有限群的s-半置換子群與p-冪零性

龐琳娜， 唐翠， 韓彩虹

廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 廣西 桂林 541004

稱有限群G的子群H和K是可交換的，如果HK=KH.稱有限群G的子群H為π-擬正規(guī)子群，如果H與G的每個(gè)Sylow-子群可交換.自從Kegel在文獻(xiàn)[1]中引入π-擬正規(guī)子群的概念后，人們對(duì)子群的π-擬正規(guī)性與有限群結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系進(jìn)行了廣泛的研究.例如：Srinivasan在文獻(xiàn)[2]中證明了：如果有限群G的所有Sylow-子群的極大子群在G中π-擬正規(guī)，那么G是超可解群.Ramadan則在文獻(xiàn)[3]中證明了：如果有限可解群G的Fitting子群F(G)的所有Sylow-子群的極大子群在G中π-擬正規(guī)，那么G是超可解群.近來(lái)，Asaad、 Ramadan和Shaalan在文獻(xiàn)[4]中對(duì)這個(gè)定理進(jìn)行了推廣：如果有限可解群G存在正規(guī)子群H使得G/H是超可解群，且F(H)的所有Sylow-子群的極大子群在G中π-擬正規(guī)，那么G是超可解群.

后來(lái)人們把π-擬正規(guī)子群推廣為s-半置換子群，并研究了子群的s-的半置換性對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響.稱有限群G的子群H為s-半置換子群，如果H與G的每個(gè)Sylowp-子群可交換，只要 (p,|H|)=1.陳重穆在文獻(xiàn)[5]中給出了結(jié)論：如果有限群G的所有 Sylow- 子群的極大子群在G中s-半置換，那么G是超可解群.張勤海、王麗芳[6]對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行了推廣.王麗芳、王燕鳴[7]證明了，設(shè)G是有限群，p是|G|的最小素因子，P∈Sylp(G).如果P的每個(gè)極大子群在G中s-半置換，那么G是p-冪零群.

上述這些結(jié)果都是假定G的某些子群在G中s-半置換，從而討論G的結(jié)構(gòu).本文把這個(gè)條件限制到局部子群中，即假定G的Sylow-子群P的極大子群在NG(P)中s-半置換，來(lái)討論G的結(jié)構(gòu).

1 引理

引理1[7]設(shè)H是有限群G的s-半置換子群.則(1)如果K是G的子群，且H≤K,那么H是K的s-半置換子群;(2)如果N是G的正規(guī)π-子群，且H是π′-子群，其中π是一些素?cái)?shù)的集合，那么HN/N是G/N的s-半置換子群.

引理2[7]設(shè)G是有限群，p是|G|的最小素因子，P∈Sylp(G).如果P的每個(gè)極大子群在G中s-半置換，那么G是p-冪零群.

設(shè)G是有限群，lp(G)表示G的p-長(zhǎng)[8].

引理3[8]設(shè)G是有限p-可解群，P∈Sylp(G),H是P在G中的p-補(bǔ)子群.如果P′H=HP′,那么lp(G)≤1.

設(shè)G是有限群，F(xiàn)*(G)表示G的廣義Fitting子群[8].

引理4[9]設(shè)G是有限群，M≤G.則(1)如果M≤G,則F*(M)≤F*(G);(2)如果G≠1,那么F*(G)≠1;(3)F*(F*(G))=F*(G);(4)如果F*(G)可解，那么F(G)=F*(G).

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)G是有限p-可解群，P∈Sylp(G).如果P中的每個(gè)極大子群在NG(P)中s-半置換，且P′在G中s-半置換，那么G是p-超可解群.

證明 令N=Op′(G).我們證明G/N滿足定理假設(shè).顯然，PN/N是G/N的Sylowp-子群.令TN/N是PN/N的極大子群，則T=N(T∩P).由于

|PN/N∶T/N|=|PN∶T/N|=|PT∶N(T∩P|=|P∶T∩P|=p

故T∩P是P的極大子群.由定理假設(shè)知，T∩P在NG(P)中s-半置換.于是由引理1得，(T∩P)N/N在NG(P)N/N=N(G/N)(PN/N)中s-半置換.再由引理1有(PN/N)′=P′N(xiāo)/N在G/N中s-半置換.這說(shuō)明G/N滿足定理假設(shè).如果N≠1, 則由歸納，有G/N是p-超可解群.從而，G也是p-超可解群.

