兒童數(shù)學(xué)概念理解的偏移現(xiàn)象與教學(xué)重建

孫欣 王乃濤

兒童對數(shù)學(xué)概念的理解水平?jīng)Q定其學(xué)習(xí)效率。受學(xué)習(xí)方式、知識和經(jīng)驗(yàn)等因素的影響，兒童對數(shù)學(xué)概念的理解常會出現(xiàn)認(rèn)知偏移現(xiàn)象。在此，根據(jù)兒童數(shù)學(xué)概念理解偏移的形成與表現(xiàn)，對兒童理解數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，并嘗試用概念原型促感知、概念辨析促形成、概念內(nèi)化促應(yīng)用的教學(xué)策略加以改進(jìn)。

一、兒童數(shù)學(xué)概念理解的偏移表現(xiàn)及成因

1.兒童數(shù)學(xué)概念理解的偏移表現(xiàn)

一是相似概念難以辨別——偏移了概念的本質(zhì)屬性。兒童思維以具象為主，若對抽象概念的外延與內(nèi)涵理解不清，對于相似程度較高的概念，在理解上更易出現(xiàn)偏移和混淆。比如，江蘇教育出版社出版的五年級下冊數(shù)學(xué)教材中“因數(shù)與倍數(shù)”單元出現(xiàn)了一連串的概念：因數(shù)和倍數(shù)、奇數(shù)和偶數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)……對于部分學(xué)生來說，一開始的概念還是清晰的，但隨著相似概念的增加，認(rèn)識也越來越模糊。如學(xué)生對“既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的最小數(shù)是（ ）”這一問題的回答，錯誤率很高。究其原因，是學(xué)生對聯(lián)系緊密、高度相似的概念的理解出現(xiàn)了內(nèi)涵與外延的混淆，繼而導(dǎo)致了辨別錯誤。

二是從屬關(guān)系難以理清——偏移了概念的相互關(guān)系。數(shù)學(xué)概念之間存在緊密聯(lián)系，每個概念都有其上位、下位等多個概念，有些互相關(guān)聯(lián)的概念之間還有從屬或包含的關(guān)系。比如，方程是含有未知數(shù)的等式，而等式又包含方程，在判斷“等式都是方程”“方程都是等式”這兩個問題時，總會有一些學(xué)生出現(xiàn)錯誤。這是因?yàn)樗麄冞€難以辨別具有從屬關(guān)系的概念。

三是概念歸納難以表述——偏移了概念的言語內(nèi)涵。形成概念的前提是概括，只有具備一定的概括能力，才能在不同的事物中找到相同的屬性，進(jìn)而抓住事物的本質(zhì)內(nèi)涵。例如，人民教育出版社出版的六年級上冊教材中“圓的認(rèn)識”一課，學(xué)生在歸納直徑概念時，經(jīng)常會出現(xiàn)“從圓的一邊畫到另一邊”的說法，沒有提到通過圓心這一要素。這說明兒童在用語言表達(dá)概念內(nèi)涵時，存在一定困難。

四是知識網(wǎng)絡(luò)難以建構(gòu)——偏移了概念的結(jié)構(gòu)關(guān)系。兒童對交叉狀概念體系的建構(gòu)相對困難。比如，三角形按角分類和按邊分類是兩種不同的方法，兒童對這兩種分類的認(rèn)識容易出現(xiàn)交叉，會產(chǎn)生“銳角三角形就是等邊三角形”的誤解，體現(xiàn)出學(xué)生在概念結(jié)構(gòu)體系辨別方面的能力不足。

2.兒童數(shù)學(xué)概念理解偏移的成因

一是兒童思維能力欠缺，局限了理解層級的發(fā)展。兒童對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)大致可分為四個層級，即直接表達(dá)、列舉例子、描述事實(shí)和邏輯定義。兒童受認(rèn)知水平的限制，在層級轉(zhuǎn)換和遞進(jìn)的過程中，會有超前或滯后的情況發(fā)生，導(dǎo)致出現(xiàn)認(rèn)知差異或錯誤。

二是教師的育人價值窄化，致使教學(xué)目標(biāo)的定位產(chǎn)生偏差。有的教師把概念教學(xué)直接定位為知識傳遞，這是對定義的文字記憶，窄化了數(shù)學(xué)概念教學(xué)的育人價值，使教學(xué)定位出現(xiàn)偏差，導(dǎo)致兒童思維被動、僵化，難以提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三是教師本體性知識的缺失，造成概念內(nèi)涵把握不準(zhǔn)。數(shù)學(xué)概念通常分為自發(fā)形成的自然概念和人為規(guī)定的人工概念?？茖W(xué)的數(shù)學(xué)概念，濃縮了簡短而抽象的對象的本質(zhì)屬性。有些教師學(xué)科本體性知識不夠完備，故對概念內(nèi)涵的解讀產(chǎn)生了偏差。

