數(shù)學(xué)定理的重要性及其應(yīng)用

黃欽

【摘要】勾股定理理論通俗易懂，但它也有著非常悠久的歷史，在我國(guó)有關(guān)勾股定理的公式記載追溯到周朝時(shí)期。本文以勾股定理為主要研究對(duì)象，闡述其歷史發(fā)展，分析它在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，證實(shí)它對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性。

【關(guān)鍵詞】勾股定理 數(shù)學(xué)應(yīng)用 重要性

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）04-0233-02

引言

勾股定理（Pythagoras Theorem）是數(shù)學(xué)界的重要內(nèi)容，作為一個(gè)基本的幾何定理，在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是非常常見(jiàn)的知識(shí)點(diǎn)。它用來(lái)解決直角三角形三邊長(zhǎng)度問(wèn)題——直角三角形的兩條直角邊的平方和相加等于其斜邊的平方數(shù)。用公式表示為：a2+b2=c2，如右圖所示：

至于叫“勾股”定理的原因，是在我國(guó)古代把直角三角形稱作勾股形，對(duì)其三邊有固定的名稱，直角邊中較短的一邊稱為勾，較長(zhǎng)的稱股，斜邊稱弦。

據(jù)黃家禮編著的幾何內(nèi)容得知，目前，勾股定理有近500種證明方式。不僅是數(shù)學(xué)中擁有最多證明方法的定理之一，而且是人類早期就發(fā)現(xiàn)并加以證明的定理之一。

一、勾股定理的歷史發(fā)展

（一）國(guó)內(nèi)的歷史脈絡(luò)

根據(jù)《第三屆數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育國(guó)際研討會(huì)論文集》中王西辭和王耀楊對(duì)“勾股定理及其相關(guān)歷史發(fā)展”研究中表明，我國(guó)歷史上有關(guān)勾股定理的討論和證明就有相當(dāng)多的記載。例如，劉徽所注的我國(guó)數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》里的勾股章節(jié)中，將勾股定理表述為“勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，即弦”（p. 85）；又如我國(guó)中算家還利用“弦圖”和“青卷白表”圖，推算出各種數(shù)學(xué)關(guān)系，“今有戶不知高廣，竿不知長(zhǎng)短。橫之不出四尺；從之不出二尺；邪之適出。問(wèn)戶高、廣、衺各幾何？”（p. 86）。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，我國(guó)在公元前十一世紀(jì)左右，即周朝期間，就有數(shù)學(xué)家商高提出了勾股定理，表述成我們今日常見(jiàn)的“勾三、股四、弦五”。尤其據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，商高原話為，“…故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，意思是直角三角形三邊關(guān)系為：直角短邊為3，長(zhǎng)邊為4時(shí)，斜邊則為5。故后人也將勾股定理稱為商高定理。

后來(lái)，三國(guó)時(shí)期的趙爽對(duì)勾股定理進(jìn)一步注釋，而且給出了勾股定理的證明方法。據(jù)李明凱研究，后期的劉徽所注的《九章算術(shù)》中，也給出了勾股定理的詳細(xì)證明。直至清朝末期，著名數(shù)學(xué)家華蘅芳對(duì)勾股定理頗有研究，證明方法超過(guò)20種。

（二）國(guó)外的發(fā)展?fàn)顩r

同樣地，勾股定理在國(guó)外也有相當(dāng)長(zhǎng)的歷史。大約在公元前三千年時(shí)，古巴比倫人就已經(jīng)知道并開(kāi)始應(yīng)用勾股定理，除此之外，他們還對(duì)勾股數(shù)組有一定的研究。李明凱研究發(fā)現(xiàn)，在美國(guó)哥倫比亞大學(xué)的圖書(shū)館中就珍藏著一塊古巴比倫泥板，編號(hào)為“普林頓322”，記載了不少的勾股數(shù)。除了古巴比倫人，古埃及人也對(duì)勾股定理有所研究。譬如，他們?cè)诮鹱炙脑O(shè)計(jì)和建筑過(guò)程中，還有在尼羅河水災(zāi)泛濫的時(shí)候需要測(cè)量土地時(shí)，都曾運(yùn)用過(guò)勾股定理（p. 33）。

同時(shí)，古希臘也對(duì)勾股定理有重要研究。在西方公元前六世紀(jì)左右，希臘知名的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)明了他的勾股定理證法，西方人也傾向于把勾股定理稱為畢達(dá)哥拉斯定理。后來(lái)，在古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的著作《幾何原本》中，就對(duì)勾股定理提出了演繹證明的方式。19世紀(jì)時(shí)，加菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的一個(gè)證法，這個(gè)證法被廣泛采用，被稱為加菲爾德證法。

但是王陽(yáng)在中國(guó)社會(huì)科學(xué)報(bào)中表示，“西方學(xué)者一直使用畢達(dá)哥拉斯定理的說(shuō)法，少有勾股定理的用法”。雖然中西方對(duì)于勾股定理的認(rèn)識(shí)和證明思路各有千秋，但都值得肯定和認(rèn)可。

二、勾股定理的證法

（一）勾股定理的中方證法

中國(guó)對(duì)勾股定理的認(rèn)識(shí)與“勾三股四弦五”有重要關(guān)聯(lián)，這里簡(jiǎn)單介紹一下勾股定理在中國(guó)國(guó)內(nèi)的證法——?jiǎng)⒒盏摹扒嘀斐鋈雸D”。

