R3中一類(lèi)齊次Moran集的Hausdorff維數(shù)

黨云貴， 劉彥芝， 王亮亮

呂梁學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西 呂梁 033000

1 問(wèn)題的提出

分形幾何中Hausdorff 測(cè)度和維數(shù)是表征分形集的重要參量，也是研究分形集首要解決的問(wèn)題；可是維數(shù)與測(cè)度的計(jì)算往往是十分困難的，只有少數(shù)的分形集得到了它們的 Hausdorff 維數(shù)及其測(cè)度的準(zhǔn)確值[1～3].Moran集作為分形集中一類(lèi)典型的集合，它的 Hausdorff 維數(shù)、填充維數(shù)、盒維數(shù)一直備受關(guān)注.現(xiàn)已研究出：一維空間中齊次 Moran 集的 Hausdorff 維數(shù)和 Packing 維數(shù)[4,5]，對(duì)R中一類(lèi)廣義非均勻 Cantor 集的Hausdorff 測(cè)度也得到值的估計(jì)[6]；人們將一維空間中Cantor集的構(gòu)造方法推廣到R2空間，得出R2中一類(lèi)齊次 Moran 集的 Hausdorff 維數(shù)[7,8]；本文將一維空間中Cantor集的構(gòu)造方法推廣到三維空間，得到R3中一類(lèi)齊次 Moran 集，并計(jì)算出它們的Hausdorff 維數(shù).

設(shè)J?R3為非空有界閉集， {nk}k≥1，{lk}k≥1為正整數(shù)序列，{ck}k≥1為正實(shí)數(shù)序列，其中nk≥2.

定義1R3中子集族{Iσ|σ∈D}稱(chēng)為具有齊次Moran結(jié)構(gòu)，如果

(ii)對(duì)?s≥0及σ∈Ds,Iσ*1,Iσ*2,…,Iσ*ls+1是Iσ的子集，并且對(duì)任意i≠j

int(Iσ*i)∩int(Iσ*j)=?

定義3 設(shè)E?R3,則E的s-容度為:Cs(E)={1/Is(μ)|μ是使得μ(E)=1的E上的質(zhì)量分布}.

2 主要結(jié)果及其證明

再證α=γ.

又(l1l2…lk)(n1n2…nk)-φ(k)=1，所以(l1l2…lk)(n1n2…nk)-(α-ε)≥(l1l2…lk)(n1n2…nk)-φ(k),則φ(k)≥α-ε，兩邊同時(shí)取下確界及ε的任意性，有γ≥α.

(l1l2…lk)-1(n1n2…nk)γ-2ε=(l1l2…lk)-1(n1n2…nk)γ-ε(n1n2…nk)-ε

≤(l1l2…lk)(n1n2…nk)-φ(k)(n1n2…nk)-ε≤(n1n2…nk)-ε≤2-kε

引理3[3]若集合E是一個(gè)齊次Moran集，則dimHE=sup{s|Cs(E)>0}.

定義閉球序列Bk(x)={y||y-x|≤c1c2…ck}，k=1,2，…，B0=R3-B1,則

其中,ψk(t)=min{t-s,(c1c2…ck)-s}，Em=E∩Bm，Ei=E∩(Bi-Bi+1)，i=0,1,2,…,m-1.

選取常數(shù)A和B，使得J包含半徑為A的球，被包含在半徑為B的球中，則對(duì)?σ∈Dk，Jσ包含一個(gè)半徑為Ac1c2…ck的球，并含于半徑為Bc1c2…ck的球中，由于k階基本元內(nèi)部?jī)蓛苫ゲ幌嘟?，Bk與ω(A,B)個(gè)Jσ(σ∈Dk)相交，從而φ-1(Bk)也與ω(A,B)個(gè)Cσ(σ∈Dk)相交，這里ω(A,B)為常數(shù)，且ω(A,B)≤[(2+B)A-1]3，故

由引理2知Is(μ)有界，且Cs(E)>0；結(jié)合引理1，引理3可得dimHE≥β.

綜上(1)，(2)可得定理的正確性.