jié)高效的習(xí)題講評(píng)課，首先學(xué)生要有充分的訓(xùn)練，它不僅要體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，還要體現(xiàn)教師的指導(dǎo)作用.這樣學(xué)生在訓(xùn)練中才能真正體會(huì)到知識(shí)的形成過(guò)程，概念、定理的側(cè)重點(diǎn)在哪兒，知識(shí)與方法、知識(shí)與題型間聯(lián)系的紐帶在哪兒，唯有如此，才能最大程度地調(diào)動(dòng)學(xué)生的內(nèi)在動(dòng)力和他們求知的積極性，提高學(xué)生課堂的關(guān)注度，這樣課堂效率才能得到保證.

2.關(guān)注對(duì)學(xué)生訓(xùn)練的批閱

對(duì)學(xué)生習(xí)題的批閱是教師獲得學(xué)生知識(shí)掌握情況的手段，批閱中首先要注意整體層面的問(wèn)題，以及學(xué)生錯(cuò)誤集中的幾個(gè)問(wèn)題，看看整體訓(xùn)練的效果，再看具體題目中的具體出錯(cuò)環(huán)節(jié).一般來(lái)說(shuō)，一看學(xué)生的審題是否嚴(yán)謹(jǐn)，這是檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)題目分析能力的一個(gè)方面；二看解題過(guò)程是否全面，是否掌握解題的規(guī)范和程序；三看方法是否得當(dāng)，展示學(xué)生思維的障礙及有無(wú)新的解決思路.通過(guò)以上反饋，能夠及時(shí)把握學(xué)生的思路歷程，這也為我們講評(píng)環(huán)節(jié)做好了鋪墊.

三、關(guān)注習(xí)題講評(píng)的幾個(gè)策略問(wèn)題

習(xí)題講評(píng)既對(duì)學(xué)生的知識(shí)起到鞏固、充實(shí)、完善和矯正的作用，也對(duì)知識(shí)進(jìn)行了梳理、整合和深化，同時(shí)是師生共同探討并闡釋思維共鳴的主要舉措.以下借助等差數(shù)列中一道探求前n項(xiàng)和最值的問(wèn)題，談?wù)勚v評(píng)中應(yīng)關(guān)注的幾個(gè)策略：

典例：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S9＜0，S10＞0，則此等差數(shù)列的前n項(xiàng)和中，n是多少時(shí)取得最小值？

策略一：回歸概念，認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)

結(jié)合本題條件不難發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的兩點(diǎn)關(guān)鍵信息：①d＞0；②a1＜0.

此時(shí){an}大致的排列方式為：a1＜a2＜…＜am＜0＜am+1＜…＜an，不難得到當(dāng)n=m時(shí)Sn取得最小值.

講評(píng)心得：此法稱為“性質(zhì)轉(zhuǎn)化法”，本解法是基于等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式不可求，不能通過(guò)函數(shù)的思想來(lái)確定最值，因此通過(guò)考慮等差數(shù)列的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，抓住項(xiàng)的符號(hào)變化特點(diǎn)來(lái)求得最值情況，透過(guò)解題過(guò)程不難得到如下幾個(gè)結(jié)論：

策略二：橫向拓展，通過(guò)條件遷移培養(yǎng)解題靈活性

變式1：已知等差數(shù)列{an}，3a5=8a12，a1＜0，設(shè)前n項(xiàng)和為Sn，求Sn取最小值時(shí)n的值.

分析：結(jié)合本題條件可知通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式不可求，而且利用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化也較難得到臨界項(xiàng)，因此不妨根據(jù)已知條件設(shè)出基本量，然后套用通項(xiàng)公式，來(lái)得到a1，d的關(guān)系.

另一思路，可以利用a1，d的關(guān)系表示出Sn，其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)為關(guān)于自然數(shù)n的二次函數(shù)形式且不含常數(shù)項(xiàng)，故可借助配方法來(lái)求得Sn取得最值時(shí)n的值.

