數(shù)兮，形兮，相得益彰

李勝捷

【摘要】“數(shù)形結(jié)合”思想是數(shù)學(xué)王國中的一座高峰，千百年來它隨著“數(shù)”與“形”的發(fā)展而不斷豐富、精深.伴著新課程研究實(shí)踐的不斷深入，它不朽的魅力又重現(xiàn)世間.本文通過對(duì)六年級(jí)“數(shù)與形”課例的研究，闡述、推廣“數(shù)形結(jié)合”這一思想，為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展盡一點(diǎn)綿薄之力.

【關(guān)鍵詞】數(shù)；形；數(shù)形結(jié)合；數(shù)感

“數(shù)兮形之所倚，形兮數(shù)之所伏.”一語驚醒夢(mèng)中人……

一、“數(shù)形結(jié)合”之前世今生

夫數(shù)者，世間量之表征也；夫形者，空間形式及其數(shù)量間關(guān)系之稱也.此二者是數(shù)學(xué)王國中最古老，最基本的研究對(duì)象.數(shù)與形既各自開山立派，欣欣向榮，同時(shí)兩者又同氣連枝，相存相依，在一定條件下還可以相互轉(zhuǎn)化、互為印證，聯(lián)系可謂千絲萬縷.這血脈相連的關(guān)系就是我們常說的——數(shù)形結(jié)合.它意蘊(yùn)深厚、源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，其誕生可以追溯到“數(shù)”“形”產(chǎn)生之初.千百年來，后繼者不斷探索它，豐富它，使它成為數(shù)學(xué)王國中的一座高峰.

“數(shù)”“形”在小學(xué)階段分別以“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”為統(tǒng)稱；數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)在總體目標(biāo)中提出：要使學(xué)生“經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和圖形描述現(xiàn)實(shí)世界的過程，建立初步的數(shù)感和符號(hào)感，發(fā)展抽象思維；豐富對(duì)現(xiàn)實(shí)空間及圖形的認(rèn)識(shí)，建立初步的空間觀念，發(fā)展形象思維”.

“數(shù)與形”一課是人教版教科書六年級(jí)上冊(cè)第八單元“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容，其意圖是讓學(xué)生通過數(shù)與形的對(duì)照，探究發(fā)現(xiàn)圖形中隱藏的數(shù)的規(guī)律，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，感受用形來解決數(shù)的有關(guān)問題的直觀性與簡(jiǎn)捷性，并能把數(shù)形結(jié)合的思想遷移到解決其他一些實(shí)際問題，幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展核心素養(yǎng).

二、“數(shù)形結(jié)合”之霧里看花

“數(shù)形結(jié)合”這個(gè)詞語淺顯易懂，即使不是專門從事數(shù)學(xué)教育或研究的人也只能知之大概，但是您真能解釋得清楚它嗎？很難！何故？因?yàn)樗堋靶?“玄”在哪呢？“玄”在它不像“數(shù)”或者“形”那樣是看得見、摸得著、物化的，“數(shù)形結(jié)合”闡釋的是一種聯(lián)系，一種思想，一種策略，古往今來，興許有賞識(shí)它的伯樂，但是更多的時(shí)候我們感覺它還是像鏡中月、水中花那樣，可遠(yuǎn)觀而不可褻玩焉.

于是，一線教師在教學(xué)和反思中常常會(huì)有這樣連串的困擾：第一學(xué)段：“數(shù)形結(jié)合”中是“數(shù)”先，還是“形”先？教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何充分滲透數(shù)形結(jié)合的思想？通過直觀的圖形揭示數(shù)，是否影響了學(xué)生的抽象思維能力？第二學(xué)段：如何在教學(xué)中很好地通過數(shù)抽象出圖形、解決問題？數(shù)學(xué)課堂中能否建立一種（數(shù)—形—數(shù)）或（形—數(shù)—形）的“普世的”數(shù)學(xué)教學(xué)模式？數(shù)形怎樣結(jié)合才能更好地促進(jìn)學(xué)生的主動(dòng)發(fā)展？林林總總，不一而足……

“數(shù)形結(jié)合”在一片紛繁的嘈雜聲中似乎被說得更“玄”了，力挺聲中也夾雜著質(zhì)疑的聲響：難道“數(shù)形結(jié)合”真的這么重要嗎？

三、“數(shù)形結(jié)合”之舍我其誰

數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)有詩曰：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休”.其重要性躍然紙上，筆者結(jié)合六年級(jí)“數(shù)與形”，發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合有如下“三好”.

