古塔的變形問(wèn)題研究

侯學(xué)慧

新疆警察學(xué)院信息安全工程系， 新疆 烏魯木齊 830011

自東漢初年建成第一座塔約兩千年以來(lái)，中華大地上出現(xiàn)的塔數(shù)逾萬(wàn)，雖然歷經(jīng)自然淘汰和人為損毀，據(jù)說(shuō)尚余三千，僅此數(shù)也號(hào)稱世界之最.古塔由于年代久遠(yuǎn)，長(zhǎng)時(shí)間承受自重、氣溫、風(fēng)力等各種作用，偶然還要受地震、颶風(fēng)和洪澇的影響，古塔會(huì)產(chǎn)生各種變形，諸如傾斜、彎曲和扭曲等[1～4].本文探究古塔受外界環(huán)境影響而產(chǎn)生變形、彎曲、扭曲等情況并將其量化得到具體的數(shù)據(jù)以便預(yù)測(cè)未來(lái)許多年內(nèi)，古塔的變形情況或者考慮古塔新建立未變形時(shí)的具體位置和高度等.

開封鐵塔已有上千年歷史，是我國(guó)重點(diǎn)保護(hù)文物.管理部門委托測(cè)繪公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月對(duì)該塔進(jìn)行了4次觀測(cè)(圖1).

根據(jù)圖1提供的4次觀測(cè)數(shù)據(jù)，本文主要討論以下3個(gè)問(wèn)題，并通過(guò)數(shù)據(jù)理論分析該古塔的變形情況：

(1)給出確定古塔各層中心位置的通用方法，并列表給出各次測(cè)量的古塔各層中心坐標(biāo)；

(2)分析該塔的傾斜、彎曲和扭曲等變形情況；

(3)分析該塔的變形趨勢(shì).

1 問(wèn)題分析

中國(guó)古塔成近千年，歷盡滄桑，且不具備再生性.近千年來(lái)遭受到地震、冰雹、風(fēng)災(zāi)和水患等自然災(zāi)害，尤其是在戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期曾用飛機(jī)、大炮進(jìn)行轟炸等一系列人為因素，歷經(jīng)滄桑，不少古塔身患重病、年久失修，導(dǎo)致古塔發(fā)生了各種形變，例如傾斜、彎曲、扭曲、下沉、構(gòu)件斷裂等，但這里我們目前只考慮傾斜、彎曲、扭曲這3種主要的形變.

1.1 確定古塔各層中心位置的通用方法

確定三種解決方案：

圖1 用Mathmatic 計(jì)算每一層中心(圓心)坐標(biāo)
Fig.1 Use Mathmatic to calculate the center coordinate of each layer

(1)我們利用Mathmatica作圖可知，給出的每層8個(gè)點(diǎn)是出于頂點(diǎn)的位置，因此，我們可以用8個(gè)點(diǎn)的平均值點(diǎn)來(lái)代替中心位置(采用平均值法).

(2)中國(guó)古代建筑是對(duì)稱結(jié)構(gòu)，塔面多數(shù)采用偶數(shù)邊的正多邊形.因此采用求外接圓的圓心代替中心.

(3)用軟件計(jì)算出圓心.

1.2 古塔的變形程度

對(duì)于變形問(wèn)題我們只考慮3個(gè)主要因素：傾斜，扭曲和彎曲.解決時(shí)量化這3個(gè)量，求其變化角度.注意：給出的數(shù)據(jù)在2009年到2011年的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)發(fā)生了變化，需要調(diào)整.

傾斜程度：構(gòu)造每層中心點(diǎn)與古塔初建造時(shí)地面中心點(diǎn)的直角三角形，在直角三角形當(dāng)中求解傾斜角.

扭曲程度：我們利用軟件量化扭曲程度，將古塔同一標(biāo)號(hào)的13個(gè)點(diǎn)在地面上的投影做函數(shù)擬合成直線(或者用一元線性回歸方程)，從而分析擬合后的投影直線與變化后的投影直線的夾角，即為扭轉(zhuǎn)角度.

1.3 分析古塔的變化趨勢(shì)

我們采用數(shù)據(jù)直線擬合的方法，根據(jù)古塔的變化角度，分析其變化量，建立擬合函數(shù)方程，根據(jù)古塔的變形程度得到的數(shù)據(jù)，確定函數(shù)，從而預(yù)測(cè)n年以后，古塔的變化趨勢(shì).

2 古塔變形問(wèn)題的解決

首先假設(shè)：

(1)古塔的傾斜程度，即傾斜角記為θ；

(2)古塔的扭曲程度，即傾斜角記為α；

(3)古塔同一標(biāo)號(hào)位置13個(gè)點(diǎn)在地面上投影點(diǎn)集，擬合成的直線記為L(zhǎng).

