基于Neumann展開隨機(jī)有限元的混凝土重力壩結(jié)構(gòu)可靠度分析

程 井,韋錦鵬,李宗樾,李培聰

(1.河海大學(xué)水利水電學(xué)院,江蘇 南京 210098; 2.貴州省大壩安全監(jiān)測中心,貴州 貴陽 550002)

盡可能地模擬真實(shí)情況并對結(jié)構(gòu)的各種不確定性進(jìn)行量化分析,一直是結(jié)構(gòu)仿真分析的核心任務(wù)。早期水工結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中一般采用安全系數(shù)方法來考慮結(jié)構(gòu)的安全性。隨著隨機(jī)力學(xué)的發(fā)展,視材料參數(shù)為隨機(jī)變量的可靠度理論如一次二階矩、驗(yàn)算點(diǎn)法、響應(yīng)面法等方法逐漸應(yīng)用于水工結(jié)構(gòu),使得結(jié)構(gòu)安全評價(jià)更為準(zhǔn)確[1]。然而實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的材料特性是隨時(shí)空分布的隨機(jī)場,傳統(tǒng)隨機(jī)變量模型假定研究尺度內(nèi)任意兩點(diǎn)處的參數(shù)之間完全相關(guān),這種假定對于很多情況可能會(huì)導(dǎo)致較大的偏差。因此,為了更準(zhǔn)確地估計(jì)結(jié)構(gòu)的可靠度,須建立參數(shù)的隨機(jī)場并運(yùn)用隨機(jī)有限元方法來求解[2-3]。

隨機(jī)有限元產(chǎn)生于20世紀(jì)70年代左右,主要分為蒙特卡洛(Monte-Carlo)隨機(jī)有限元法、泰勒展開隨機(jī)有限元法、攝動(dòng)隨機(jī)有限元法等[4]。1972年Shinozuka[5]將有限元與Monte-Carlo方法相結(jié)合進(jìn)行分析。隨后,Dendrou等[6]在研究巖土工程中的不確定性問題時(shí),將位移響應(yīng)量在隨機(jī)變量的均值點(diǎn)處進(jìn)行泰勒展開并計(jì)算位移的一、二階響應(yīng)量。1981年,Hisada等[7]提出了攝動(dòng)隨機(jī)有限元法,該方法考慮隨機(jī)變量在均值點(diǎn)的微小攝動(dòng),代入有限元方程進(jìn)而推導(dǎo)出位移的均值與方差。我國楊杰等[8]研究了攝動(dòng)的變分列式解的存在性和唯一性,并給出了明確的誤差界,指出了攝動(dòng)隨機(jī)有限元的適用范圍。李典慶等[9-10]考慮土的空間變異性,運(yùn)用隨機(jī)有限元對土的邊坡可靠性進(jìn)行了分析。單一的Monte-Carlo隨機(jī)有限元法概念簡單,易于實(shí)現(xiàn),且不受隨機(jī)變量波動(dòng)范圍以及結(jié)構(gòu)的影響,但計(jì)算量十分大,不適用于大型工程的計(jì)算,為此研究者提出了不同的優(yōu)化方法[11-12]。

針對混凝土重力壩工程中材料特性空間分布的隨機(jī)性問題,筆者將Monte-Carlo方法與Neumann級數(shù)展開隨機(jī)有限元法相結(jié)合,提出了混凝土重力壩可靠度計(jì)算方法,并研究了相關(guān)偏度和隨機(jī)場離散單元尺寸對可靠度的影響。

1 隨機(jī)場離散的局部平均法

隨機(jī)場離散的目的是將隨機(jī)場離散為隨機(jī)變量。隨機(jī)場離散方法有很多,主要有中心點(diǎn)法、局部平均法、形函數(shù)插值法等。對于均勻隨機(jī)場,中心點(diǎn)法簡單方便,但精度較差、效率低。本文運(yùn)用局部平均法來離散隨機(jī)場。對于一維隨機(jī)場X,單元長度為T的均一化單元離散方案時(shí),有如下方差公式[13]:

(1)

