核心素養(yǎng)視角下高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式的構(gòu)建與應(yīng)用*
——以“離散型隨機變量的分布列”單元復(fù)習(xí)課教學(xué)為例

☉廣東省廣州市天河外國語學(xué)校 許澤然

☉廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué) 林 琪

一、問題提出

2014年12月，教育部召開普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)修訂工作啟動會議，在這次會議上，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)被寫入了課程標(biāo)準(zhǔn)中.在這之后的一段時間里，數(shù)學(xué)界掀起了研究核心素養(yǎng)的熱潮.在一批大學(xué)教授、教育學(xué)者的共同努力下，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵和構(gòu)成要素逐步清晰起來.史寧中教授用三會（會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界）來概括數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的精髓.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)成進行了詳細的劃分，認為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析六個要素.

根據(jù)單元復(fù)習(xí)課的特點，經(jīng)過實踐研究，筆者探索了“創(chuàng)設(shè)情境—提煉問題—解決問題—交流討論—自主小結(jié)”的單元復(fù)習(xí)課教學(xué)模式，以期解決當(dāng)前單元復(fù)習(xí)課模式單一、效率較低的問題.

二、“創(chuàng)設(shè)情境—提煉問題—解決問題—交流討論—自主小結(jié)”教學(xué)模式的構(gòu)建

1.理論基礎(chǔ)

馬云鵬教授等人認為，在新一輪的課堂組織與實施的過程中，在堅持“雙基”的合理內(nèi)核下，在感悟“數(shù)學(xué)基本思想”，積累“基本活動經(jīng)驗”的同時，通過創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)情境，將形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的核心要求.

呂世虎教授等人認為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是個體從數(shù)學(xué)的角度觀察事物，并借助數(shù)學(xué)知識與思想方法解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)或者現(xiàn)實生活情境中相關(guān)問題的綜合能力，以及個體所持有的數(shù)學(xué)情感態(tài)度與價值觀等.它是個體在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成并獲得的，是數(shù)學(xué)化地思考和解決實際問題，是進行有效的數(shù)學(xué)表達與交流起關(guān)鍵性支撐作用的數(shù)學(xué)素養(yǎng).它不僅表現(xiàn)在對純數(shù)學(xué)知識與技能的擁有量等顯性方面，還表現(xiàn)在數(shù)學(xué)化地思考和解決問題時所展現(xiàn)出來的品質(zhì)、能力及精神風(fēng)貌等隱性方面.

2.模式構(gòu)建

在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角下，構(gòu)建了“創(chuàng)設(shè)情境—提煉問題—解決問題—交流討論—自主小結(jié)”的單元復(fù)習(xí)課教學(xué)模式.

（1）創(chuàng)設(shè)情境：這里所講的情境有別于一般意義上的“情境引入”，它既可以是現(xiàn)實世界情境，也可以是純數(shù)學(xué)情境.它在教學(xué)設(shè)計中起到的是主線的作用，可以引發(fā)學(xué)生挖掘其中具有數(shù)學(xué)規(guī)律性的事物，從而引出學(xué)生記憶中學(xué)習(xí)過的知識點.

（2）提煉問題：提煉問題可以由教師提出，也可以由學(xué)生提出.這需要個體能從數(shù)學(xué)的視角對數(shù)學(xué)情境進行數(shù)學(xué)抽象，并用數(shù)學(xué)的語言提煉問題.教師必須圍繞教學(xué)目標(biāo)對提煉的問題作出整體的規(guī)劃，特別是對學(xué)生提煉的問題要有充分的預(yù)設(shè)，達到利用問題引導(dǎo)學(xué)生參與到教育教學(xué)中來，以及利用問題推動知識向前發(fā)展的目的.

（3）解決問題：這個環(huán)節(jié)主要是學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識與技能對問題進行求解，從而得到結(jié)果.這里需要充分調(diào)動學(xué)生的各種技能，依靠數(shù)學(xué)抽象過程生成數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)、憑借數(shù)學(xué)理性思維生成邏輯推理核心素養(yǎng)、利用數(shù)學(xué)綜合實踐生成數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)、通過數(shù)學(xué)問題解決生成直觀想象核心素養(yǎng)、借助數(shù)學(xué)算法算理生成數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)、依賴數(shù)學(xué)統(tǒng)計思維生成數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng).這是整個課堂中滲透和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

（4）交流討論：這里需要改變傳統(tǒng)教學(xué)模式中教師一言堂的狀態(tài)，教師需要結(jié)合核心素養(yǎng)的要求，通過交互式的教學(xué)方法讓學(xué)生在小組中進行合作學(xué)習(xí)，提倡學(xué)生大膽質(zhì)疑，提倡生生之間進行的對話，讓學(xué)生敢于分享、樂于分享.通過這一過程可以提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性和積極性，對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有積極的促進作用.

三、“創(chuàng)設(shè)情境—提煉問題—解決問題—交流討論—自主小結(jié)”教學(xué)模式的應(yīng)用

1.學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）能正確辨別超幾何分布和二項分布，并能利用這兩種分布解決具體問題.

（2）能利用分布列解決生活中的實際問題.