（一）變“一知半解”為“入木三分”

在課的導(dǎo)入部分，讓孩子說說數(shù)學(xué)是一門怎樣的學(xué)科？孩子們的發(fā)言是松散，碎片式的，教師再出示如下三幅圖，讓孩子說說看到了什么？和數(shù)學(xué)有什么聯(lián)系？從而使形象思維和抽象思維相結(jié)合，也給后進(jìn)的孩子一個(gè)平臺(tái)，使得數(shù)學(xué)研究的對(duì)象“數(shù)”與“形”，以及兩者的聯(lián)系，深入孩子的心田.

【設(shè)計(jì)意圖：新課的導(dǎo)入，聯(lián)系生活，拉近學(xué)生距離.通過舊知，喚起學(xué)生對(duì)數(shù)與形的感知，初步建立數(shù)與形結(jié)合的思想.】

在課的結(jié)束部分，讓孩子說說生活中有哪些數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，教師再舉例子.

【設(shè)計(jì)意圖：適時(shí)地介紹一些小知識(shí)，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的研究興趣.通過回憶舊知，喚起相關(guān)活動(dòng)記憶，溝通本節(jié)課與過去學(xué)習(xí)的內(nèi)在聯(lián)系.讓學(xué)生感受到數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)方法并不陌生，它將一直伴隨著我們的學(xué)習(xí).】

（二）變“機(jī)械學(xué)習(xí)”為“合理建構(gòu)”

在探究例1，發(fā)現(xiàn)規(guī)律中，讓小正方形來拼出更大的正方形，從中發(fā)現(xiàn)數(shù)與形的奧秘.

① 學(xué)生在小組內(nèi)完成學(xué)習(xí)單中的想一想、拼一拼、算一算、議一議.

② 學(xué)生以小組為單位把拼圖呈現(xiàn)在黑板上，并匯報(bào).

結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)算式中的特點(diǎn)：從1開始，連續(xù)奇數(shù)相加，有幾個(gè)這樣的奇數(shù)和就是幾的平方.

2.驗(yàn)證規(guī)律：結(jié)合圖形總結(jié)得出：從1開始連續(xù)奇數(shù)相加，有幾個(gè)這樣的奇數(shù)拼出的圖形就有幾行幾列，也就是幾的平方.

3.寫寫填填.

1+3+5+7=（ ）2

1+3+5+7+9+11+13=（ ）2

=92

請(qǐng)你根據(jù)例1的結(jié)論算一算.

1+3+5+7+5+3+1=（ ）

1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=（ ）

【設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過想一想、拼一拼、算一算、議一議，親歷了從“形”到“數(shù)”的過程，能直觀地發(fā)現(xiàn)“形”與“數(shù)”的關(guān)系.結(jié)合圖形與算式發(fā)現(xiàn)計(jì)算規(guī)律，并且能應(yīng)用規(guī)律來解決一些計(jì)算問題.讓學(xué)生初次體驗(yàn)“形”能直觀解釋“數(shù)”的計(jì)算，從而體驗(yàn)成功的樂趣.】

（三）變“山窮水盡”為“柳暗花明”

數(shù)形結(jié)合，能有效防止“生搬硬套”或“一棵樹上吊死”，能很好地促進(jìn)學(xué)生聯(lián)系實(shí)際，靈活解決數(shù)學(xué)問題.

在學(xué)習(xí)教學(xué)例2中，計(jì)算12+14+18+116+132+164+….單純給孩子們題目，學(xué)生感到無從下手，這時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生畫圓，畫線段，畫正方體，用自己喜歡的方式試著去計(jì)算，就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決問題.

【設(shè)計(jì)意圖：教學(xué)時(shí)，觀察、討論相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生借助不同的幾何圖形解決例題中的代數(shù)問題，把抽象的代數(shù)問題形象化，使其直觀、簡(jiǎn)潔、易懂，使學(xué)生在理解、掌握例題中數(shù)與形關(guān)系的基礎(chǔ)上，充分體會(huì)用數(shù)形結(jié)合方法解決問題的直觀性，感悟數(shù)學(xué)的極限思想.】

綜上三例，我們發(fā)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”思想（方法）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著無可比擬的優(yōu)越性和不可撼動(dòng)的地位，他對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建、數(shù)感的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的獲得都有積極而深遠(yuǎn)的意義.

四、“數(shù)形結(jié)合”之適得其法

數(shù)形結(jié)合雖好，但怎么用卻是很有講究的，用不得法，往往得不到臆想的效果.在教學(xué)過程中，應(yīng)該慎重考慮“先形后數(shù)”還是“先數(shù)后形”.如何把握呢？要根據(jù)教材的特點(diǎn)和學(xué)生的思維水平而定.

1.就教材內(nèi)容而言，對(duì)較新、較難的教學(xué)內(nèi)容、對(duì)學(xué)習(xí)較困難的學(xué)生可先形后數(shù)，借助圖形直觀、形象的特點(diǎn)，來表示數(shù)或數(shù)量之間的關(guān)系；對(duì)后續(xù)教材和較容易理解的內(nèi)容可先數(shù)后形，通過數(shù)來揭示形.