式中:σT為平均隨機(jī)場XT的方差;σX為原隨機(jī)場方差;γ(T)為方差折減系數(shù)。

對于二維連續(xù)均勻隨機(jī)場α(x,y),其均值和方差分別為m和σ2,往往采用一般形狀的四邊形單元或三角形單元來離散,并可以采用與有限元等參變換類似的方法。單元e的局部平均隨機(jī)場αe為

(2)

式中:Ae為單元e的面積;Ωe為單元e所占有的區(qū)域。

隨機(jī)場均值m為

(3)

式中：E(αe)為αe的期望。

單元e和單元e′的局部平均隨機(jī)場的協(xié)方差為

(4)

式中:ρ為相關(guān)函數(shù);上標(biāo)′表示單元e′的變量。

對式(4)作等參變換可得

式中:ne為單個(gè)單元節(jié)點(diǎn)數(shù);xi、yi分別為單元e的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)在x、y方向上的坐標(biāo);Ni為形函數(shù);J為雅克比矩陣;ξ、η為x、y作等參變換后的變量。對隨機(jī)場內(nèi)所有單元進(jìn)行上述計(jì)算即可獲得整體的單元平均隨機(jī)場協(xié)方差矩陣。

為計(jì)算方便一般視二維均勻隨機(jī)場相關(guān)結(jié)構(gòu)可分離,即

ρ(r,s)=ρ(r)ρ(s)

(6)

隨機(jī)場相關(guān)結(jié)構(gòu)常采用的相關(guān)函數(shù)形式有非協(xié)調(diào)階躍型、協(xié)調(diào)階躍型、三角型、指數(shù)型、二階AR型、高斯型等。本文選取如下指數(shù)型進(jìn)行計(jì)算：

(7)

式中:θ為相關(guān)偏度;τ為兩點(diǎn)間距離。

2 Neumann 級數(shù)展開隨機(jī)有限元

對于靜力問題,有限元平衡方程可寫為[14]

KU=F

(8)

其中K=K0+ΔK

式中:K為系統(tǒng)整體剛度矩陣;F為確定性外荷載列向量;U為結(jié)構(gòu)位移列向量;I為單位矩陣；K0為均值彈性模量時(shí)的系統(tǒng)整體剛度矩陣;ΔK為系統(tǒng)整體剛度矩陣的增量。

(I+K0-1ΔK)-1=I-P+P2-P3+…

(9)

U0-PU0+P2U0-P3U0+…=

U0-U1+U2-U3+…

(10)

其中K0U0=F

Ui=PiU0=PUi-1(i=1,2,…)

先求出U0,根據(jù)遞推關(guān)系(式(10)),最終求得結(jié)構(gòu)位移列向量U。Neumann展開階數(shù)可依據(jù)下式的收斂標(biāo)準(zhǔn)來確定:

(11)

式中:k為級數(shù)收斂時(shí)展開階數(shù);ε為誤差上限，ε應(yīng)小于0.05。

3 重力壩結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算

重力壩可靠度計(jì)算內(nèi)容主要包括位移、應(yīng)力及抗滑穩(wěn)定可靠度。首先依據(jù)材料空間分布特性,將壩體材料隨機(jī)場進(jìn)行單元離散;對于生成的局部單元平均隨機(jī)場協(xié)方差矩陣,通過Monte-Carlo方法進(jìn)行隨機(jī)抽樣,形成N組樣本;對于每組樣本,采用基于Neumann展開的隨機(jī)有限元方法進(jìn)行計(jì)算求解,獲得N組位移、應(yīng)力等響應(yīng)量,進(jìn)而算得各物理量的均值及方差;根據(jù)實(shí)際工程問題,依據(jù)相關(guān)準(zhǔn)則,建立包含位移或應(yīng)力的功能函數(shù)[1],并代入之前的計(jì)算結(jié)果,即可得到各種功能條件下的可靠度。

采用Monte-Carlo方法與Neumann級數(shù)展開相結(jié)合時(shí),由式(10)可知,無論模擬多少次都只需進(jìn)行一次求逆過程,極大地提升了運(yùn)算速率。

