主理想環(huán)上一類矩陣對可同時(shí)三角化探討

姜蓮霞，鄧 勇

(喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 喀什 844006)

設(shè)Mm×n(R)是有單位元e≠0的主理想環(huán)R上的m×n階矩陣集合，GL(n，R)是R上的n階可逆矩陣集合。令I(lǐng)n和0n×k分別表示n階單位矩陣和n×k階零矩陣。設(shè)矩陣對A，B∈Mn×n(R)，用[A，B]=AB-BA表示其交換子。

稱矩陣對A，B∈Mn×n(R)可同時(shí)三角化，如果存在可逆矩陣T∈GL(n，R)，使得

均為下三角矩陣。

目前，有單位元的交換環(huán)上的矩陣對可同時(shí)三角化的問題仍未得到徹底解決。我們已經(jīng)知道，在有單位元的交換環(huán)上，矩陣對可同時(shí)三角化的必要條件是它們的特征多項(xiàng)式能夠分解成一次因式的乘積。文獻(xiàn)[1]研究了在主理想環(huán)上，當(dāng)矩陣對的特征多項(xiàng)式的最小多項(xiàng)式為二次不可約多項(xiàng)式時(shí)，它們可同時(shí)三角化的問題。文獻(xiàn)[2]在交換環(huán)上，建立了二階矩陣族可同時(shí)三角化的充分必要條件。McCoy定理雖然給出了代數(shù)閉域上矩陣對可同時(shí)三角化的判據(jù)[3]，但是定理的條件卻很難通過常規(guī)的方法去驗(yàn)證。在復(fù)數(shù)域上，文獻(xiàn)[4-7]給出了將矩陣對同時(shí)三角化的構(gòu)造方法；文獻(xiàn)[8]給出了對稱不定矩陣三對角化約化方法的新的方法；文獻(xiàn)[9-10] 中給出了對稱矩陣三對角化的算法設(shè)計(jì)；文獻(xiàn)[11]給出了基于矩陣三對角化分解的DOA估計(jì)算法；文獻(xiàn)[12]給出了實(shí)對稱陣三對角化和二分法的結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法。

眾所周知，矩陣A∈Mn×n(R)稱為對合矩陣，如果A2=In。顯然，對合矩陣的最小多項(xiàng)式為m(λ)=(λ-e)(λ+e)。因此，A∈Mn×n(R)是對合矩陣的充分必要條件是(In-A)(In+A)=0n×n?；诖?，在主理想環(huán)上，建立矩陣對可同時(shí)三角化的充分必要條件。

2 主要結(jié)論及其證明

值得注意的是，當(dāng)R是代數(shù)閉域F時(shí)，矩陣對A，B∈Mn×n(F)存在共同特征向量的問題文獻(xiàn)[13]已徹底解決。但是，當(dāng)R是一般的交換環(huán)時(shí)，矩陣對A，B∈Mn×n(R)存在共同特征向量的問題卻仍未得到有效解決[14]。

假設(shè)矩陣對A，B∈Mn×n(R)的最小多項(xiàng)式均為二次多項(xiàng)式，并且它們均可分解為一次因式的乘積。下面，建立這種矩陣對存在共同特征向量的充分必要條件。

定理1 設(shè)矩陣對A，B∈Mn×n(R)的最小多項(xiàng)式分別為

mA(λ)=(λ-α1)(λ-α2)，α1≠α2

和

mB(λ)=(λ-β1)(λ-β2)，β1≠β2

其中：αi，βj∈R(i，j=1，2)。于是，A和B在R上有共同特征向量當(dāng)且僅當(dāng)交換子[A，B]是一個(gè)奇異矩陣。

證明 必要性顯然。

由定理1可得如下推論：

推論1 對合矩陣對A，B∈Mn×n(R)有共同特征向量當(dāng)且僅當(dāng)(A-B)和(A+B)至少有一個(gè)是奇異矩陣。

(?) 設(shè)(A-B)和(A+B)至少有一個(gè)是奇異矩陣。因

(A-B)(A+B)=AB-BA=[A，B]，

故對合矩陣A和B的交換子[A，B]奇異。由定理1，矩陣A和B有共同特征向量。證畢。

現(xiàn)在，利用定理1的結(jié)果來建立Mn×n(R)中的矩陣對可同時(shí)三角化的充分必要條件。

定理2 設(shè)矩陣對A，B∈Mn×n(R)的最小多項(xiàng)式分別為

mA(λ)=(λ-α1)(λ-α2)，α1≠α2

和

mB(λ)=(λ-β1)(λ-β2)，β1≠β2，

其中αi，βj∈R(i，j=1，2)。于是，A和B在R上可同時(shí)三角化當(dāng)且僅當(dāng)交換子[A，B]是冪零矩陣。

證明 (?)顯然。

(?)設(shè)矩陣對A，B∈Mn×n(R)的最小多項(xiàng)式分別為

mA(λ)=(λ-α1)(λ-α2)，α1≠α2

和

mB(λ)=(λ-β1)(λ-β2)，β1≠β2，

和

其中A1，B1∈M(n-1)×(n-1)(R)。因交換[A，B]是冪零矩陣，故

和

和

用類似方法，經(jīng)過有限步后，必可得出結(jié)論：對矩陣A和B，存在矩陣T∈GL(n，R)，使得TAT-1和TBT-1均為下三角矩陣。證畢。

由定理2可得如下推論

推論2設(shè)矩陣對A，B∈Mn×n(R)的最小多項(xiàng)式分別為

mA(λ)=(λ-α1)(λ-α2)，α1≠α2

和

mB(λ)=(λ-β1)(λ-β2)，β1≠β2，

其中αi，βj∈R(i，j=1，2)，交換子[A，B]是冪零矩陣。若矩陣A可對角化，則存在矩陣W∈GL(n，R)，使得WAW-1是對角矩陣，WBW-1是下三角矩陣。

證明 因?yàn)榻粨Q子[A，B]是冪零矩陣，所以對矩陣A，B而言，存在矩陣U∈GL(n，R)，使得UAU-1=TA和UBU-1=TB均為下三角矩陣。又因矩陣A可對角化，故UAU-1可對角化。 容易看出， 對矩陣UAU-1， 存在下三角矩陣V∈GL(n，R)， 使得VTAV-1是對角矩陣，VTBV-1是下三角矩陣。 證畢。

推論3 對合矩陣對A，B∈Mn×n(R)可同時(shí)三角化當(dāng)且僅當(dāng)它們的交換子[A，B]是冪零矩陣。

3 結(jié)論

在定理2假設(shè)的條件下，本文得到了主理想環(huán)R上的n×n階矩陣對A，B可同時(shí)三角化的一個(gè)充分必要條件。根據(jù)定理2的充分性證明，進(jìn)而得到了通過有限步驗(yàn)證程序，將矩陣對A，B化簡為下三角矩陣的一種方法。另外，還需注意到，本文的結(jié)論對初等除環(huán)上的矩陣對A，B依然正確。