數(shù)學(xué)從哪里來？

淺草

2017年去世的伊朗數(shù)學(xué)家瑪麗亞姆·米爾扎克哈尼，是第一位獲得數(shù)學(xué)領(lǐng)域最高獎——菲爾茲獎的女性。她形容研究數(shù)學(xué) “就像是一個人迷失在叢林中，試圖用你所學(xué)到的一切，去找到一條出路”。

她雖然只活了40歲，但應(yīng)該說是一位幸運(yùn)兒，比大多數(shù)人在“數(shù)學(xué)叢林”里都走得深，最后還摘取了數(shù)學(xué)上的桂冠。

越來越多的證據(jù)表明，人類似乎也是大自然的幸運(yùn)兒，是唯一能穿越“數(shù)學(xué)叢林”的動物。但這種能力來自何方？為何會發(fā)展起來？發(fā)展起來是為了什么目的？……要回答這些問題，不僅涉及到神經(jīng)科學(xué)的一些熱門話題，還迫使我們不得不重新思考“什么是數(shù)學(xué)？”“數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)還是發(fā)明？”等有關(guān)數(shù)學(xué)本質(zhì)的問題。

上篇? 數(shù)學(xué)的起源

通過“建?！迸c世界打交道

大自然是一個復(fù)雜多變、險象環(huán)生的處所，棲息地的變化、掠食動物的襲擊、食物的匱乏……一個有機(jī)體的生存取決于它感知周圍環(huán)境的能力。但不管是野牛估量獅群的數(shù)量和塊頭，以便做出戰(zhàn)斗/逃跑的決定;還是椋鳥在空中時刻與鄰伴維持適當(dāng)?shù)木嚯x，以便保持隊(duì)形;或者羊群循著水草豐茂的路線覓食……所有這一切活動，按倫敦大學(xué)神經(jīng)學(xué)家卡爾·菲力斯頓的說法，都意味著在做數(shù)學(xué)。

“因?yàn)閿?shù)學(xué)有一種簡單、節(jié)儉和對稱的性質(zhì)，如果你把它當(dāng)作一種語言，會比其他描述世界的方法更勝一籌。從海豚到黏菌，幾乎所有生命都能從數(shù)學(xué)上去理解這個世界，以便為自己的生存服務(wù)，” 他說。

現(xiàn)在不是有很多“建?！北荣悊幔繛橐粋€復(fù)雜過程，建立一個相對簡單的數(shù)學(xué)模型，然后輸入?yún)?shù)，看看不同情況下的運(yùn)行結(jié)果。那么，菲力斯頓的話其實(shí)意思就是：任何形式的生命都需要通過對其生存的環(huán)境進(jìn)行“建?！?，才能發(fā)揮作用。

菲力斯頓的這個看法可追溯到1970年代，當(dāng)時控制論提出一項(xiàng)原則：為了提供有效的控制，一個機(jī)器人必須先對自己與環(huán)境的作用，建立一個數(shù)學(xué)模型，才能據(jù)此行動。此后的人工智能研究，差不多都遵循了這條原則。今天，人類能在人工智能領(lǐng)域取得這么大的成就，也要?dú)w功于這條原則。

既然機(jī)器人是通過“建?！迸c外部世界互動的，那么一個合理的推測是：生物在某種程度上也是通過“建?！备澜绱蚪坏赖?。

舉個例子。當(dāng)一頭野牛注意到一頭獅子在逼近時，它就會本能地調(diào)動一個叫“逃跑/戰(zhàn)斗”的決策機(jī)制，根據(jù)自己對獅子塊頭、距離遠(yuǎn)近以及對自己力量的估計，決定是逃跑還是戰(zhàn)斗。這個決策機(jī)制，從功能上說，可看作是一個數(shù)學(xué)模型，輸入“獅子塊頭”“距離”“自己的力量”等參數(shù)，輸出“逃跑”或“戰(zhàn)斗”的結(jié)果。任何一項(xiàng)參數(shù)改變，都可能導(dǎo)致輸出結(jié)果不同。

發(fā)展出精確的數(shù)感為了

糾正感官的偏差

既然是數(shù)學(xué)模型，當(dāng)然就要對現(xiàn)實(shí)做些簡化，不可能面面俱到。尤其對于生命來說，當(dāng)危險臨近時，迅速行動才是主要的，準(zhǔn)確倒退居次要。譬如上述“逃跑/戰(zhàn)斗”的模型中，考慮那三項(xiàng)因素大致就差不多了，至于“獅子毛色如何”，“天空會不會下雨”等因素，都可以不考慮?？紤]因素太多，決策就慢下來，進(jìn)而影響行動速度。