四是對單一概念的孤立認(rèn)知，隱藏了概念的關(guān)系結(jié)構(gòu)。R·斯根普提出了兩種數(shù)學(xué)理解方式：工具性理解和關(guān)系性理解。工具性理解關(guān)注的是“怎么做”，關(guān)系性理解關(guān)注“是什么”和“為什么”。教材中的內(nèi)容編排有時是點(diǎn)狀的，隱藏了概念與概念之間的關(guān)系，導(dǎo)致師生概念認(rèn)識的單一，對新概念、新符號的認(rèn)識囿于字面的表述，一旦變換情境，就束手無策了。

二、數(shù)學(xué)概念童化理解的基本特點(diǎn)

一是猜想的直接性。數(shù)學(xué)概念的信息和順序會在頭腦中形成“自然結(jié)構(gòu)”，大腦會對概念信息進(jìn)行調(diào)整、加工、輸出。但對于大腦還處于發(fā)育階段的兒童來說，對抽象概念的理解相對困難，往往表現(xiàn)出類似直接猜想的過程。

二是思維的直覺性。愛因斯坦說，真正可貴的因素是直覺思維。兒童對數(shù)學(xué)概念的理解，往往是從實(shí)物、圖形、操作開始，在概念的形成過程中具有典型的直覺性，還不能完全脫離數(shù)學(xué)原型展開邏輯思考，是一種非邏輯推理形成的概念。

三是感知的具象化。兒童思維正處于從形象向抽象過渡的階段，他們需要將抽象的數(shù)學(xué)概念原理具體化、形象化，往往表現(xiàn)出具象強(qiáng)于抽象的傾向，而在概念表達(dá)與理解時須以具體形象和感知表象為支撐。

四是推理的半邏輯化。兒童概念發(fā)展需經(jīng)歷形象理解、經(jīng)驗(yàn)理解、邏輯理解三個階段，更多的是介于形象理解與抽象理解之間的經(jīng)驗(yàn)理解。這是邏輯理解的萌芽階段，可稱之為概念認(rèn)知的半邏輯化。

三、克服兒童數(shù)學(xué)概念理解偏移的

教學(xué)重建策略

1.抓住對象的原型與表征，形成數(shù)學(xué)概念

一是利用實(shí)物原型，讓學(xué)生感知概念形成的數(shù)學(xué)事實(shí)。許多數(shù)學(xué)概念都是從生活中的實(shí)物原型中抽象出來的。所以，要給兒童多提供實(shí)物，讓他們經(jīng)歷觀察、比較、抽象的過程，形成正確的數(shù)學(xué)概念。例如，在蘇教版六年級“長方體和正方體的認(rèn)識”一課，可讓學(xué)生在課前收集長方體、正方體的物體，并以小組為單位仔細(xì)觀察實(shí)物的面、棱、頂點(diǎn)，思考它們分別有什么特點(diǎn)，感知它們與生活的密切關(guān)系，為概念的形成做好鋪墊。

二是還原經(jīng)驗(yàn)原型，讓學(xué)生找到新舊概念之間的聯(lián)系。新的概念是已有概念的延伸與發(fā)展。教學(xué)時，可以借助學(xué)生已掌握的概念，引申出新的數(shù)學(xué)概念，幫助學(xué)生了解新舊概念之間的聯(lián)系。例如，在蘇教版五年級下冊“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”一課，可先回顧因數(shù)概念，找一些數(shù)的因數(shù)，再聚焦到因數(shù)的個數(shù)上。通過關(guān)注質(zhì)數(shù)與合數(shù)的核心內(nèi)涵——因數(shù)的個數(shù)，來激活概念學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)原型，為新概念的建立找到合適的路徑。

三是透過操作原型，讓學(xué)生建立概念形成的內(nèi)在表征。概念學(xué)習(xí)離不開知識表征。教學(xué)時，可通過操作活動來感知概念，幫助兒童建立清晰的表象，為理解概念內(nèi)涵奠定基礎(chǔ)。如教學(xué)“平行”概念時，可讓兒童橫對折、豎對折長方形紙，讓他們經(jīng)過觀察，知道同一方向的折痕是互相平行的，垂直于同一條直線的兩條折痕也互相平行。這樣，通過用多種方式建立平行線的表象，形成概念的內(nèi)在表征。

2.扣住關(guān)鍵核心，理解辨析數(shù)學(xué)概念

一是透析本質(zhì)屬性。數(shù)學(xué)概念的建立，要通過觀察、比較，從諸多事物中發(fā)現(xiàn)共同屬性，引導(dǎo)兒童區(qū)別事物的本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性，形成正確的概念。如蘇教版三年級上冊的“認(rèn)識幾分之一”一課，可出示平均或不平均的圖形（分成2份、3份、4份），讓學(xué)生經(jīng)歷兩級分類，“先按是否平均來分、再按份數(shù)來分”和“先按份數(shù)來分、再按是否平均來分”，其結(jié)果相同，揭示的是每類屬性相同的概念本質(zhì)。

