不畏浮云遮望眼，只緣“熱點(diǎn)”在里面
——函數(shù)熱點(diǎn)題型解析

☉江蘇省海安高級(jí)中學(xué) 葉枝鳳

函數(shù)部分涉及映射、函數(shù)的概念、函數(shù)的表示法、分段函數(shù)、函數(shù)的基本性質(zhì)、基本初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等），以及函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用等，是高中的基本知識(shí)之一，也是高考中的重要考點(diǎn)之一.下面結(jié)合近幾年高考中函數(shù)部分的熱點(diǎn)題型加以實(shí)例剖析，以期達(dá)到突破與提升的目的.

熱點(diǎn)1——函數(shù)的值域或最值

權(quán)威解讀：函數(shù)的值域或最值及其求法是近幾年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.函數(shù)的值域是函數(shù)在定義域內(nèi)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的取值范圍，其求解的關(guān)鍵是確定相應(yīng)的最值.因此，求函數(shù)的值域時(shí)要求出定義域內(nèi)的所有極值點(diǎn)和端點(diǎn)處的函數(shù)值，并進(jìn)行比較，得到函數(shù)的最值.在高考中主要考查求解函數(shù)的值域問(wèn)題，從而帶動(dòng)對(duì)函數(shù)的最值等相關(guān)問(wèn)題的考查，其應(yīng)用廣泛，綜合性強(qiáng)，且解法靈活多變.在實(shí)際求解中，各種方法往往可以相互滲透，也可以多法并舉.

例1 （2018屆江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二）·14）已知a，b為正實(shí)數(shù)，且（a-b）2=4（ab）3的最小值為_(kāi)_____.

解析：由于a，b為正實(shí)數(shù)，設(shè)則有a+b=Mab.

而由（a-b）2=4（ab）3，

可得4（ab）3=（a+b）2-4ab=M（2ab）2-4ab，

可得關(guān)于ab的方程4（ab）2-M（2ab）+4=0，

則該方程有解，

在分析運(yùn)動(dòng)員每局彈跳高度的基礎(chǔ)上，可以分析得知運(yùn)動(dòng)員在比賽過(guò)程中競(jìng)技狀態(tài)的動(dòng)態(tài)變化。圖4顯示了球員在各局彈跳高度如何上升和下降。

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)雙變?cè)亩未鷶?shù)式問(wèn)題，往往根據(jù)條件對(duì)已知等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化或處理，利用基本不等式思維、待定系數(shù)法思維、函數(shù)與方程思維及其他相關(guān)的思維方式將所要求解的雙變?cè)亩未鷶?shù)式加以轉(zhuǎn)化，再結(jié)合相關(guān)的知識(shí)加以解決.

熱點(diǎn)2——函數(shù)的性質(zhì)及其綜合

權(quán)威解讀：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性是函數(shù)的基本性質(zhì)，分別從不同方面反映函數(shù)的屬性.通過(guò)感知形和數(shù)、定量與定性的和諧統(tǒng)一，在形與數(shù)、自變量與函數(shù)值的轉(zhuǎn)換過(guò)程中體會(huì)化歸思想，培養(yǎng)化歸意識(shí)和化歸能力.這幾個(gè)函數(shù)的基本性質(zhì)一直是高考中比較常見(jiàn)的考點(diǎn)，可以從函數(shù)性質(zhì)的判定、函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用、函數(shù)的圖像等方面考查，在選擇題或填空題中出現(xiàn)，有時(shí)與相關(guān)知識(shí)交匯，通過(guò)綜合與應(yīng)用的形式出現(xiàn)在解答題中，是每年高考的重點(diǎn)所在.

例2（江西省南昌市2018屆高三第二次模擬考試·9）已知函數(shù)設(shè)g（x）=k（fx）+x2+x（k為常數(shù)），若g（10）=2018，則g（-10）等于（ ）.

A.1998 B.2038 C.-1818 D.-2218

解析：由（fx）的解析式知其是偶函數(shù)，

則知g（10）=k（f10）+102+10=2018，

解得k（f10）=1908，

所以g（-10）=k（f-10）+（-10）2-10=k（f10）+100-10=1908+90=1998，

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)分段函數(shù)的解析式來(lái)判斷其函數(shù)的奇偶性是解決本題的關(guān)鍵，也是解決此類(lèi)問(wèn)題的突破口.利用函數(shù)的解析式來(lái)正確判斷對(duì)應(yīng)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性或周期性，往往會(huì)為進(jìn)一步的求解奠定基礎(chǔ).

