數(shù)形結(jié)合解數(shù)學(xué)題

張?bào)阆?/p>

數(shù)形結(jié)合巧妙地將直觀的空間圖形與抽象的數(shù)量關(guān)系有機(jī)結(jié)合，其實(shí)質(zhì)是數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)換，是數(shù)學(xué)解題中不可或缺的基本策略。

我在數(shù)學(xué)解題中重視數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，優(yōu)化了解題途徑，提高了解題效率。

一、由“數(shù)”想“形”，以“形”助“數(shù)”

對(duì)于某些數(shù)學(xué)問題，其代數(shù)式在變形之后往往有一定的幾何意義，如代數(shù)中的二元一次方程與幾何中直線的截距緊密相聯(lián)，比值則與兩點(diǎn)連線的斜率息息相關(guān)。

我在解題過程中，注重思考由“數(shù)”想“形”，以“形”助“數(shù)” ，常常將代數(shù)問題幾何化，將抽象問題轉(zhuǎn)化為更加直觀的問題，從而快速找到解題的突破口。

例1：若方程x2+2ax+k=0的兩個(gè)實(shí)根在方程x2+2ax+a-4=0的兩根之間，試求參數(shù)a與k應(yīng)滿足的關(guān)系式。

解析：畫出x2+2ax+k=0和x2+2ax+a-4=0對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y1=x2+2ax+k，y2=x2+2ax+a-4的圖象，如圖1。

觀察該圖象可知，這兩個(gè)函數(shù)圖象均為開口向上，形狀相同，且存在公共對(duì)稱軸的拋物線。要使方程x2+2ax+k=0的兩個(gè)實(shí)根在方程x2+2ax+a-4=0的兩根之間，意味著與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象y1與x軸的交點(diǎn)應(yīng)在函數(shù)y2與x軸的交點(diǎn)之內(nèi)，相當(dāng)于拋物線y1的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)應(yīng)小于或等于零，且大于拋物線y2的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)。

由配方法可知，拋物線y1和y1的頂點(diǎn)分別為P1（-a， -a2+k），P2（-a， -a2+a-4），所以-a2+a-4≤-a2+k≤0，從而求出a與k應(yīng)滿足的關(guān)系式為a-4≤k≤0。

二、由“形”化“數(shù)”，以“數(shù)”解“形”

對(duì)于某些幾何問題，若直接利用幾何方法求解不易入手，我會(huì)觀察圖形，分析已知條件和所求目標(biāo)的特點(diǎn)，由“形”化“數(shù)”，以“數(shù)”輔“形”，將題目中的圖形用代數(shù)式表示出來，使幾何問題代數(shù)化，從而化難為易。

例2：已知A、B為平面上的兩定點(diǎn)，C為平面上位于直線AB同側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為邊，在ABC外側(cè)作正方形CADF、CBEG，求證：無論C點(diǎn)取在直線AB同側(cè)的任何位置，DE的中點(diǎn)M的位置均不變。

分析：由于D、E隨著C的變化而變化，但M為定點(diǎn)，故用幾何方法求證難度較大，此時(shí)若能轉(zhuǎn)換思維，以“數(shù)”解“形”， 以C點(diǎn)坐標(biāo)為參量，以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立復(fù)平面，證得M點(diǎn)坐標(biāo)不隨C點(diǎn)的變化而變化，即可以使問題迎刃而解。

證明：以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB為實(shí)軸，建立復(fù)平面，如圖2所示。設(shè)A、B、C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為-a，a，x+yi，其中a、x、y∈R，則 =zC-zA=（x+a）+yi， = ，i=-y+（x+a）i= = ，所以 = - =-（a+y）+（a+x）i，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-y-a，a+x）。同理，可得E點(diǎn)的坐標(biāo)為（y+a，a-x），根據(jù)中點(diǎn)公式，可知DE的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，a），它只與AB的長(zhǎng)度有關(guān)，與C點(diǎn)位置無關(guān)的點(diǎn)，所以，無論C點(diǎn)取在直線AB同側(cè)的任何位置，DE的中點(diǎn)M的位置均不變。

總之，在平時(shí)數(shù)學(xué)解題中，我比較注重靈活滲透數(shù)形結(jié)合的思想，盡量運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解題，從而學(xué)會(huì)從形的直觀性和數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性兩方面思考和分析問題，使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題直觀化，久而久之不但開拓了解題思路，而且優(yōu)化了思維品質(zhì)，提升了數(shù)學(xué)解題能力。