二是緊扣核心概念。有些數(shù)學(xué)概念屬于群概念，在群或組概念中至少有一個核心概念。教學(xué)時，需緊扣核心概念的建立，促進(jìn)兒童的數(shù)學(xué)理解。如在小數(shù)（純小數(shù)、混小數(shù)、循環(huán)小數(shù)和不循環(huán)小數(shù)）這一概念群中，小數(shù)屬于核心概念，讓兒童通過深入理解小數(shù)的意義來理解其他概念的意義，促進(jìn)其對概念的深刻理解。

三是理解臨近概念。兒童在數(shù)學(xué)概念的形成與理解過程中，常常不能很快接近教科書的正確概念，而是會對概念形成表征性認(rèn)知，即臨近概念。如蘇教版五年級下冊“分?jǐn)?shù)的意義”一課，學(xué)生對單位“1”的認(rèn)知，是從一個圖形、一個整體或一個計(jì)量單位進(jìn)行平均分開始的，若讓學(xué)生用一句話（概念）進(jìn)行概括時，就會出現(xiàn)多種多樣的答案：一些物體、一些物體和圖形、用來平均分的物體和圖形、一個整體、一個單位等，少數(shù)已經(jīng)預(yù)習(xí)過的學(xué)生會說是“單位1”。學(xué)生在概括與總結(jié)時形成的這些認(rèn)識會逐步逼近正確概念，教師必須尊重學(xué)生基于自身理解水平的表達(dá)，才能促進(jìn)他們對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識。

3.建立整體結(jié)構(gòu)，內(nèi)化應(yīng)用數(shù)學(xué)概念

一是優(yōu)化序列：在認(rèn)知邊界處突破。概念的形成需要經(jīng)歷認(rèn)知順序，逐步抵達(dá)其核心元素。教師要引發(fā)學(xué)生進(jìn)行序列思考，逐步建構(gòu)對概念的理解。如蘇教版六年級上冊的“認(rèn)識體積和容積”一課，對于體積的概念，如果教師直接讓學(xué)生去感受物體所占空間的大小，就比較抽象，較難理解。對此，教師應(yīng)按照“空間—物體占有空間—物體占有的空間有大有小”的認(rèn)知序列，展示體積概念的邏輯線索，在學(xué)生認(rèn)知的邊界處突破，建構(gòu)完整的概念。

二是變式理解：在認(rèn)知原點(diǎn)處回歸。獲得概念表征或多角度認(rèn)識概念需要選擇認(rèn)知路徑。當(dāng)學(xué)生正確理解了概念的內(nèi)涵后，教師要進(jìn)行變式訓(xùn)練或思考反例，幫助他們深刻理解概念的本質(zhì)屬性。例如，在蘇教版三年級上冊“軸對稱圖形”一課，當(dāng)學(xué)生通過對折蝴蝶、天安門、飛機(jī)等圖片概括出軸對稱圖形的概念后，教師可出示三角形（一般三角形、等腰三角形、等邊三角形）、長方形、正方形、平行四邊形等圖形，讓學(xué)生討論哪些是軸對稱圖形。當(dāng)出現(xiàn)爭議時，要引導(dǎo)學(xué)生重讀概念，回到概念原點(diǎn)進(jìn)行辨析，重新明晰概念的核心——對折后兩部分能夠“完全重合”，這樣更有利于糾正錯誤認(rèn)識，凸顯概念本質(zhì)。

三是整體建構(gòu)——在認(rèn)知節(jié)點(diǎn)處關(guān)聯(lián)。概念結(jié)構(gòu)越清晰，形成的認(rèn)識就越深刻。教師要引導(dǎo)學(xué)生理清脈絡(luò)，整體建構(gòu)，避免單一、孤立地理解某一個概念?？梢酝ㄟ^羅列、繪圖等加工整理的方式，建構(gòu)概念體系，生成結(jié)構(gòu)圖，促進(jìn)概念之間的關(guān)系理解。如蘇教版五年級下冊“因數(shù)與倍數(shù)”單元，教師可讓學(xué)生通過畫網(wǎng)絡(luò)圖尋找新舊概念之間的關(guān)聯(lián)，從而形成整體認(rèn)知，化解難點(diǎn)。在學(xué)習(xí)新概念后，明確概念之間或順承或并列的聯(lián)系，整理出相關(guān)的上、下位概念與并列概念，建構(gòu)并不斷更新符合兒童學(xué)習(xí)心理的數(shù)學(xué)概念網(wǎng)絡(luò)，提升他們的數(shù)學(xué)理解能力。

（責(zé)任編輯 郭向和）