數(shù)學(xué)模型搭舞臺(tái)，數(shù)形共奏“核心素養(yǎng)”曲
——三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像變換的教學(xué)嘗試

☉廣東省廣州市花都區(qū)第二中學(xué) 張偉文

三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像變換一直以來(lái)都是教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，尤其是三角函數(shù)既涉及橫向伸縮變換，又涉及橫向平移變換的時(shí)候，到底該“平移多少個(gè)單位”的問(wèn)題往往令學(xué)生困惑不已，屢做屢錯(cuò).對(duì)于這一難點(diǎn)的突破，廣大教師是“八仙過(guò)海各顯神通”.

一、難點(diǎn)突破的常規(guī)策略

1.看圖識(shí)別

先讓學(xué)生用“五點(diǎn)法”畫(huà)出y=Asin（ωx+φ）的圖像，比如，在同一坐標(biāo)系下畫(huà)出）的圖像；然后觀察某些特殊點(diǎn)的變換情況，例如，圖像由y=sin2x變換到）時(shí)，原點(diǎn)發(fā)生了怎樣的改變，平移了多少個(gè)單位；之后再組織學(xué)生多畫(huà)幾個(gè)特殊函數(shù)的圖像，最后總結(jié)出圖像變換的規(guī)律.

除此之外，還可以借助幾何畫(huà)板等軟件，模擬演示函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中各參數(shù)A、ω、φ對(duì)圖像的影響，從中得出結(jié)論：參數(shù)A決定圖像的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，參數(shù)ω決定函數(shù)的周期，參數(shù)φ決定函數(shù)左右平移的單位.通過(guò)不斷的演示，最后得出在ω、φ的共同作用下，函數(shù)圖像到底會(huì)發(fā)生哪些變化，并提煉出圖像變換的規(guī)律.

借助圖像提煉規(guī)律的優(yōu)點(diǎn)是直觀形象，思維門(mén)檻比較低，學(xué)生容易記憶變換的規(guī)律.但缺點(diǎn)也是顯而易見(jiàn)的，那就是思維的嚴(yán)密性欠缺，通過(guò)幾個(gè)特殊的函數(shù)與特殊的點(diǎn)，能否保證所得到的結(jié)論一定正確？教學(xué)實(shí)踐證明，用這種方法得到的結(jié)論雖然容易記憶，但也容易遺忘和混淆.由此可見(jiàn)，圖像的變換規(guī)律學(xué)生其實(shí)并沒(méi)有真正理解與掌握.

2.解析突破

為了保證推理的嚴(yán)密性，很多老師又想辦法從函數(shù)解析式入手，通過(guò)代數(shù)變換研究圖像變換.比如，設(shè)點(diǎn)P（x，y）是函數(shù)y=sinx的圖像上任意一點(diǎn)，將點(diǎn)P（x，y）沿x軸向左平移個(gè)單位，得到點(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)P滿

1足函數(shù)所以點(diǎn)P在函數(shù)1的圖像上；同理，反之也成立.所以函數(shù)）的圖像是由函數(shù)y=sinx的圖像向左平移個(gè)單位得到的.令（fx）=于是就得到結(jié)論：（fx）→函數(shù)圖像向左平移個(gè)單位.之后再通過(guò)具體的函數(shù)例子作進(jìn)一步驗(yàn)證，最終得到函數(shù)圖像平移的一般結(jié)論：（fx）→（fx+φ），若φ＞0，則函數(shù)圖像向左平移φ個(gè)單位；若φ＜0，則函數(shù)圖像向右平移|φ|個(gè)單位.同理，也可以得到函數(shù)圖像其他變換的一般化結(jié)論，于是，對(duì)于復(fù)雜的y=Asin（ωx+）圖像變換，只需要分析它的解析式就能準(zhǔn)確找到變換規(guī)律.

毋庸置疑，從解析式入手分析函數(shù)圖像的變換規(guī)律，有助于學(xué)生透過(guò)表象發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像變換的本質(zhì)，并且可以把變換規(guī)則輕易地推廣到其他類型的函數(shù).但這種方法的弊端也是顯而易見(jiàn)的，那就是過(guò)于抽象，若學(xué)生的思維層次沒(méi)有達(dá)到一定的高度是很難理解與掌握的.

二、路在何方？

如果把上述兩種教學(xué)策略有機(jī)地融合在一起，就能夠兼顧圖像的直觀性與解析式的嚴(yán)密性，從而使學(xué)生獲得一個(gè)比較完整的認(rèn)知.但數(shù)形的完美結(jié)合離不開(kāi)媒介的輔助，那么這兩種教學(xué)策略的媒介是什么？

我們知道三角函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中周期運(yùn)動(dòng)的重要模型，尤其是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因此三角函數(shù)又稱為“圓函數(shù)”.從任意角、任意角三角函數(shù)、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式，再到三角函數(shù)圖像，單位圓模型都貫穿其中，無(wú)不體現(xiàn)“圓函數(shù)”特征.因此，單位圓模型才是三角函數(shù)的核心，也是聯(lián)系數(shù)與形的紐帶.于是突破本節(jié)課的難點(diǎn)的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的現(xiàn)實(shí)模型，這樣不僅可以讓學(xué)生理解圖像變換的本質(zhì)，而且可以揭示各個(gè)參數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義.