4 算例分析

基于Matlab開發(fā)了相應(yīng)隨機(jī)場離散及隨機(jī)有限元程序;通過典型算例對本文方法進(jìn)行驗(yàn)證,并運(yùn)用該方法研究隨機(jī)場單元尺寸和相關(guān)偏度對可靠度的影響以及計(jì)算重力壩壩踵抗拉可靠度。

4.1 算例1

長5 m、寬0.5 m、厚0.3 m的懸臂梁結(jié)構(gòu),右端承受集中荷載15 kN,左端固定,不計(jì)自重。其彈性模量是均值為30 GPa的隨機(jī)場,變異系數(shù)為0.1,相關(guān)偏度取2 m,泊松比為0.167。隨機(jī)有限元計(jì)算時(shí),隨機(jī)場單元?jiǎng)澐旨坝邢拊W(wǎng)格劃分分別見圖1(a)和圖1(b)。

圖1 隨機(jī)場單元?jiǎng)澐旨坝邢拊W(wǎng)格劃分

Neumann級數(shù)展開階數(shù)取3,模擬20萬次可得懸臂梁右端點(diǎn)撓度的概率密度曲線如圖2中帶*標(biāo)記的曲線所示。如設(shè)計(jì)時(shí)規(guī)定右端點(diǎn)的允許最大位移為13.2 mm,則其可靠度β=3.05。若使用單一的Monte-Carlo方法,則計(jì)算的可靠度為2.96,與本文方法的結(jié)果非常接近,表明了本文方法的正確性。

為了分析相關(guān)偏度對計(jì)算結(jié)果的影響,針對同一懸臂梁同一隨機(jī)場劃分(見圖1(a)),采用不同相關(guān)偏度θ進(jìn)行敏感性分析,計(jì)算得出的懸臂梁右端撓度概率密度如圖2所示。經(jīng)計(jì)算,當(dāng)相關(guān)偏度取2 m、5 m、50 m、500 m時(shí),可靠度分別為3.05、2.23、2.02、1.98;當(dāng)隨機(jī)場完全相關(guān)(將整個(gè)隨機(jī)場視為單個(gè)隨機(jī)變量)和相互獨(dú)立時(shí),可靠度分別為1.96、5.00。這些結(jié)果表明:隨著相關(guān)偏度的減小,所得的位移響應(yīng)量更趨于集中,可靠度逐漸增大;完全相關(guān)時(shí)可靠度最低,但實(shí)際壩體情況不可能為單一隨機(jī)變量,而是隨機(jī)場變量,因此僅將壩體彈性模量視為單一隨機(jī)變量時(shí)所得可靠度較實(shí)際值低。

圖2 不同相關(guān)偏度下懸臂梁右端撓度概率密度曲線

4.2 算例2

采用局部平均法離散隨機(jī)場時(shí),不同的隨機(jī)場單元?jiǎng)澐謺?huì)影響方差的折減,進(jìn)而對可靠度計(jì)算產(chǎn)生影響。設(shè)計(jì)如下算例,探討隨機(jī)場單元?jiǎng)澐謱Y(jié)構(gòu)可靠度的影響。

懸臂梁結(jié)構(gòu)長2 m、寬0.1 m、厚0.1 m,右端承受集中荷載3 kN,左端固定,不計(jì)自重。隨機(jī)場材料特性參數(shù)同算例1,相關(guān)偏度為0.5 m,結(jié)構(gòu)有限元沿長度方向等分為120個(gè)單元。采取不同隨機(jī)場單元長度時(shí)的平均隨機(jī)場方差折減系數(shù)結(jié)果如圖3所示。Monte-Carlo方法模擬5萬次,以22 mm為右端點(diǎn)允許最大位移時(shí),計(jì)算結(jié)果表明可靠度隨隨機(jī)場單元的加密而逐漸增大;當(dāng)相關(guān)偏度與單元尺寸的比值(θ/T)取2、6、8、10、15、30時(shí)，可靠度分別為2.52、2.58、2.61、2.62、2.62、2.62，可見當(dāng)θ/T大于8～10時(shí),計(jì)算結(jié)果趨于穩(wěn)定,因此建議隨機(jī)場單元尺寸取值不大于相關(guān)偏度的1/10～1/8。

