基于矩陣奇異值分解約束型無(wú)跡粒子濾波的滑坡位移預(yù)測(cè)模型研究

李麗敏, 溫宗周, 董勛凱, 王 真, 張陽(yáng)陽(yáng), 李 璐

(西安工程大學(xué) 電子信息學(xué)院, 陜西 西安710048)

開展滑坡災(zāi)害預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)研究是當(dāng)今國(guó)際滑坡災(zāi)害研究和環(huán)境地質(zhì)研究領(lǐng)域的前沿課題，是最大化減少和降低地質(zhì)災(zāi)害發(fā)生對(duì)人民生命財(cái)產(chǎn)造成危害的有效途徑之一，具有重要的理論意義和實(shí)際意義[1]。《全國(guó)地質(zhì)災(zāi)害防治“十三五”規(guī)劃》明確提出進(jìn)一步完善調(diào)查評(píng)價(jià)、監(jiān)測(cè)預(yù)警、綜合治理、應(yīng)急防治四大體系，充分依靠科技進(jìn)步和管理創(chuàng)新，加強(qiáng)統(tǒng)籌協(xié)調(diào)，提高防治效率，全面提升基層地質(zhì)災(zāi)害防治能力，最大限度地避免和減少地質(zhì)災(zāi)害造成的人員傷亡和財(cái)產(chǎn)損失[2]。

在眾多滑坡監(jiān)測(cè)參數(shù)中，位移是最直觀、變化趨勢(shì)最容易觀測(cè)的一個(gè)參數(shù)，對(duì)其進(jìn)行有效監(jiān)測(cè)和趨勢(shì)分析，能夠提升地質(zhì)災(zāi)害預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確性[3]。位移預(yù)測(cè)方法隸屬于時(shí)序預(yù)測(cè)方法，目前時(shí)序預(yù)測(cè)方法主要分為兩類，一類是基于模型的方法，該類方法的應(yīng)用前提是已知對(duì)象模型，一旦模型已知，便能精確預(yù)測(cè)，但問(wèn)題是很多非線性系統(tǒng)的模型建立困難，則比較難實(shí)施該種方法[4-8]；另外一類是基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法，原理是從數(shù)據(jù)中總結(jié)出規(guī)律然后再進(jìn)行預(yù)測(cè)，事實(shí)證明該類方法魯棒性比較差[9-12]。粒子濾波方法屬于后者，粒子濾波是基于蒙特卡洛方法產(chǎn)生的，優(yōu)點(diǎn)是它考慮了對(duì)于狀態(tài)的后驗(yàn)分布的完全表示，使得任何的統(tǒng)計(jì)估計(jì)都能夠被計(jì)算，因此它可以擬合任何的非線性或非高斯分布數(shù)據(jù)[13]。但由于粒子濾波依賴于重要性采樣，因此首先需要設(shè)計(jì)出能夠很貼切的近似狀態(tài)后驗(yàn)分布的先驗(yàn)分布。最常用的方法是從狀態(tài)演化的概率模型中采樣，但是如果新的觀測(cè)出現(xiàn)在這個(gè)先驗(yàn)的末尾處，或者如果這個(gè)似然值與先驗(yàn)值比較起來(lái)差別很大，方法就會(huì)失效。

為改善粒子濾波用于位移預(yù)測(cè)時(shí)的性能，de Freitas[14],付杰[15]，劉超云等[16]提出將擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)方法融入到粒子濾波方法中，將EKF替代原來(lái)粒子濾波中的先驗(yàn)分布；Merwe等[17]將無(wú)跡卡爾曼濾波(UKF)方法與粒子濾波方法進(jìn)行結(jié)合，結(jié)果表明該方法比上述方法精度更高，將其稱為無(wú)跡粒子濾波(UPF)方法；但無(wú)跡粒子濾波算法在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)矩陣是奇異值時(shí)，用一般的UT變換計(jì)算會(huì)有求解困難，會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果不準(zhǔn)確。為了改善該算法，本文提出將SVD方法引入到無(wú)跡粒子濾波算法中，解決上述問(wèn)題[18]。

1 SVD約束型UPF算法

1.1 UPF算法

無(wú)跡粒子濾波算法步驟如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(2) 在時(shí)刻t=1,2,…時(shí)的計(jì)算。