正是我們這種與世界打交道的方式，決定了我們的感官存在這樣那樣不盡人意的偏差。

以心理學(xué)上反映心理量和物理量之間關(guān)系的韋伯-費(fèi)希納定律為例。這條定律說：我們辨別兩個感覺差別的能力，隨感覺強(qiáng)度的增加而減弱。比如用手提重物，你很容易區(qū)分1千克和2千克，但要辨別21千克和22千克，就不那么容易了。對于亮度、音量等的辨別能力也同樣如此。

讓我們自豪的是，盡管人類和其他動物的感官都有著同樣的偏差，但人類已經(jīng)發(fā)展出識別和糾正偏差的能力。最明顯的是，我們發(fā)明了數(shù)：這是一種符號系統(tǒng)，它讓我們立即判斷出（21與22）和（1與2）差距是一樣的。

與生俱來的是“數(shù)覺”

還是“量覺”？

那么，這種工具是怎么發(fā)展起來的呢？

長期以來，一種觀點(diǎn)認(rèn)為：我們天生就有一種對“數(shù)”的意識，就像我們天生就能意識到色彩一樣。1997年，法國心理學(xué)家德阿納提出一個假說，認(rèn)為進(jìn)化賦予人類和其他動物一種“數(shù)覺”，即立即覺察一堆物體數(shù)量的本能。譬如說，三顆紅色的珠子會產(chǎn)生數(shù)“3”的感覺，正如它們能產(chǎn)生“紅”的感覺。

支持這種本能觀點(diǎn)的證據(jù)很多。麻省理工學(xué)院的心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，6個月大的嬰兒已能在8個點(diǎn)和16個點(diǎn)的點(diǎn)陣之間做出區(qū)分。

還有研究顯示，人類本能上具有在空間上通過虛構(gòu)一條“數(shù)字線”，來表示數(shù)的傾向。比如說，我報給你一串?dāng)?shù)，請你在紙上記下。盡管我并沒有吩咐你怎么去記，但你還是會按小的在左，大的在右的方式寫下這些數(shù)，哪怕你是個左撇子也不例外。這是因?yàn)槟阍谟洈?shù)字時，會在紙面上不自覺地虛構(gòu)一條“數(shù)字線”;在這條線上，數(shù)值從左到右要按從小到大的順序排列。這是一種本能。

甚至有證據(jù)表明，數(shù)覺在動物中也存在（見拓展閱讀“動物有數(shù)學(xué)本能嗎？”）。

所以，按本能論的觀點(diǎn)，我們天生具有“數(shù)覺”，隨后以此作為“種子”，經(jīng)過幾千年文明的發(fā)揚(yáng)光大，才有今天這么龐大復(fù)雜的數(shù)學(xué)體系。

但不久，一些研究者對這些證據(jù)提出懷疑。例如他們說，嬰兒能把兩列點(diǎn)陣區(qū)別開來，也許依靠的不是它們在數(shù)量上的差別，而是基于其他屬性，比如點(diǎn)陣的空間位置分布或覆蓋的面積等。這些線索涉及的是量，不是數(shù);雖然量也跟數(shù)相關(guān)，但精確度上要差一些，不過因?yàn)楸葦?shù)更直觀，似乎更有可能被嬰兒利用。譬如兩堆球，判斷哪堆多哪堆少，總比說出每一堆的具體數(shù)目要更直觀，也更容易一些。

由此，出現(xiàn)了一個不同的假說：我們與生俱來的不是“數(shù)覺”，而是“量覺”，即感知事物的量（如大小、強(qiáng)度等）的能力。

對兒童更精確的測試似乎也傾向于支持這種觀點(diǎn)。例如，小于4歲的孩子不能理解5個橘子和5只西瓜有什么共同點(diǎn)——都是5。對他們而言，5只西瓜僅僅意味著比5個橘子在“量”上更多。

此外，即使教幼兒數(shù)數(shù)的動作，也不能立即傳達(dá)數(shù)的意義，必須通過“量”的比較，他們才能掌握“數(shù)”的概念。這就怪不得幼兒園的老師教孩子數(shù)數(shù)，或者做加減運(yùn)算，要輔以小木棍、小球之類的道具。

精確的數(shù)量感

是文明發(fā)展的產(chǎn)物

如果我們接受后一種觀點(diǎn)，那么，我們后來能產(chǎn)生精確的數(shù)量感，發(fā)明出數(shù)來精確地表示量，只能說是文明的產(chǎn)物了。