2.教學(xué)重點與難點

教學(xué)重點：利用分布列解決生活中的實際問題.

教學(xué)難點：辨別超幾何分布和二項分布.

3.教學(xué)過程

（1）創(chuàng)設(shè)情境，引出案例.

師：同學(xué)們，我們在必修3學(xué)習(xí)了統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識，我們學(xué)習(xí)統(tǒng)計的目的是什么呢？

生：服務(wù)于生產(chǎn)，服務(wù)于生活.

師：是的，統(tǒng)計學(xué)已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于生產(chǎn)和生活的方方面面.同樣，前面我們學(xué)習(xí)的分布列在生活中也有著廣泛的應(yīng)用，下面我們通過一個案例來體會分布列在生活中的應(yīng)用.

師：今天我們研究的主角就是——面包（PPT展示面包圖片）.

師：小明開了一家面包店，經(jīng)營效果還行，他想根據(jù)現(xiàn)在面包店的情況考慮接下來的運營對策.你能幫助他分析運營情況嗎？

生：首先應(yīng)該搜集面包店過去的銷售情況，得到一些原始數(shù)據(jù).

師：很好，現(xiàn)收集了小明的面包店在過去一個月內(nèi)（以30天計）的銷售情況，記錄如下：

25 138 180 199 43

111 52 68 211 125

135 35 190 230 128

145 149 105 141 178

160 166 185 56 162

178 78 62 89 244

師：看到這些數(shù)據(jù)你有什么感覺？

生：數(shù)據(jù)比較零散，看不出規(guī)律.

師：那么我們有必要對數(shù)據(jù)進行處理，用什么方法呢？

生：可以利用統(tǒng)計圖表，例如頻率分布直方圖等.

師：很好，我繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖1所示.

師：現(xiàn)在我們結(jié)合頻率分布直方圖，來幫小明分析面包店的運營情況.

圖1

（2）提煉問題，拾級而上；解決問題，落實素養(yǎng).

問題1：從這30天日銷售量超過150個面包的天數(shù)中抽取出4天，記日銷售面包個數(shù)超過200的天數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

生1：（板演并講解）由頻率分布直方圖知，日銷售量超過150個的天數(shù)為12，其中日銷售面包個數(shù)超過200的天數(shù)為3，依題意，隨機變量X服從超幾何分布.隨機變量X的可能取值為0，1，2，3.

故X的分布列如表1所示：

表1

師：同學(xué)們有不同的看法嗎？有問題想問嗎？

生2：我是用二項分布做的，怎樣判斷隨機變量X服從超幾何分布呢？

生1：從日銷售量超過150個的天數(shù)中抽取出4天，是在有限容量中抽取，故可視為超幾何分布.

生3補充：上述抽取是無放回抽取，無放回抽取可視為超幾何分布.

生4：隨機變量X的取值一開始我寫的是0，1，2，3，4.怎樣避免這個錯誤呢？

師：這個問題提得好，隨機變量X的取值是超幾何分

故X的數(shù)學(xué)期望為：布中一個易錯的點.

生5：日銷售面包個數(shù)超過200的天數(shù)總共才3天，因此隨機變量X的取值最多取到3，這里很容易受思維定式的影響，大家要克服定式思維.

師：同學(xué)們都很積極踴躍地發(fā)言，非常好.通過剛才同學(xué)們的交流，我們應(yīng)該把超幾何分布弄清楚了，那么，你的頭腦里還有哪些超幾何分布的例子呢？

生6：一個箱子中，裝有3個紅球和4個黑球，從中取出4個球，求取出的紅球數(shù)X的分布列.

生7：在含有5件次品的100件產(chǎn)品中，任取3件，求取出的次品數(shù)X的分布列.

師：非常好，生7所舉的例子是課本中的例子，大家要善于從課本中找到題目的原型.無論是問題1，還是摸球問題，或是次品問題，它們有什么共同的特征呢？

生8：問題都涉及了兩個事物.

師：是的，通過進一步概括，我們可以總結(jié)出超幾何分布模型的基本結(jié)構(gòu)：

（PPT投影）一個總體（共有N個）內(nèi)含有兩種不同的事物A（有M個）、事物B（有N-M個），任取n個，記取出事物A的個數(shù)為X（隨機變量），求X的分布列.

師：這里要特別注意隨機變量X的取值為0，1，2，…k，k∈min{M，n}.

問題2：將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立.記接下來一周的日銷售量超過150個的天數(shù)為Y，預(yù)計在接下來的一周里，恰有3天日銷售面包個數(shù)超過150個的概率及Y的數(shù)學(xué)期望.

師：有部分同學(xué)沒有求出最終結(jié)果，這里要用分數(shù)進行運算，小數(shù)運算會比較麻煩.

師：隨機變量Y服從二項分布，怎樣判斷隨機變量Y服從二項分布呢？

生10：每天的銷售量相互獨立，故可視為二項分布.

生11：將日銷售量落入各組的頻率視為概率，說明是對無限總體的研究.

師：說得很好，在求Y的數(shù)學(xué)期望的時候，有些同學(xué)想先求Y的分布列，這樣可以嗎？

生（一起）：哇！這樣會很累.