2.就學(xué)生的年齡特征而言.第一學(xué)段學(xué)生是以具體形象思維為主，實(shí)施先形后數(shù)，讓學(xué)生從形中讀懂重要的數(shù)學(xué)信息，并整理信息，提出數(shù)學(xué)問題并加以解決，對(duì)邏輯思維能力較強(qiáng)的第二學(xué)段的學(xué)生，應(yīng)該逐步過渡到先數(shù)后形，如，在教學(xué)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體的拼、截引起的面積變化時(shí)，讓學(xué)生通過畫出直觀圖形，能讓學(xué)生很快找出面的變化，揭示出面積變化的規(guī)律；在教學(xué)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，讓學(xué)生通過準(zhǔn)確的線段圖，很快找出單位“l(fā)”，量和量所對(duì)應(yīng)的分率，確定解題的方法，從而提高學(xué)生的邏輯思維能力和解決數(shù)學(xué)問題的能力.

五、“數(shù)形結(jié)合”之發(fā)揚(yáng)光大

（一）注重在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想

現(xiàn)行教材和《課標(biāo)》，注重了知識(shí)、能力、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)教學(xué)思想的培養(yǎng)，而數(shù)學(xué)思想的核心是數(shù)學(xué)本質(zhì)，要揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，主要闡述知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系、注重規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程、數(shù)學(xué)思想方法的滲透、理性知識(shí)的應(yīng)用等，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解決實(shí)際問題.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重研讀教材、鉆研教材，要充分利用教材中的主題圖，讓學(xué)生通過“形”找出解決問題的“數(shù)”.在平時(shí)的教學(xué)工作中，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)而有效利用教材中的主題圖或其他圖形，從圖中讀懂重要信息，并整理信息，提出問題、分析問題、解決問題增強(qiáng)對(duì)數(shù)形結(jié)合思維模式的認(rèn)知，體會(huì)圖形教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成的意義，注意加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的滲透，關(guān)注學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維能力的提高，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和圖形與空間觀念的認(rèn)知能力.

（二）注重對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合學(xué)習(xí)方式的應(yīng)用指導(dǎo)

在課堂教學(xué)中，數(shù)與形兩者不能截然分開，要做到數(shù)中有形，形中有數(shù)，讓學(xué)生寓知識(shí)于活動(dòng)之中，以形思數(shù)，幫助記憶；數(shù)形對(duì)照，加深理解；數(shù)形聯(lián)系，以利解題；以形載數(shù)，以數(shù)量形；數(shù)形互釋，圖文并茂.把數(shù)形結(jié)合作為培養(yǎng)學(xué)生形象思維能力和邏輯思維能力的終結(jié)目標(biāo).在知識(shí)的形成過程中，突出形象的感覺、形象的儲(chǔ)存、形象的判斷、形象的創(chuàng)造和形象的描述，重視有效的動(dòng)手操作和情境的創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)跟、動(dòng)口，多種感官參加學(xué)習(xí)，使操作、觀察等有機(jī)結(jié)合，激發(fā)學(xué)生多向思維.

（三）注重讓學(xué)生養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的良好習(xí)慣

我們?cè)趯W(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的解決問題、認(rèn)識(shí)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的意義以及加、減、乘、除的意義及計(jì)算時(shí)，在解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，就要求學(xué)生畫出線段圖來.在學(xué)習(xí)了平面圖形、立體圖形以及它們的周長(zhǎng)、面積、表面積、體積發(fā)生變化時(shí)，都要求學(xué)生畫出圖形，用“形”來理解它們的變化，從而再用數(shù)來表示，達(dá)到用“形”來理解“數(shù)”，用“數(shù)”來表示“形”.經(jīng)過長(zhǎng)期的訓(xùn)練，讓學(xué)生養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的好習(xí)慣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和轉(zhuǎn)化能力，達(dá)到數(shù)形統(tǒng)一.

綜上所述，“數(shù)形結(jié)合”是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中一種至關(guān)重要的思想方法，它貫穿于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，它的內(nèi)隱性、彌散性、普遍性使得學(xué)生往往是在“不知不覺地”接受了隱含于其中的教育，在潛移默化中使自己的數(shù)學(xué)構(gòu)建得到提升.正確充分合理地運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想能使學(xué)生更科學(xué)地搭建數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)數(shù)感，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，這對(duì)提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)能起到關(guān)鍵的作用.因此，廣大教育工作者應(yīng)更重視“數(shù)形結(jié)合”思想的研究與實(shí)踐，不斷豐富它的新內(nèi)涵，從而為數(shù)學(xué)教育事業(yè)貢獻(xiàn)自己的綿薄之力.

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