圖3 θ/T與γ(T)關(guān)系曲線

4.3 算例3

典型重力壩壩頂高程為382 m,最大壩高為166 m,壩基高程為216 m,壩底寬度B為145 m,上游正常蓄水位為377 m。壩體混凝土彈性模量視為隨機(jī)場,均值取20 GPa,變異系數(shù)為0.2,相關(guān)偏度取70 m。為計(jì)算方便,隨機(jī)場與有限元共用同一網(wǎng)格,單元480個(gè),節(jié)點(diǎn)533個(gè),如圖4所示,其中x向?yàn)轫樅酉?以指向下游為正;y向?yàn)樨Q直方向,以向上為正。隨機(jī)有限元計(jì)算時(shí),Monte-Carlo方法的模擬次數(shù)取10萬次,Neumann級數(shù)展開階數(shù)取3階。

圖4 重力壩隨機(jī)場與有限元?jiǎng)澐?/p>

正常蓄水位情況下,重力壩水平及豎直向位移均值云圖分別見圖5(a)和圖5(b),豎直向應(yīng)力云圖見圖6,圖4中3個(gè)節(jié)點(diǎn)的順河向位移概率密度曲線見圖7。大壩設(shè)計(jì)時(shí)需滿足一定的應(yīng)力要求。根據(jù)NB/T 35026—2014《混凝土重力壩設(shè)計(jì)規(guī)范》和GB 50199—2013 《水利水電工程結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》,采用線彈性有限元法計(jì)算壩踵垂直應(yīng)力且計(jì)揚(yáng)壓力時(shí),拉應(yīng)力區(qū)寬度應(yīng)小于壩底寬度的7%。本算例中統(tǒng)計(jì)了壩底距上游面0.07B處節(jié)點(diǎn)的豎直向應(yīng)力,其概率密度曲線見圖8,據(jù)此可計(jì)算出基于規(guī)范拉應(yīng)力范圍控制的大壩壩踵抗拉可靠度β=3.7。

圖5 重力壩不同方向位移均值云圖(單位:mm)

圖6 重力壩y向應(yīng)力均值云圖(單位:MPa)

圖7 選取節(jié)點(diǎn)x向位移概率密度曲線

圖8 7%壩底寬度處y向應(yīng)力概率密度曲線

5 結(jié) 語

本文提出了基于Neumann展開隨機(jī)有限元的混凝土重力壩結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算方法,采用算例驗(yàn)證了方法的正確性,并分析了相關(guān)偏度和隨機(jī)場單元?jiǎng)澐謱煽慷鹊挠绊?。結(jié)果表明:①本文方法能較好地模擬材料的空間變異性,所得結(jié)果符合實(shí)際情況;②隨機(jī)場相關(guān)偏度反映了材料的空間離散程度,其取值對大壩的可靠度結(jié)果影響顯著,可靠度隨相關(guān)偏度的減小而增大,如將壩體彈性模量視為單一隨機(jī)變量,則所得可靠度較實(shí)際值低;③隨機(jī)場單元尺寸不能過大,建議取值不大于相關(guān)偏度的1/10～1/8。

為進(jìn)一步提高該方法在實(shí)際工程中的計(jì)算精度,還需開展如下工作:①大壩算例中將壩體視作一個(gè)均勻隨機(jī)場,實(shí)際工程中存在不同的工程分標(biāo)及材料分區(qū),且不同分區(qū)間又具有一定的相關(guān)性,需要建立更加細(xì)致的隨機(jī)場模型;②相關(guān)偏度或相關(guān)結(jié)構(gòu)對計(jì)算結(jié)果影響顯著,但缺少這方面的工程資料,且如何獲得相關(guān)偏度值及描述相關(guān)結(jié)構(gòu)的相關(guān)函數(shù)形式也缺乏統(tǒng)一明確的標(biāo)準(zhǔn)。