①重要性采樣

對(duì)于i=1,…,N，用UPF方法更新粒子：

a 計(jì)算sigma點(diǎn)。

(5)

b 時(shí)間更新。

c 測(cè)量更新。

④輸出結(jié)果同一般算法。

1.2 SVD約束下的UPF算法

UPF算法在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)公式(5)中矩陣Pt-1是奇異值時(shí)，用一般的UT變換計(jì)算公式(5)會(huì)出現(xiàn)魯棒性不強(qiáng)的缺陷。奇異值分解(SVD)是一種可以將耦合變量進(jìn)行分解方法，本文中將它作為無(wú)跡粒子濾波方法的約束條件，使輸入的Pt-1首先被分解，從分解后的結(jié)果中提取特征值，這些特征值即能夠代表原始數(shù)據(jù)，而且它的特點(diǎn)是具有很強(qiáng)的魯棒性，因此用這些特征值來(lái)代替Pt-1，使得所有數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)公式(5)都能夠被有效開平方。具體步驟為：

(1) 計(jì)算特征協(xié)方差矩陣的奇異值分解結(jié)果，獲得對(duì)應(yīng)的特征值：

(6)

式中：U——左奇異向量，其中包含向量之間的關(guān)系是正交的；S——奇異值矩陣，其中的元素除了對(duì)角線之外都為零；V——右奇異向量。如果公式(6)中的協(xié)方差矩陣P的維數(shù)是m×n，則U是m×m的，S是m×n的，V是n×n的。這3個(gè)矩陣的計(jì)算過(guò)程如下：

(2) 利用上述結(jié)果，重新求解sigma點(diǎn)：

(7)

(8)

式中：Uj,t-1和Sj,t-1——第j個(gè)樣本的特征向量和特征值；σ——尺度參數(shù)。

2 仿真分析與比較

測(cè)試數(shù)據(jù)來(lái)源于鎮(zhèn)江市跑馬山滑坡體監(jiān)測(cè)工程[19]以及京港澳高速公路雨花互通南側(cè)護(hù)坡體滑坡監(jiān)測(cè)工程[16]。選擇這兩組測(cè)試數(shù)據(jù)的原因在于，其都是針對(duì)滑坡位移進(jìn)行監(jiān)測(cè)的，有利于本文算法的有效驗(yàn)證；而且這兩組測(cè)試數(shù)據(jù)的位移變化趨勢(shì)都比較明顯，有利于并列比較本文算法。

2.1 基于鎮(zhèn)江市跑馬山滑坡體監(jiān)測(cè)工程數(shù)據(jù)的滑坡位移預(yù)測(cè)仿真

鎮(zhèn)江市由于周邊屬于特殊的丘陵、崗地地貌，所以時(shí)常會(huì)遭遇到滑坡的危害，調(diào)查結(jié)果表明，目前鎮(zhèn)江市滑坡災(zāi)害點(diǎn)200多處，其中較大面積的72處，災(zāi)害面積約5.00×104m2，影響范圍約1.50×105m2[19]。跑馬山滑坡的失穩(wěn)模式屬于滑移—拉裂式，對(duì)于這種失穩(wěn)模式的邊坡，一般選擇其后緣主拉裂縫附近的位移監(jiān)測(cè)點(diǎn)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)，本文選取監(jiān)測(cè)點(diǎn)7的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)研究(圖1)。

圖1 鎮(zhèn)江市跑馬山滑坡體7號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位移特征

從2016年6月29日0時(shí)到2016年7月5日16時(shí)，每隔4 h監(jiān)測(cè)1次7號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位移，共獲得了位移演化過(guò)程數(shù)據(jù)40個(gè)。如圖1所示為鎮(zhèn)江跑馬山滑坡體7號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位移數(shù)據(jù)，從曲線趨勢(shì)可以看出，山體位移在逐漸增加，如果能夠提前1步或者多步預(yù)測(cè)出位移的變化，則可以有效對(duì)滑坡進(jìn)行預(yù)報(bào)。分別采用UPF方法和本文方法對(duì)相同的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行位移預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如圖2所示。

為量化其性能對(duì)比結(jié)果，通過(guò)選擇預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)指標(biāo)中的3個(gè)指標(biāo)，來(lái)測(cè)試算法性能，計(jì)算結(jié)果詳見表1。通過(guò)表1的結(jié)果分析可知，本方法能有效提示UPF算法的魯棒性，并降低預(yù)測(cè)誤差。

圖2 UPF方法和SVD約束UPF算法預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比表1 SVD約束UPF與UPF方法在滑坡位移預(yù)測(cè)的性能比較

