淺析極坐標(biāo)系中極徑的幾何意義在解題中的應(yīng)用

摘 要：極坐標(biāo)系是構(gòu)建坐標(biāo)系的一種方法，然而很多學(xué)生由于對(duì)直角坐標(biāo)系比較熟悉，看到題目就馬上轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)系下進(jìn)行解題，造成有些題目的運(yùn)算太過(guò)繁瑣。因此，教會(huì)學(xué)生恰當(dāng)選擇坐標(biāo)系進(jìn)行解題，就變得非常重要。

關(guān)鍵詞：極坐標(biāo)系；極徑的幾何意義；解題

在學(xué)習(xí)完直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系的互化之后，有同學(xué)就問(wèn)：既然極坐標(biāo)都可以化成直角坐標(biāo)，那不就是所有的極坐標(biāo)問(wèn)題都得化成直角坐標(biāo)才能解決？我們看看下面的例子：

（1）在極坐標(biāo)系中，已知A2，π6，B3，π6，則|AB|= 。

（2）在極坐標(biāo)系中，已知A2，π6，B′3，-5π6，則|AB′|= 。

結(jié)合極坐標(biāo)系畫(huà)圖，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)利用ρ的幾何意義，可以較快地算出線段AB的長(zhǎng)度，由此：過(guò)極點(diǎn)的直線上兩點(diǎn)A，B之間的距離可以優(yōu)先利用ρ的幾何意義解題。|AB|=|ρA-ρB|。

下面，通過(guò)一個(gè)例題及兩個(gè)拓展的選取及解析談?wù)勗跇O坐標(biāo)系中利用極徑的幾何意義解題的優(yōu)越性。

【例1】 在極坐標(biāo)系中，曲線C1：ρ=2sinθ，C2：ρ=23cosθ，曲線C3：θ=α（ρ∈R）。C3與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B。

（1）若α=π6，求|AB|的值；

（2）若0≤α<π，求|AB|的最大值。

解：（1）法一：極坐標(biāo)中曲線C1：ρ=2sinθ，C2：ρ=23cosθ，直線θ=π6與C1、C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)A、B的極徑分別為ρ1=2sinπ6=1，ρ2=23cosπ6=3，所以|AB|=|ρ1-ρ2|=2。

法二：在直角坐標(biāo)C1：ρ=2sinθx2+（y-1）2=1，C2：ρ=23cosθ（x-3）2+y2=3，直線C3：α=π6y=33x，聯(lián)立x2+（y-1）2=1y=33x43x2-233x=0，得A32，12，同理可求B332，32，所以|AB|=32-3322+12-322=2。

（2）極坐標(biāo)系中，曲線C3：θ=α（ρ∈R），其中0≤α<π，∴A（2sinα，α），B（23cosα，α），所以|AB|=|2sinα-23cosα|=4sinα-π3。由于0≤α<π，所以-π3≤α-π3<2π3，∴當(dāng)α-π3=π2即α=5π6時(shí)，|AB|max=4。

解析：第（1）問(wèn)，通過(guò)不同坐標(biāo)系下，兩種方法的對(duì)比，體現(xiàn)極坐標(biāo)系下解題的優(yōu)勢(shì)，

第（2）問(wèn)在極坐標(biāo)系下更容易解決問(wèn)題，進(jìn)而體現(xiàn)學(xué)習(xí)極坐標(biāo)系的意義。

解析幾何中涉及過(guò)原點(diǎn)的兩點(diǎn)的距離問(wèn)題，仍可以考慮利用極徑ρ的幾何意義解題。

【拓展1：2018年龍巖市5月份質(zhì)檢·文科20】已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為32，點(diǎn)P1，-32在橢圓上，不過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且OA·OB=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。

（1）求橢圓C的方程；

（2）試判斷橢圓1|OA|2+1|OB|2是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

略解：（1）橢圓C：x24+y2=1

（2）C：x24+y2=11ρ2=1+3sin2θ4，由已知得：OA⊥OB，不妨設(shè)A（ρA，θ），BρB，θ+π2，分別代入橢圓得：1ρ2A=1+3sin2θ4，1ρ2B=1+3sin2θ+π24=1+3cos2θ4；所以1|OA|2+1|OB|2=1ρ2A+1ρ2B=1+1+3sin2θ+3cos2θ4=54為定值。

【拓展2：2017年新課標(biāo)1·理科10】已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）

A. 16B. 14C. 12D. 10

略解：

將拋物線C：y2=4x往左平移一個(gè)單位得：C′：y2=4（x+1）

C′：y2=4（x+1）ρ=21-cosθ

不妨設(shè)A（ρA，θ），DρD，θ+π2，B（ρB，θ+π），EρE，θ+3π2，分別代入拋物線C′得：ρA=21-cosθ，ρD=21-cosθ+π2=21+sinθ，ρB=21-cos（θ+π）=21+cosθ，ρE=21-cosθ+3π2=21-sinθ，所以：|AB|+|DE|=ρA+ρB+ρC+ρD=4sin2θ+4cos2θ=16sin22θ≥16，當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ=1時(shí)，取到最小值。

利用極坐標(biāo)系解決問(wèn)題時(shí)要注意利用極坐標(biāo)方程中ρ的幾何意義解題時(shí)，一定要數(shù)形結(jié)合，解決線段距離問(wèn)題要注意直線是否過(guò)極點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃青海.淺析極坐標(biāo)與參數(shù)方程的一般解題技巧[J].考試周刊，2015（60）.

作者簡(jiǎn)介：

嚴(yán)建平，福建省龍巖市，龍巖市第二中學(xué)。