熱點(diǎn)3——函數(shù)圖像的識(shí)別及其變換

權(quán)威解讀：從近年的高考來(lái)看，試題主要考查函數(shù)圖像的辨識(shí)，以及利用圖形研究函數(shù)的性質(zhì)、方程的根及不等式的解集，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低檔難度題.關(guān)鍵是要熟練掌握基本初等函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，加強(qiáng)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用意識(shí)，還應(yīng)熟練掌握?qǐng)D像變換的法則.

例3已知函數(shù)y=f（x）滿(mǎn)足f（x）=f（x+2），當(dāng)x∈［-1，1］時(shí)，f（x）=x2，那么函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=|lgx|的圖像的交點(diǎn)共有（ ）.

A.10個(gè) B.9個(gè) C.8個(gè) D.1個(gè)

解法1：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，y=|lgx|=-lgx，它是減函數(shù)，而函數(shù)y=f（x）=x2在（0，1）上是增函數(shù)，所以它們的圖像在（0，1）內(nèi)只有1個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)x∈［1，10］時(shí)，y=|lgx|=lgx，它是增函數(shù)，而在每個(gè)區(qū)間［1，3），［3，5），［5，7），［7，9），函數(shù)y=f（x）=x2的圖像與函數(shù)y=|lgx|的圖像都有2個(gè)交點(diǎn)；在區(qū)間［9，10）上有1個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)x＞10時(shí)，由于y=|lgx|=lgx＞1，函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=|lgx|的圖像沒(méi)有交點(diǎn).

所以一共有1+2×4+1=10（個(gè)）交點(diǎn)，故選擇答案：A.

解法2：直接畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖像，如圖1，結(jié)合圖像可看出兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)有10個(gè).

故選擇答案：A.

圖1

點(diǎn)評(píng)：涉及對(duì)數(shù)函數(shù)與其他相關(guān)函數(shù)的圖像交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，往往可以通過(guò)直觀圖形的判斷來(lái)處理，有時(shí)也可以利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.熟記基本函數(shù)圖像以及熟練運(yùn)用圖像變換往往是解決函數(shù)與方程問(wèn)題的一條捷徑.

熱點(diǎn)4——分段函數(shù)的應(yīng)用及其綜合

權(quán)威解讀：分段函數(shù)問(wèn)題一直是高考考查的熱點(diǎn)，縱觀近幾年的高考試卷，分段函數(shù)問(wèn)題的考查逐漸成為重點(diǎn).對(duì)此問(wèn)題的考查，主要有以下幾種類(lèi)型：①分段函數(shù)的求值問(wèn)題；②分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題；③分段函數(shù)的值域、最值問(wèn)題；④分段函數(shù)的圖像及其應(yīng)用；⑤分段函數(shù)與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題.分段函數(shù)主要考查了分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法的應(yīng)用.

例4 （福建省廈門(mén)市2018屆高三年級(jí)第一學(xué)期期末質(zhì)檢·12）已知函數(shù)若（fa）則a的取值范圍是（ ）.

點(diǎn)評(píng)：解決分段函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵是針對(duì)具體問(wèn)題，結(jié)合參數(shù)的不同取值情況加以分類(lèi)討論.解決有關(guān)分段函數(shù)的不等式問(wèn)題通常有兩種方法：（1）利用代數(shù)手段，通過(guò)對(duì)x進(jìn)行分類(lèi)討論將不等式轉(zhuǎn)化為具體的不等式來(lái)處理；（2）通過(guò)作出分段函數(shù)的圖像，利用圖像特點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來(lái)求解不等式問(wèn)題.

歷年高考都對(duì)函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行重點(diǎn)考查，其中以考查冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)方面的有關(guān)內(nèi)容居多，大體都是從函數(shù)的解析式、函數(shù)的基本性質(zhì)等方面入手，與函數(shù)的零點(diǎn)、不等式等相關(guān)知識(shí)加以綜合，這類(lèi)試題一般出現(xiàn)在小題中，難度屬于較易型或中等型.F