2.1 確定古塔各層中心

2.1.1 確定古塔各層中心位置的通用方法

(1)方法一：求平均值法(用8個(gè)點(diǎn)的平衡點(diǎn)來(lái)代替中心點(diǎn))

我們采用近似值算法，因?yàn)橹袊?guó)古代的古塔多采用對(duì)稱結(jié)構(gòu)，多數(shù)塔層都是由偶數(shù)邊的正多邊形構(gòu)成的，這樣的正多邊形是相對(duì)對(duì)稱均勻的.因?yàn)橐阎c(diǎn)的坐標(biāo)，我們通過(guò)Mathmatice作圖得到圖2，其中給出的點(diǎn)是相對(duì)的頂點(diǎn).因?yàn)橐阎?個(gè)點(diǎn)是對(duì)稱的，我們用這8個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的平均值來(lái)代替每層塔面的中心位置.

(2)方法二： 將內(nèi)切圓的圓心視為每一層塔面的中心點(diǎn)

用平均值求近似值，相對(duì)的誤差較大，可改為采用內(nèi)切圓求其圓心.

因?yàn)橐延械?個(gè)點(diǎn)是在頂點(diǎn)位置，古代對(duì)于一個(gè)建筑物的建造總是以圓為內(nèi)切圓或者外接圓建立的正多邊形，因此可以認(rèn)為這8個(gè)點(diǎn)一定是在某一個(gè)圓心為(a,b)，半徑為r的圓上.這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為已知圓上8個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出圓心即為中心.

圖2 Mathmatice軟件作出的古塔頂點(diǎn)在地面的投影Fig.2 To make the Graph of the vertex projection in the Ground

圖3 近似八角古塔
Fig.3 Approximate Eight-Square

(3)利用C語(yǔ)言中的Mathmatica軟件編寫程序

求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：已知圖上的多個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算該圓的圓心與半徑 ，從而確定正多邊形的中心.

2.1.2 列表給出各層量古塔各層的中心坐標(biāo)

(1)依據(jù)上述方法，利用EXCLE、Mathmatic軟件，得到各層中心點(diǎn)的列表.如表 1所示.

(2)利用圓心去近似代替中心，我們給出1986年第一層的中心的計(jì)算方法，并得到中心坐標(biāo)為(566.664 8,522.710 5,1.787 4)，其余各層方法相同.

2.2 分析古塔的傾斜、彎曲和扭曲等變形情況

2.2.1 古塔的傾斜程度分析

坐落在開封市鐵塔是一座歷史悠久的古塔，因此在1986年時(shí)，由于各種環(huán)境等因素，使古塔本身發(fā)生變形，造成傾斜.由于我們不了解古塔的背景與建造時(shí)間，我們只重點(diǎn)考慮1986年以后，并且假設(shè)在1986年時(shí)古塔的變形情況不嚴(yán)重，因此我們假設(shè)，將1986年古塔第一層中心的投影點(diǎn)，當(dāng)作古塔建造時(shí)塔地面的中心O點(diǎn)(存在誤差).

表1 給出確定古塔各層中心坐標(biāo)Tab.1 Give Tower the center coordinates of each layer

那么我們可以近似用坐標(biāo)O(566.664 8, 522.710 5,0)(第一層的中心)來(lái)代替建筑物的塔底中心點(diǎn).由于傾斜后，每層的中心點(diǎn)與地面的中心點(diǎn)O近似構(gòu)成相似的直角三角形,那么我們可以在直角三角形當(dāng)中，記O1(x1,y1,z1)，O0(x1,y1,z1),從而通過(guò)公式計(jì)算傾斜角公式

已知4年的塔頂坐標(biāo)，從而近似確定這4年的塔頂中心坐標(biāo)，因1986年和1996年的塔頂4個(gè)坐標(biāo)都存在，因此直接求出平均中心點(diǎn)作為塔頂中心，而2009年和2011年的塔頂4個(gè)坐標(biāo)不全，因此近似用第13層的中心點(diǎn)來(lái)作為塔頂?shù)闹行妮S位置，我們根據(jù)算出的四年的塔頂中心點(diǎn)與塔底中心點(diǎn)的連線所在的直線與豎直方向存在傾斜角θ，利用EXCEL計(jì)算每一年的塔頂中心點(diǎn)坐標(biāo)(表2)，根據(jù)傾斜角公式，我們近似得出1986年～2011年相應(yīng)的傾斜角.表3給出傾斜角的角度值.

表2 每一年的塔頂中心點(diǎn)坐標(biāo)Tab.2 Vertex coordinate of the top of tower in each year

表3 古塔傾斜角的度數(shù)Tab.3 Degree of inclination of tower

2.2.2 古塔的扭曲程度分析

因?yàn)槲覀儗?duì)扭曲程度的變化，注重其點(diǎn)在地面上的投影，因此建立直角坐標(biāo)系XOY，扭曲程度可分為2個(gè)方面：為了說(shuō)明扭曲過(guò)程，我們都以1986年為基準(zhǔn).看1996年～2011年發(fā)生了多大程度的扭轉(zhuǎn).

(2)另一方面是1986年～2011年間古塔發(fā)生的扭轉(zhuǎn)程度.我們選擇計(jì)算出同一年當(dāng)中同一個(gè)標(biāo)號(hào)位置的不同層面的13個(gè)點(diǎn)在地面上投影所成的近似直線，考慮變化后直線的傾斜角.