講評(píng)心得：這是一個(gè)橫向的變式訓(xùn)練題，是在上題的基礎(chǔ)上進(jìn)行了條件的轉(zhuǎn)化，在考查這類題目時(shí)，需要學(xué)生能夠靈活應(yīng)用自身的數(shù)學(xué)知識(shí)，在原題基礎(chǔ)上對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有效的整合.通過(guò)變式訓(xùn)練可以培養(yǎng)學(xué)生靈活處理問(wèn)題的能力，訓(xùn)練其發(fā)散思維能力，在講評(píng)過(guò)程中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把握主干知識(shí)，聯(lián)系基本概念與公式，挖掘隱含信息，從而幫助學(xué)生拓展解題思路.

策略三：逆向變式，在逆向思維中體會(huì)概念的本質(zhì)

變式2：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn=-n2+λn，且僅在n=8處取得最大值，則λ的取值范圍是______.

解法1：因?yàn)镾n僅在n=8處取得最大值，故{an}中沒有零項(xiàng)，從而有a8＞0，a9＜0.

解法2：Sn=-n2+λn是關(guān)于n的二次函數(shù)，其圖像所在拋物線的對(duì)稱軸為直線n=，因?yàn)镾僅在n=8處取得最n大值，所以7.5＜＜8.5，即15＜λ＜17.

講評(píng)心得：所謂逆向思維，就是指人們?yōu)檫_(dá)到某種目標(biāo)，從常規(guī)思維相反的方向來(lái)思考，從中引導(dǎo)人們來(lái)尋求解決問(wèn)題的一種思維方式.數(shù)學(xué)中的公式、運(yùn)算都具有雙向性，在習(xí)題講評(píng)中要充分挖掘知識(shí)點(diǎn)的互逆因素，并巧妙逆轉(zhuǎn)問(wèn)題的條件和結(jié)論，以此訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力，其往往能夠更好地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).在逆向變式的過(guò)程中，講評(píng)環(huán)節(jié)應(yīng)注意命題間的不等價(jià)因素，即易錯(cuò)環(huán)節(jié)，如在本題中就應(yīng)該注意“Sn僅在n=8處取得最大值”這一條件，切勿出現(xiàn)“a8≥0，a9≤0”而導(dǎo)致求解錯(cuò)誤.

策略四：跨知識(shí)點(diǎn)變式，進(jìn)一步拓展思維的遷移能力

變式3：等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)積為Tn，并且滿足條件a＞1，aa＞1199100給出下列結(jié)論：

①0＜q＜1；

②a99a101-1＜0；

③T100的值是Tn中的最大值；

④使Tn＞1成立的最大自然數(shù)n為198.

其中正確的結(jié)論是（ ）.

A.①②④ B.②④ C.①② D.①②③④

分析：因?yàn)閍99a100＞1，所以a12q197＞1，所以（a1q98）2＞1.

由于T100=T99·a100，而0＜a100＜1，故有T100＜T99，所以③錯(cuò)誤.

講評(píng)心得：這種跨知識(shí)點(diǎn)的變式訓(xùn)練給學(xué)生提出了更高的要求，是在學(xué)生熟練掌握等差數(shù)列最值的基礎(chǔ)上進(jìn)行的深度拓展，這種拓展能更好地訓(xùn)練學(xué)生的信息遷移能力，是更高層次的訓(xùn)練，適用于綜合復(fù)習(xí)階段的習(xí)題變式.

利用變式訓(xùn)練的上述策略，可以實(shí)現(xiàn)從不同角度對(duì)知識(shí)點(diǎn)、題型及方法的理解，通過(guò)這種“小題大做”的強(qiáng)化訓(xùn)練可以讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行反復(fù)研讀，并讓他們深入到題目?jī)?nèi)在，并進(jìn)行深層次的思考，這樣能更好地掌握問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，利用這種講評(píng)策略還可以有效提高學(xué)生解題的思想集中度，并促進(jìn)不同水平學(xué)生的解題能力的提升.F