例談含參數(shù)函數(shù)的零點個數(shù)問題

摘 要：函數(shù)的零點問題是高考?？嫉膬?nèi)容之一，更是學生的難點。函數(shù)零點問題就是對應方程的根的問題，若求函數(shù)零點的個數(shù)，一般要將函數(shù)零點轉化為方程的解，再由方程的解轉化為兩個新函數(shù)圖像的交點。

關鍵詞：函數(shù)的零點；方程的解；圖像交點；導數(shù)

關于函數(shù)零點個數(shù)的討論是高考數(shù)學的重要內(nèi)容之一，函數(shù)零點問題就是對應方程的根的問題，若求函數(shù)零點的個數(shù)，一般要將函數(shù)零點轉化為方程的解，再由方程的解轉化為兩個新函數(shù)的圖像的交點，掌握函數(shù)零點個數(shù)問題的解決方法，對于解決這類題目有一定的幫助，本文將從一道題（臨夏中學高三年級2018～2019學年度第一學期期中考試理科卷21題）出發(fā)，給出兩種解法，通過分析比較得出最容易掌握的方法。

題目：已知函數(shù)f（x）=2a2lnx-x2（a>0）。（1）當a=1時，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)；（3）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e2）上零點的個數(shù)（e≈2.718…）。

解法一：（1）略 （2）∵f（x）=2a2lnx-x2（a>0），f′（x）=（2a2-2x2）/x?！選>0，a>0，∴當00，當x>a時，f′（x）<0，∴f（x）在（0，a）上是增函數(shù)，在（a，+∞）上是減函數(shù)。

（3）由（2）得f（x）max=f（a）=a2（2lna-1）

①當a2（2lna-1）<0，即0

②當a2（2lna-1）=0，即a=e時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有唯一零點，而1

③當a2（2lna-1）>0，即a>e時，由于f（1）<0，f（a）>0，f（e2）=（2a-e2）（2a+e2）；當2a-e2<0，即ee時，f（e）>0，f（1）=-1<0，由函數(shù)的單調(diào)性知，f（x）在（1，e）內(nèi)有唯一的一個零點，在（e，e2）內(nèi)沒有零點，從而f（x）在（1，e2）內(nèi)只有一個零點。

綜上所述，當o

解法二：（1）（2）略 （3）求函數(shù)f（x）在（1，e2）上零點個數(shù)求方程f（x）=0（2a2lnx-x2=0）在（1，e2）上根的個數(shù)求函數(shù)y=2a2（a>0）與y=x2/lnx圖像交點的問題。

令g（x）=x2/lnx，則g′（x）=x（2lnx-1）/（lnx）2，令g′（x）=0，得x=e。

當x→1時，lnx→0，g（x）=x2/lnx→+∞；當x=e2時，g（e2）=e4/2；當x=e時，g（e）=2e，

x（1，e）e（e，e2）

g′（x）-0+

g（x）極小值

當2a2=2e或2a2≥e4/2時，函數(shù)y=2a2（a>0）與y=x2/lnx圖像有1個交點；當2a2∈（2e，e4/2）時，函數(shù)y=2a2（a>0）與y=x2/lnx的圖像有2個交點；當2a2∈（0，2e）時，函數(shù)y=2a2（a>0）與y=x2/lnx的圖像有0個交點；

綜上所述，當a=e或a∈[e2/2，+∞）時，函數(shù)y=2a2lnx-x2有1個零點；當a∈（e，e2/2）時，函數(shù)y=2a2lnx-x2有2個零點；當a∈（0，e）時，函數(shù)y=2a2lnx-x2無零點。

解法二的解題回顧

1. 轉化的思想。解法二將求函數(shù)零點的問題轉化為求方程根的問題，進而轉化為一個常函數(shù)與一個不含參數(shù)的函數(shù)圖像的交點問題，接下來的解題過程就變成畫函數(shù)圖像的問題。

2. 在畫函數(shù)g（x）圖像時，在考慮開區(qū)間的端點處時用了逼近的思想。

3. 數(shù)形結合，直觀判斷。根據(jù)參數(shù)范圍確定兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)，進而確定函數(shù)的零點個數(shù)。

比較分析

本文中的題目，解法一和解法二都用了導數(shù)來研究圖像，都用了數(shù)形結合的思想，不同在于，解法一研究的是原函數(shù)圖像，而原函數(shù)解析式含有參數(shù)，故需對參數(shù)a進行分類討論，再次對極大值進行分類討論，分類過程中還要對端點進行分類，對于學生來說，難度是超高難度。本文給出的解法二，將求函數(shù)零點的問題轉化為求方程的根的問題，進而轉化為一個常函數(shù)與一個不含參數(shù)的函數(shù)圖像的交點問題，接下來的解題過程就變成畫函數(shù)圖像的問題了，是一道中等難度的題，所以易看到解法二在很大程度上降低了這道題的難度。

解法二中，在畫函數(shù)g（x）圖像時，用了逼近的思想，雖然極限是高中的超綱內(nèi)容，但是羅增儒教授在《高考數(shù)學萬能解題法》一書中，提到對于學有余力的同學，應把課程標準和考試大綱作為學習的最低要求，而超越課程標準和考試大綱是一個理性的選擇。著名教育家B.A.蘇霍姆林斯基曾經(jīng)指出：“如果教師引導最有才能的學生超出教學大綱的范圍，那么集體的智力生活就會變得豐富多彩，從而影響最差的學生也不敢落后?！?/p>

高考解題需要我們迅速解決“從何處下手，向何方前進”這兩個基本問題，臨場上的思維策略因時間的限制主要靠模式識別，而解法二恰是解決函數(shù)零點個數(shù)最常規(guī)的思維模式。

結束語

本文給出的解法二是在常規(guī)的思維模式下，結合逼近的極限思想畫圖，數(shù)形結合，對題目展開，通過解法一和解法二的比較分析，易得解法二在很大程度上降低了這道題的難度，不但解決了這個問題，而且更有助于培養(yǎng)學生的解題能力。

參考文獻：

[1]中學數(shù)學教材實驗研究組.普通高中課程標準試驗教科書[M].北京：人民教育出版社，2008.

[2]何方順.例談函數(shù)零點問題[J].基礎教育論壇，2012（4）：34.

[3]羅增儒，孟祥禮.高考數(shù)學萬能解題法[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2015.

作者簡介：

侯斐斐，甘肅省臨夏回族自治州，甘肅臨夏中學。