聚焦思維方法，指向問題本質
——對一道高考真題的探究與思考

☉浙江省溫嶺中學 林新華

一、試題展示

例題 （2017年全國高中數(shù)學聯(lián)賽A卷第9題）設k，m為實數(shù)，不等式|x2-kx-m|≤1對所有x∈［a，b］成立.證明：b-a≤2.

二、試題特點

本題作為解答題第1題（解答題共3題），它源于平時高考范圍內的常見題，所涉及的知識沒有超出高考要求，但在有些處理手法上略有提高.本題語言簡潔、解題入口寬、層次多，具有非常明顯的區(qū)分度.數(shù)學素養(yǎng)一般的考生，通過對問題的合理分析，運用常規(guī)的討論等方法能夠達到自己理想的結論，但是時間的成本會比較大；而數(shù)學素養(yǎng)好、思維深刻的學生能快速直達問題的本質，此題的本質是在分析拋物線的“陡峭程度”.因為k、m其實只影響f（x）=x2-kx-m的圖像位置而不影響其形狀，故本題其實是討論f（x）=x2的圖像中使得函數(shù)值差距不超過2的最長區(qū)間，即在分析拋物線的“陡峭程度”.2010年全國高中聯(lián)賽A卷的第9題也可看成這類問題.

三、多視角下的方法探究

視角一：三點控制法的視角

點評：上面的方法是命題組提供的解答，該解法巧妙地取函數(shù)f（x）在區(qū)間端點及中點位置時值的范圍，通過觀察三個式子的結構，經過恰當?shù)淖冃握硐，m，從而得到關于a，b的不等式.本題考查了學生的邏輯推理、數(shù)學運算與數(shù)據(jù)分析等數(shù)學核心素養(yǎng)，要求高，綜合能力強.

視角二：對稱軸討論的視角

令M=（fx）max-（fx）min，則M≤2對任意x∈［a，b］恒成立.

點評：利用最平常的對稱軸與區(qū)間的討論，得出函數(shù)在區(qū)間上的單調性，然后得出M的表達式，再利用不等式放縮即可.大多數(shù)學生是從這個角度去思考和解題的，他們能寫出需討論的全部情況或者其中的幾種情況.一些優(yōu)秀的學生也能把（3），（4）兩種情況合起來：

視角三：最小值討論的視角

不妨設（fx）=x2-r，x∈［a′，b′］，b-a=b′-a′，下面對x∈R時，（fx）的最小值進行討論：

（1）若（fx）min＜-1，即r＞1.

圖1

由圖1可得：

（2）若-1≤（fx）min≤1，即-1≤r≤1.

令（fx）=1的根為x3，x（4x3＜x4），可解得：

圖2

由圖2可得：

（3）若（fx）min＞1，則|（fx）|≤1無解.

點評：首先，把f（x）視為f（x）=x2-r，這需要對二次函數(shù)有本質的理解，學生需要較好的數(shù)學素養(yǎng)，這樣處理簡化了后續(xù)的運算.其次，此解法的本質是通過研究f（x）的圖像與直線y=1或y=-1交點的橫坐標之差，來刻畫b-a的范圍.對上面的解法可進一步優(yōu)化為：不妨設f（x）=x2-r，對?x∈［a，b］均有|f（x）|≤1.

下面對r進行討論.

總之，從具體的背景中抽象出一般的數(shù)量關系，概括出問題的本質，再從直觀的圖形角度來解決問題，認識了數(shù)與形的關系，在解決問題過程中，有利于培養(yǎng)學生直觀想象的核心素養(yǎng).

視角四：反證法的視角

綜上①②③知總存在x1，x2∈［a，b］，使|（fx1）-（fx2）|＞2.

這與題設對任意x∈［a，b］，|（fx）|≤1矛盾.所以假設不成立，即b-a≤2.

視角五：函數(shù)凹凸性的視角

-1≤x2-kx-m≤1對任意x∈［a，b］恒成立.

因為y=x2-kx-m為下凸函數(shù)，

視角六：競賽的視角

由拉格朗日插值恒等式知：

比較上式兩邊x2的系數(shù)，得：

四、思考與建議

（1）此題雖有著“入手易，解法多”的特點，但部分考生仍感覺力不從心.因此在平時的教學中應關注學生思維，重視問題的本質.張奠宙教授曾說：“數(shù)學教學的有效性關鍵在于對數(shù)學本質的把握、揭示和體驗”.因此在平時的教學中盡量留給學生足夠的時間讀題、審題，在這個過程中讀出若干思維角度，審出題目結構，理解問題本質.

（2）數(shù)學教學是“慢”藝術，若短時間內把所有好的數(shù)學思想方法打包發(fā)給學生，往往因空間不足而無法解壓.因此，在教學中教師要敢于等待學生，陪伴學生重筑數(shù)學知識的形成之路，而不要在某些經典知識上一筆帶過.

（3）平時所謂的難題通常是對多個知識點進行交叉和互融考查，數(shù)學素養(yǎng)較高的學生遇到難題時會把多種通法綜合在一起，創(chuàng)造出含有“技巧性元素”的方法.因此，在平時的教學中，應注重對知識“通性通法”的教學，通法就是遵循數(shù)學的思維特征分析問題和解決問題，只要對問題解決的通性通法熟練、高效，某些技巧性方法自然就會應運而生.

（4）注重高中數(shù)學與拓展知識之間的聯(lián)系.比如函數(shù)的凹凸性、不動點理論、拉格朗日插值恒等式、極限思想等，其實平時的試題中也經常會出現(xiàn)用琴生不等式秒殺的問題等.再如極限思想在函數(shù)零點判斷問題中會經常用到.