這是標(biāo)號(hào)均為1位置的1986年的13個(gè)頂點(diǎn)，畫出在地面上的投影，用Mathmatice輸入坐標(biāo)，求出擬合的一次函數(shù)記為L(zhǎng)1:y=k1x+b1；得到k1=-3.134 11.同上，我們選取標(biāo)號(hào)為1的1996年的13個(gè)頂點(diǎn)在地面上的投影，擬合直線為L(zhǎng)2:y=k1x+b1；得到k2x+b2,k2=-3.122 54，那么我們計(jì)算出L1,L2的夾角.

通過(guò)計(jì)算得出為1986年～1996年的第一個(gè)位置扭轉(zhuǎn)的角度為0.061 5°.用相同的方法得到1986年～2011年對(duì)應(yīng)的每個(gè)頂點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)度.在第一問(wèn)題當(dāng)中，同一年份的扭轉(zhuǎn)角度算法相同，由于計(jì)算量較大，就不一一列出.

(3)彎曲程度

我們?cè)诳紤]古塔彎曲時(shí)，中心軸會(huì)出現(xiàn)彎曲，可以采用根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，擬合函數(shù)，計(jì)算中心軸的曲率，由Mathmatica作圖可知，具體計(jì)算出較為明顯彎曲的位置.也可以采用求解扭轉(zhuǎn)角度的辦法，計(jì)算擬合直線的夾角.在理想狀態(tài)下，棱上的13個(gè)頂點(diǎn)，應(yīng)在同一直線上，但是一旦出現(xiàn)明顯彎曲，那么任意兩點(diǎn)確定的直線應(yīng)該會(huì)出現(xiàn)夾角，通過(guò)夾角判斷其彎曲的具體位置.

2.3 近似用線性關(guān)系分析未來(lái)古塔的變形情況

傾斜程度的分析：1986年～1996年這十年，傾斜角增加了0.000 18°,平均每年增加0.000 018°.這十年的變化較為平穩(wěn).1996年～2009年這十三年的變化是比較迅速的，傾斜角增加了0.001 43°，平均每年增加0.000 143°，2009年～2011年這三年可能是由于時(shí)間較短，傾斜角僅增加了0.000 03°，預(yù)測(cè)往后的變化會(huì)越來(lái)越慢.

由此分析古塔的傾斜程度在1986年～1996年這十年間變化較慢；1996年～2009年這十三年間，變化較快，傾斜程度明顯；2009年以后，基本趨于平穩(wěn)，最后會(huì)達(dá)到一個(gè)上界：是古塔的最大傾斜角度.我們做一個(gè)短期預(yù)測(cè)，假設(shè)傾斜角隨時(shí)間的函數(shù)是線性的，我們給出傾斜角的變化圖.類似的分析扭曲角度的值，預(yù)測(cè)未來(lái)古塔的扭轉(zhuǎn)程度.

圖4 古塔發(fā)生扭轉(zhuǎn)后頂點(diǎn)在地面投影Fig.4 Guta after the occurrence of a twisted vertex in the ground projection

圖5 古塔發(fā)生扭轉(zhuǎn)后每一層邊在地面的投影Fig.5 The projection of each side of the ground in Guta after twisting

圖6 傾斜角的變化圖Fig.6 Variation of inclination angle

圖7 扭轉(zhuǎn)角的變化圖
Fig.7 Variation of torsion angle

3 古塔模型的改進(jìn)與評(píng)價(jià)

3.1 方案改進(jìn)

(1)找到古塔開始建立的初始位置，計(jì)算出1986年的傾斜角；其余3個(gè)年份加入差額，即得出相對(duì)準(zhǔn)確的傾斜角.(2)在求解古塔中心坐標(biāo)時(shí)，可以利用C語(yǔ)言或Matlab 編程求出正八邊形外接圓的圓心，中心的選取更為精確.(3)在扭曲程度上，可以有多種不同衡量的扭曲程度的量，可以進(jìn)一步研究，準(zhǔn)確到南北東西，方向各轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù)，水平位移多少毫米.(4)彎曲上的測(cè)量，可以具體到量化，由于數(shù)據(jù)量過(guò)大，沒(méi)有給出明確的數(shù)據(jù)解釋.

3.2 對(duì)模型的評(píng)價(jià)

(1)優(yōu)點(diǎn)：更為精確地給出了傾斜角，扭轉(zhuǎn)角度的變化.(2)缺點(diǎn)：因?yàn)槠胶馕恢檬墙ㄋ慕ㄔ煳恢?；?986年已經(jīng)開始變形，所以從1986年到2011年，1986年的傾斜角度存在偏差.

模型的評(píng)價(jià)：首先我們對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了相關(guān)性分析、處理和量化，并且提出多種方法來(lái)解決并優(yōu)化問(wèn)題.同時(shí)利用Mathmatica軟件進(jìn)行計(jì)算，可信度高.論文中的圖形與數(shù)據(jù)相結(jié)合更具有說(shuō)服性.雖然此方法不是最優(yōu)方法，但經(jīng)過(guò)對(duì)模型擬合，數(shù)字量化已將誤差減少到最少.