預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)指標(biāo)方法1(UPF)方法2(SVD約束UPF)估計(jì)誤差 -2.736 0-2.731 1均方根誤差均值5.606 5 e+035.606 3 e+03均方根誤差方差4.143 4 e+074.143 1 e+07

2.2 京港澳高速公路雨花互通南側(cè)護(hù)坡體滑坡監(jiān)測(cè)工程的滑坡位移預(yù)測(cè)仿真

京港澳高速公路雨花互通南側(cè)護(hù)坡體滑坡監(jiān)測(cè)工程共布設(shè)4組位移傳感器[16]。測(cè)試數(shù)據(jù)選取在2012年1月5日至2012年12月20日間3個(gè)位移傳感器數(shù)據(jù)，即SHZ1-02—SHZ1-04(如表2所示)。

表2 京港澳高速某滑坡體路段位移監(jiān)測(cè)原始數(shù)據(jù)[16]

利用本文方法進(jìn)行滑坡位移的預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如圖3所示。通過(guò)圖3可以看出，本方法能夠有效預(yù)測(cè)滑坡位移變化趨勢(shì)，并通過(guò)與UPF算法性能進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)本文方法具有更強(qiáng)的魯棒性。為比較預(yù)測(cè)結(jié)果的量化性能，利用公式(16)—(19)對(duì)上述3組預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行仿真對(duì)比，兩種算法仿真誤差比較結(jié)果如表3所示。

注：IUPF為在SVD約束下的UPF算法。圖3 SHZ1-02-SHZ1-04位移預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比表3 SVD約束UPF與UPF方法在滑坡位移預(yù)測(cè)的性能比較

傳感器預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)指標(biāo)UPF IUPF 估計(jì)誤差 2.506 21.235 4SHZ1-02均方根誤差均值4.214 8 e+033.587 6 e+03均方根誤差方差5.231 7 e+072.314 8 e+07估計(jì)誤差 -2.325 8-1.254 6SHZ1-03均方根誤差均值5.654 5 e+032.312 8 e+03均方根誤差方差3.269 8 e+071.369 7 e+07估計(jì)誤差 3.232 52.254 8SHZ1-04均方根誤差均值2.322 1 e+031.225 6 e+03均方根誤差方差5.369 7 e+074.258 7 e+07

注：針對(duì)京港澳高速某滑坡體路段位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)。

從表3可以看出，SVD約束型UPF算法(IUPF)在預(yù)報(bào)滑坡位移時(shí)比一般的UPF算法誤差更小，魯棒性更強(qiáng)，對(duì)于進(jìn)一步預(yù)報(bào)模型的建立起到非常重要的輔助作用。

3 討論與結(jié)論

(1) 對(duì)鎮(zhèn)江市跑馬鎮(zhèn)滑坡監(jiān)測(cè)工程中獲得的7號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的40個(gè)位移數(shù)據(jù)，應(yīng)用UPF算法和IUPF算法進(jìn)行1步預(yù)測(cè)，采用絕對(duì)誤差、均方根誤差平均值和均方根誤差方差3個(gè)指標(biāo)衡量2種算法的魯棒性，從指標(biāo)比較可以得到IUPF算法優(yōu)于UPF算法，提升了UPF算法應(yīng)用于滑坡預(yù)報(bào)時(shí)的準(zhǔn)確率。

(2) 為驗(yàn)證算法的適用性，將該算法應(yīng)用于京港澳高速公路雨花互通南側(cè)護(hù)坡體滑坡監(jiān)測(cè)工程的位移預(yù)測(cè)，對(duì)3個(gè)傳感器采集到的不同位置的位移進(jìn)行1步預(yù)測(cè)，同樣采用絕對(duì)誤差、均方根誤差平均值和均方根誤差方差3個(gè)指標(biāo)衡量2種算法的魯棒性，從指標(biāo)比較可以得到IUPF算法優(yōu)于UPF算法，說(shuō)明IUPF算法不但可以提升UPF算法的魯棒性，對(duì)于不同數(shù)據(jù)也具有適用性。

(3) 本文首次將無(wú)跡粒子濾波算法應(yīng)用于滑坡災(zāi)害的預(yù)報(bào)中，為準(zhǔn)確的滑坡預(yù)測(cè)奠定了一定的理論基礎(chǔ)，在位移能夠準(zhǔn)備預(yù)報(bào)的基礎(chǔ)上，可以開展關(guān)于滑坡發(fā)生時(shí)間準(zhǔn)確預(yù)報(bào)的相關(guān)研究。