文化對數(shù)的認(rèn)知影響之大，超乎我們的想象。以巴布亞新幾內(nèi)亞的Yupno人為例。他們的語言雖然并不原始，卻連表示“一個比另一個大或小”的說法都沒有。Yupno并不是唯一擁有不強(qiáng)調(diào)數(shù)的語言的人。一項(xiàng)對189種澳大利亞原住民語言的研究，發(fā)現(xiàn)其中四分之三的語言中沒有表示大于3或4的數(shù)的詞匯。

這暗示，今天我們大多數(shù)人所擁有的精確的數(shù)量感，是文明發(fā)展到一定度的產(chǎn)物，當(dāng)諸如農(nóng)業(yè)和貿(mào)易等需要時，它才會出現(xiàn)。

甚至在我們自己當(dāng)中，對數(shù)的認(rèn)知也深受職業(yè)、教育等這類文化因素的影響。2016年，研究人員對15名專業(yè)數(shù)學(xué)家和15名非數(shù)學(xué)家學(xué)者的大腦進(jìn)行了掃描。他們發(fā)現(xiàn)了一個涉及數(shù)學(xué)思維的腦區(qū);當(dāng)數(shù)學(xué)家思考代數(shù)、幾何和拓?fù)鋵W(xué)問題時，這個腦區(qū)會被激活;但是當(dāng)他們思考非數(shù)學(xué)問題時，這個腦區(qū)就不會活躍起來。而在其他學(xué)者中，不論思考數(shù)學(xué)問題還是非數(shù)學(xué)問題，這個腦區(qū)都不活躍。

這個結(jié)果表明，教育和職業(yè)所養(yǎng)成的習(xí)慣，已經(jīng)深深改變了數(shù)學(xué)家們思考數(shù)學(xué)時的思維方式。文化的影響之巨，由此可見一斑。

文化是什么時候把我們曾經(jīng)的模糊本能（“量覺”）塑造成能精確識別數(shù)的能力（“精確的數(shù)量感”）的呢？確切時間目前還不清楚。人類處理數(shù)的最早證據(jù)來自南非萊邦博山脈的博德山洞。在那里，考古學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了年齡為4.4萬的有缺口的骨頭，其中包括狒狒的腓骨，上面刻有29個痕跡。人類學(xué)家認(rèn)為，這些痕跡表明，這塊骨頭類似原始人的“賬目棒”，是用來輔助計數(shù)的。說明那個時候人類就已經(jīng)學(xué)會有意識地用符號表達(dá)和操縱數(shù)目了。

公元前4千年左右，在底格里斯-幼發(fā)拉底河谷（現(xiàn)在伊拉克的一個地區(qū)），出現(xiàn)了美索不達(dá)米亞文明。在這種文明中，計數(shù)和測量達(dá)到了新的高度。這同樣跟文明的發(fā)展需要分不開。美索不達(dá)米亞人需要記錄天文歷法，丈量土地面積，衡量谷物收成，甚至記錄重量。然后隨著人類走向海洋，或者研究天空，我們開始發(fā)展導(dǎo)航和天文觀測所需要的數(shù)學(xué)。甚至到了現(xiàn)代，商業(yè)的需要也仍在推動數(shù)學(xué)的發(fā)展。譬如，一些最復(fù)雜的數(shù)學(xué)正是為華爾街的股票和債券交易而開發(fā)的。

下篇? 數(shù)學(xué)的本質(zhì)

“數(shù)學(xué)是大自然的語言”

目今，人類已經(jīng)建立了一座巨大的數(shù)學(xué)金字塔。在過去5千年左右的時間里，數(shù)學(xué)已經(jīng)擴(kuò)張到更加抽象的領(lǐng)域，似乎進(jìn)一步脫離了周圍的現(xiàn)實(shí)世界和普通人的理解范圍。

然而，我們對宇宙的秘密了解越多，數(shù)學(xué)上的新發(fā)明就越能描述這些秘密。例如，當(dāng)大衛(wèi)·希爾伯特發(fā)展了一種高度抽象的代數(shù)來處理無窮多個維度而不是熟悉的空間三維時，沒有人能預(yù)見到這種代數(shù)能在量子力學(xué)中得到應(yīng)用。但不久之后證明，希爾伯特的這套數(shù)學(xué)——即所謂的“希爾伯特空間”——是我們理解詭秘的量子世界的關(guān)鍵。