我國(guó)數(shù)學(xué)家用直觀圖形的方式進(jìn)行論證，劉徽所注的“青朱出入圖”，利用“割補(bǔ)術(shù)”的數(shù)形關(guān)系加以論證幾何問(wèn)題。該圖被表述為“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類，因就其余不動(dòng)也，合成弦方之冪。開(kāi)方除之，即弦也”。意思是任意的直角三角形，把勾寬當(dāng)紅色正方形（朱方）的邊長(zhǎng)，把股長(zhǎng)當(dāng)青色正方形（青方）的邊長(zhǎng)，把這兩個(gè)正方形對(duì)齊底邊進(jìn)行排列，不用分割線，以盈補(bǔ)虛，那么合成弦的正方形（弦方）開(kāi)方的數(shù)就是弦長(zhǎng)。

（二）勾股定理的西方證法

由此，可以看出，雖然中西方對(duì)于勾股定理的論證各有不同，但是都是將數(shù)字和圖形相結(jié)合，有理有據(jù)，讓勾股定理成為數(shù)學(xué)界的重要內(nèi)容，而且在實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題中有重要應(yīng)用。

三、勾股定理的重要性

勾股定理看似簡(jiǎn)單，卻吸引了無(wú)數(shù)的數(shù)學(xué)家和研究者，甚至是平民百姓對(duì)它加以研究和論證。距今，關(guān)于勾股定理的證法已經(jīng)發(fā)展了大約500種，這是世界上都非常難得的事情。也從側(cè)面證實(shí)了勾股定理的重要意義，不僅是對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展，而且對(duì)生活實(shí)際都有很高的價(jià)值。

首先，它對(duì)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展產(chǎn)生了深刻影響。它的論證過(guò)程通常是數(shù)字和圖形的結(jié)合過(guò)程，將抽象的思維轉(zhuǎn)換成實(shí)際的圖形操作，把數(shù)字和圖像緊密而且有機(jī)地結(jié)合在一起，對(duì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)發(fā)展有不可估量的作用。

其次，它具有廣泛的應(yīng)用性，生活中關(guān)于直角三角形的問(wèn)題，或者相關(guān)定理的變式應(yīng)用都有著重要意義。例如勾股定理是余弦定理中的一種，對(duì)勾股定理的使用和論證能進(jìn)一步推導(dǎo)和論證其他相關(guān)的真命題和定理，方便了對(duì)生活中幾何問(wèn)題的解決。

四、勾股定理的推廣

（一）二維推廣

根據(jù)勾股定理的解釋和論證，可以得出勾股定理的逆定理，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示則是：如果三角形三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，而且滿足條件a2+b2=c2，那么可以得出這個(gè)三角形為直角三角形。運(yùn)用勾股定理的逆定理可以判斷三角形的類型（直角、鈍角或銳角三角形）。

除了逆定理的推廣，還有勾股定理的推廣定理，這點(diǎn)在歐幾里得的《幾何原本》中有重要體現(xiàn)，李明凱把這點(diǎn)表述成“直角三角形斜邊上的一個(gè)直邊形，其面積為兩直角邊上兩個(gè)與之相似的直邊形面積之和”。根據(jù)這個(gè)推廣定理可以用來(lái)計(jì)算線段的長(zhǎng)度問(wèn)題。在生活中也能利用勾股定理對(duì)直角三角形的三邊數(shù)字關(guān)系進(jìn)行套公式計(jì)算。

（二）三維推廣

通過(guò)勾股定理對(duì)直角三角形的分析和理解，將二維平面中線的關(guān)系，推廣到三維空間中面的關(guān)系。肖敏就對(duì)三維空間中的直角四面體的面積關(guān)系進(jìn)行論證，這里只對(duì)特殊情況的證明過(guò)程加以記錄，對(duì)一般情況的直四面體論證可以參看《勾股定理的三維推廣》。特殊情況論證如下：

由此，可以大膽的假設(shè)，三維空間中根據(jù)勾股定理的推廣會(huì)有另一個(gè)定式：“直四面體的側(cè)面面積的平方和等于其底面面積的平方”。

五、勾股定理的應(yīng)用

除了推廣公式和定理，勾股定理在數(shù)學(xué)解題中也有重要應(yīng)用，可以幫助解決中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多難題，譬如可以用來(lái)輔助解決線段長(zhǎng)度問(wèn)題和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，近年來(lái)成為高考中的常見(jiàn)題型，可以說(shuō)熟練掌握了勾股定理，對(duì)考試中幾何問(wèn)題的分?jǐn)?shù)提高有十分重要的意義。

拿黃日坤分析勾股定理在解決線段長(zhǎng)度的問(wèn)題為例，簡(jiǎn)單介紹勾股定理在數(shù)學(xué)解題中的實(shí)際應(yīng)用，直觀感受勾股定理的魅力和實(shí)用性。

由此可以看出，勾股定理在數(shù)學(xué)中有極為重要的應(yīng)用，一個(gè)定理能有效幫助解決相關(guān)數(shù)學(xué)難題，更注意到數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)和數(shù)學(xué)與圖形結(jié)合和轉(zhuǎn)換的重要性。

六、總結(jié)

綜上所述，勾股定理在中西方發(fā)展都具有非常悠久的歷史，譬如中國(guó)的《九章算術(shù)》和西方的《幾何原本》都對(duì)該定理做了詳細(xì)的介紹和論證。定理內(nèi)容簡(jiǎn)單，直角三角形直角邊的平方和等于斜邊的平方，但有著非常實(shí)際的用途。不僅能在二維平面推廣逆定理和推廣定理，還能在三維空間進(jìn)行直四面體的面積和推廣，在數(shù)學(xué)解題中更是發(fā)揮重要的輔助作用?？偠灾?，勾股定理對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展和實(shí)際應(yīng)用有著重要意義，未來(lái)還將繼續(xù)發(fā)揮作用，為數(shù)學(xué)發(fā)展做出貢獻(xiàn)。

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