三、基于單位圓模型的教學(xué)嘗試

1.數(shù)學(xué)模型搭臺(tái)

先復(fù)習(xí)回顧定義闡述三角函數(shù)是刻畫(huà)周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，然后展示現(xiàn)實(shí)生活中勻速圓周運(yùn)動(dòng)的摩天輪畫(huà)面.

問(wèn)題1：如圖1，設(shè)摩天輪的中心與地面距離為h0，其半徑為1，摩天輪按逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為1rad/min（每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)1弧度）.

假如有乘客在摩天輪上的P點(diǎn)處，若P點(diǎn)從圖1中的P0點(diǎn)處開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，則能否計(jì)算出在確定時(shí)間tmin時(shí)，乘客的高度h？

解析：容易得到乘客的高度h=sint

問(wèn)題2：假如乘客在摩天輪上的P點(diǎn)處，若P點(diǎn)從圖2中的P1點(diǎn)處開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，則能否計(jì)算出在確定時(shí)間tmin時(shí)，乘客的高度h？

圖1

圖2

圖3

問(wèn)題3：假如摩天輪的半徑為A，摩天輪按逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ωrad/mim，若從圖3中的P1點(diǎn)處開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，請(qǐng)問(wèn)：在確定時(shí)間tmin時(shí)，乘客的高度h？

解析：此時(shí)乘客的高度為h=Asin（ωt+φ）.

意圖：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模，讓學(xué)生感受函數(shù)y=Asin（ωx+φ）是刻畫(huà)自然界周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，具有豐富的自然背景.借助實(shí)際意義來(lái)加強(qiáng)理解函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像性質(zhì)是自然的、清楚的、明白的.

2.數(shù)形和諧共奏

如圖4，從圖像的視角可以得到：

從解析式的視角可以得到：

意圖：通過(guò)畫(huà)圖，從數(shù)和形兩個(gè)視角感受圖像變換的情況，初步體會(huì)圖像變換的規(guī)則.

問(wèn)題5：對(duì)于上述圖像變換，能否從圓周運(yùn)動(dòng)（摩天輪）的角度給出一個(gè)合理的解釋？

假設(shè)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)A、B，它們都在半徑為1的圓上、以1rad/min的角速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng).因?yàn)樗鼈兊钠瘘c(diǎn)相差rad，角速度均為1rad/min，所以兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相繼經(jīng)過(guò)圓上同一位置的時(shí)間差是定值為min，即從P開(kāi)始運(yùn)1動(dòng)的B點(diǎn)比從P0開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的A點(diǎn)達(dá)到同一位置時(shí)相對(duì)晚了min（同一周期內(nèi)）；相應(yīng)地，函數(shù)y=sinx圖像上的點(diǎn)A與函數(shù)圖像上的點(diǎn)B高度（縱坐標(biāo)）相同時(shí)（同一周期內(nèi)），因?yàn)锽比A晚了所以B點(diǎn)的橫坐標(biāo)要比A點(diǎn)的橫坐標(biāo)大，又因?yàn)辄c(diǎn)A是任意的，所以函數(shù)的圖像可以看成是將函數(shù)y=sinx的圖像向右平移個(gè)單位而得到的.

問(wèn)題6：函數(shù)y=sinx與y=sin（x+φ）的圖像有怎樣的關(guān)系？用摩天輪模型進(jìn)行解釋.

意圖：借助函數(shù)模型，聯(lián)系生活實(shí)際，理解圖像變換的現(xiàn)實(shí)意義，從而加深對(duì)圖像變換本質(zhì)的進(jìn)一步理解.同時(shí)，讓學(xué)生掌握先從熟悉的、特殊的問(wèn)題入手，再類比研究相對(duì)陌生的、一般化的問(wèn)題，最后總結(jié)出研究問(wèn)題的一般方法.

本節(jié)內(nèi)容具有較高的育人價(jià)值，對(duì)于學(xué)生“四基”、“四能”的培養(yǎng)有重要作用，同時(shí)是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要載體.在本節(jié)課中，首先通過(guò)創(chuàng)設(shè)真實(shí)的生活情境，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題；然后，讓學(xué)生在情境中經(jīng)歷建立模型、分析模型的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)；最后，在歸納和驗(yàn)證圖像變換規(guī)則的過(guò)程中，以現(xiàn)實(shí)意義為媒介架起數(shù)與形之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)了直觀想象素養(yǎng)與邏輯推理素養(yǎng)的有效提升.F