數(shù)學(xué)和物理之間這種普遍存在的聯(lián)系，使我們想起幾個世紀(jì)前伽利略說過的一句話“數(shù)學(xué)是大自然的語言”。對今天從事自然科學(xué)研究的人來說，數(shù)學(xué)幾乎是一門必備的工具。甚至長期抵制數(shù)學(xué)的生物學(xué)，也在慢慢地屈服：人們已經(jīng)見證了數(shù)學(xué)在基因組學(xué)或神經(jīng)科學(xué)中的廣泛應(yīng)用。比如，DNA雙螺旋結(jié)構(gòu)的發(fā)現(xiàn)就與一個叫“傅里葉分析”的數(shù)學(xué)工具分不開。神經(jīng)生物學(xué)則越來越依賴拓?fù)鋵W(xué)、圖論等數(shù)學(xué)學(xué)科。

數(shù)學(xué)自身取得的輝煌成就以及它在現(xiàn)實(shí)中無所不在的應(yīng)用，讓一些人產(chǎn)生一種“狂妄”的看法：數(shù)學(xué)是一切，一切皆數(shù)學(xué);宇宙是一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它只有數(shù)學(xué)性質(zhì)。這種看法與古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“一切皆數(shù)，數(shù)是萬物的本源”的神秘思想遙相呼應(yīng)。

數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)還是發(fā)明？

歷史上，人們曾為“數(shù)學(xué)是發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)？”發(fā)生過激烈的爭論。按“數(shù)學(xué)是一切”的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)顯然是“發(fā)現(xiàn)”而不是“發(fā)明”，因?yàn)樗缫汛嬖谀莾?，我們所做的只是發(fā)現(xiàn)而已。

但事情也許沒那么簡單：當(dāng)問及“數(shù)學(xué)是被發(fā)明的還是被發(fā)現(xiàn)的？”的時候，人們往往有一種先入為主的前提，好像兩者是相互排斥的。如果你發(fā)明了它，你就不會是發(fā)現(xiàn)了它，如此等等。但這不是一個非此即彼的命題。

想想古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德編纂的《幾何原本》，它搜集了古希臘所有的數(shù)學(xué)知識，并編纂了一條條幾何定律。歐幾里德把他的工作建立在一系列公理之上。這些公理既不能證明，也不能證偽，我們只能說它們是“被發(fā)明的”。其中最著名的一條就是“平行線公理”：兩條平行線永不相交。隨著時間的推移，從這些公理中衍生出很多的規(guī)則和關(guān)系，并被后人證明為定理。從某種意義上說，他們是“發(fā)現(xiàn)”了歐幾里德幾何學(xué)的景觀。

但是幾千年后，有數(shù)學(xué)家另起爐灶，決定采用新公理去發(fā)現(xiàn)新的幾何王國。這些新公理與歐幾里得的公理是矛盾的。例如，因德國數(shù)學(xué)家黎曼而得名的黎曼幾何，明確依賴于“平行線可以相交”這一思想。這個非正統(tǒng)的出發(fā)點(diǎn)把我們引向了一個廣闊的數(shù)學(xué)世界，愛因斯坦用其來闡述他的廣義相對論。

數(shù)學(xué)能否解釋自己的起源？

但是，不管我們從哪一套公理出發(fā)，數(shù)學(xué)可能不像我們所以為的那樣是一套完整的思想體系。對于這一點(diǎn)，我們要?dú)w功于奧地利邏輯學(xué)家哥德爾的不完備性定理所提供的洞見。哥德爾證明，在任何形式的公理和定理體系里，有一些既不能證明對，也不能證明錯的陳述。換句話說，有些問題數(shù)學(xué)可以問，但它永遠(yuǎn)無法回答。像歐幾里得幾何中的“平行線永不相交”就是一例，歐幾里得幾何體系自身無法提供證明。我們只能說：“暫且假設(shè)它是對的，來看看會推出什么結(jié)果……”

在這種情況下，我們說數(shù)學(xué)是普遍真理，或許還為時尚早。因?yàn)檎胬砺?，對的就是對的，不能說“假設(shè)它是對的”（比如上帝存在就說存在，不存在就說不存在，不能說“假設(shè)他存在”）。再者，人類迄今所建立的數(shù)學(xué)體系，也許不過是“數(shù)學(xué)叢林”的一個小角落，誰敢保證它就代表了宇宙整體呢？

當(dāng)前，能不能完全用數(shù)學(xué)來描述意識，是數(shù)學(xué)面臨的一個非常大的挑戰(zhàn)。我們知道，數(shù)學(xué)本身就是人類意識的產(chǎn)物，現(xiàn)在反過來要用它去解釋意識，那就意味著要數(shù)學(xué)去解釋自己的起源。它能勝任嗎？ 如果能解釋，也就算了;如果不能，那麻煩就大了。因?yàn)榧热贿B“大自然的語言”數(shù)學(xué)都解釋不了意識，那意識還能用什么來解釋呢？或者反過來，迫使我們追問“難道數(shù)學(xué)真是大自然的語言嗎？”