生12：對于服從二項分布的隨機變量，求其期望時，我們可以不求分布列，直接利用公式求解.

師：大家還能舉出一些二項分布的例子嗎？

生13：投擲一枚圖釘4次，求針尖向上的次數(shù)X的分布列.

生14：某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.8，求這名射手在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)X的分布列.

師：我們來看看，剛才所舉的例子有什么共同特征呢？

生15：都涉及事件的兩個方面，即事件發(fā)生或不發(fā)生.

師：是的，進一步概括，我們可以總結(jié)出二項分布模型的基本結(jié)構(gòu)：

（PPT投影）在n次獨立重復(fù)試驗中，只有事件A和A發(fā)生，其中事件A發(fā)生的概率為P，記事件A發(fā)生的次數(shù)為X（隨機變量），求X的分布列.

（3）總結(jié)規(guī)律，分辨模型.

師：在具體問題中，如何分辨超幾何分布和二項分布呢？

學(xué)生討論后小結(jié)1：若有“從（有限個中）選取”等字眼，則是對樣本的研究；若采用不放回抽樣，抽取的結(jié)果對后面有影響，則有可能為超幾何分布.

學(xué)生討論后小結(jié)2：若有“頻率視為概率”，則是對無限總體的研究；若有“實驗具有重復(fù)性”“有放回抽樣”等字眼，則整個過程為一重復(fù)過程；若有“實驗次數(shù)多”，雖然對總體抽樣時不放回，但在大量的情況下仍可看作獨立重復(fù)，則有可能為二項分布.

師：以上我們總結(jié)了兩種分布模型的一些關(guān)鍵字眼，是否為超幾何分布或二項分布，還需進一步分析概率事件.

（4）自主小結(jié)，加深升華.

師：學(xué)完本節(jié)課，你有什么體會呢？

生16：我深深體會到，數(shù)學(xué)來源于生活，分布列在生活中有廣泛的應(yīng)用.

生17：在具體的問題中，我學(xué)會了如何辨別超幾何分布和二項分布，在本節(jié)課介紹的若干方法中，樣本與總體的區(qū)分是辨別超幾何分布和二項分布的核心.

生18：概率與統(tǒng)計不分家，概率常常與統(tǒng)計結(jié)合在一起.

師：同學(xué)們的總結(jié)非常到位，本節(jié)課的一條主線就是對隨機變量的研究.對于隨機變量，一般我們先研究隨機變量的分布列，再研究隨機變量的分布列的類型，進而研究分布列衍生出來的數(shù)學(xué)期望和方差，以及它們的實際意義.而本節(jié)課的另一條暗線則是對統(tǒng)計問題的研究，對于統(tǒng)計問題，一般要經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)（抽樣）、整理數(shù)據(jù)（統(tǒng)計圖、表）、分析數(shù)據(jù)（數(shù)字特征）、統(tǒng)計推斷這四個過程.

四、教學(xué)反思

1.創(chuàng)設(shè)情境，貫徹整個單元復(fù)習(xí)

本節(jié)課是學(xué)生在學(xué)完分布列后上的一節(jié)單元復(fù)習(xí)課，學(xué)生對超幾何分布、二項分布這兩種重要的分布模型往往分辨不清，同時對分布列的一些實際應(yīng)用還不夠熟練.筆者針對學(xué)情，設(shè)計了本節(jié)單元復(fù)習(xí)課.本節(jié)課從生活中面包店經(jīng)營狀況的情境出發(fā)，教師提煉出了兩個問題，這兩個問題涉及超幾何分布、二項分布的應(yīng)用，逐步展開、層層深入.最后引導(dǎo)學(xué)生自主小結(jié)，總結(jié)兩種分布模型的特點.在本節(jié)課中，面包店的經(jīng)營狀況就是一條主線，它把這一單元中存在內(nèi)在聯(lián)系的知識貫穿在一起，使之凝聚集中，形成鏈條，學(xué)生順藤摸瓜，從一個鏈條上摸索下去就可以獲得對整個單元知識的深刻記憶.

2.單元復(fù)習(xí)課教學(xué)模式各環(huán)節(jié)的關(guān)系

在“創(chuàng)設(shè)情境—提煉問題—解決問題—交流討論—自主小結(jié)”單元復(fù)習(xí)課教學(xué)模式中，學(xué)生的數(shù)學(xué)雙基是基礎(chǔ)，是形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的載體，問題的提出與解決是核心，學(xué)生通過“做數(shù)學(xué)”“用數(shù)學(xué)”的實踐活動積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，加深對數(shù)學(xué)的理解.另外，在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，把“學(xué)會數(shù)學(xué)交流”作為解決實際問題的重要能力之一.在課堂教學(xué)中，教師要創(chuàng)造機會讓學(xué)生進行數(shù)學(xué)的溝通與交流.該模式中，雙基是基礎(chǔ)，情境是主線，問題是核心，交流是路徑，各個環(huán)節(jié)逐次遞進，構(gòu)成了一個相互聯(lián)系、密不可分的整體.筆者相信該模式的構(gòu)建與應(yīng)用，對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)會起到積極的促進作用.