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    代數(shù)與幾何齊飛
    ——破解高考解析幾何中的定值、定點(diǎn)問(wèn)題

    2019-03-27 06:02:32
    數(shù)理化解題研究 2019年7期
    關(guān)鍵詞:雙曲線定值拋物線

    夏 錦

    (浙江省余姚市第四中學(xué) 315400)

    浙江省高考數(shù)學(xué)文理合卷之后,采取“放低起點(diǎn),減緩坡度,增加層次”的命題策略,體現(xiàn)“育人與選拔兼顧,區(qū)分與導(dǎo)向兼顧”的命題策略,彰顯“文科的韻味,理科的深度”的命題特色.而對(duì)于解析幾何中定值與定點(diǎn)問(wèn)題則是高考題中的寵兒之一,由于這類題型它在解題之前不知道定值與定點(diǎn)的結(jié)果,對(duì)學(xué)生而言解題有相當(dāng)大的難度.解決這類問(wèn)題時(shí),要善于在動(dòng)點(diǎn)的“變”中尋求定值的“不變”性,常用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊圖形等)先確定出定值與定點(diǎn),再轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題,從而達(dá)到解決問(wèn)題的方法.

    一、定值問(wèn)題

    (1)求雙曲線C的方程;

    (2)設(shè)直線l是圓O:x2+y2=2上動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)(x0,y0≠0)處的切線,l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A,B,證明∠AOB的大小為定值.

    二、定點(diǎn)或三線共點(diǎn)問(wèn)題

    分析要證明線段AC的垂直平分線經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn),只要求出該直線系,再證此直線系通過(guò)某定點(diǎn).

    三、存在型定值(或定點(diǎn))

    例3 (全國(guó)卷Ⅲ) 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)在拋物線y=2x2上,l是AB的垂直平分線,(Ⅰ)當(dāng)且僅當(dāng)x1+x2取何值時(shí),直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F?證明你的結(jié)論.

    四、定曲線

    (1)求橢圓C的方程;

    由于A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓C上,將①,②分別代入C的方程x2+2y2=4,整理得

    (x2+2y2-4)λ2-4(2x+y-2)λ+14=0③,

    (x2+2y2-4)λ2+4(2x+y-2)λ+14=0④.

    ④-③得8(2x+y-2)λ=0.

    ∵λ≠0,∴2x+y-2=0,即點(diǎn)Q(x,y)總在定直線2x+y-2=0上.

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