由于G是p-可解群，故Op(G)≠1.設(shè)H是G的任意p-子群.類(lèi)似第一段可證明G/H滿足定理假設(shè).于是，若H≠1,則由歸納，G/H是p-超可解群.這說(shuō)明Φ(G)=1,且G存在唯一極小正規(guī)子群.不妨仍記這個(gè)唯一極小正規(guī)子群為H.由文獻(xiàn)[10]知，存在P的極大子群P1使得H不含于P1.令H1=H∩P1，則|H∶H1|=|HP1∶P1|=|P∶P1|=p.令Q是G的任意Sylowq-子群，q≠p. 由假設(shè)，有P1Q是子群.因此，H1=H∩P1≤P1Q.于是，Q正規(guī)化H1.另一方面，P=P1N也正規(guī)化H1.這說(shuō)明H1≤G. 由H的唯一性，得H=1,即H是p階循環(huán)群.因此，G是p-超可解群.

注記1 如果把定理1中的條件“P′在G中s-半置換”去掉，結(jié)論不一定成立.例如，令G=S4,4個(gè)文字上的對(duì)稱群，P2是G的Sylow 2-子群，則G是2-可解群，且P2的每個(gè)極大子群在NG(P2)=P2中s-半置換，但G不是2-超可解群.

條件“G是有限p-可解群”去掉之后，結(jié)論也不一定成立.例如，G=PSL(2,7),P2是的G的Sylow 7-子群，則P2的極大子群和導(dǎo)子群都是1，故在G中s-半置換，但G不是7-超可解群.

定理2 設(shè)G是有限群，p是|G|的最小素因子，P∈Sy1p(G).如果P中的每個(gè)極大子群在NG(P)中s-半置換，且P′在G中s-半置換，那么G是p-冪零群.

證明 由定理1知，只需證G是p-可解群.由引理2知，NG(P)是p-冪零群.于是，NG(P)=P×T, 其中T是NG(P)的p-補(bǔ).假定P是交換子群，那么P含于NG(P)的中心.由Burnside定理[10]知，G是p-冪零群.因此，可假設(shè)P非交換，即P′≠1.而由定理假設(shè)，P′在G中s-半置換.于是由文獻(xiàn)[11]知，P′在G中的正規(guī)閉包(P′)G是可解群，從而Op((P′)G)≠1或Op′((P′)G)≠1.若Op((P′)G)≠1,易檢驗(yàn)G/Op((P′)G)滿足定理假設(shè)，從而由歸納得G/Op((P′)G)是p-可解群，從而G是p-可解群.若Op′((P′)G)≠1,也有G是p-可解群.

推論1 設(shè)G是有限群，如果G的任意Sylow子群P的極大子群在NG(P)中s-半置換，且P′在G中s-半置換，那么G是Sylow塔群.

證明 設(shè)M是G的真Hall子群，P是M的任意Sylow子群.由假設(shè)及引理1得，P的極大子群在NM(P)中s-半置換，且P′在M中s-半置換.由歸納得，M是Sylow塔群.現(xiàn)在，設(shè)P是|G|的最小素因子，P∈Sy1p(G).由定理2得G是p-冪零群.令K是G的正規(guī)p-補(bǔ).于是，K是Sylow塔群.從而，G是Sylow塔群.

定理3 設(shè)G是有限群，p是|G|的最小素因子，G有正規(guī)子群H使G/H是p-冪零群，P∈Sy1p(H).如果P中的每個(gè)極大子群在NG(P)中s-半置換，且P′在G中s-半置換，那么G是p-冪零群.

證明 根據(jù)引理1以及定理假設(shè)，P中的每個(gè)極大子群在NH(P)中s-半置換，且P′在H中s-半置換.由定理2，有H是p-冪零群.設(shè)K是H的正規(guī)p-補(bǔ)，則K是G的正規(guī)子群.考慮商群G/K.由引理1知，G/K和正規(guī)子群H/K滿足定理的假設(shè)，所以若K≠1,則由歸納知G/K是p-冪零群，從而G是p-冪零群.因此，我們可以假設(shè)K=1.這時(shí)有H=P是G的正規(guī)p-子群.令R/P是G/P的正規(guī)p-補(bǔ)，則R滿足定理假設(shè).由定理2，有R是p-冪零群.這時(shí)，R的正規(guī)p-補(bǔ)就是G的正規(guī)p-補(bǔ).因此，也有G是p-冪零群.

定理4 設(shè)G是有限群，H是G的正規(guī)子群，且G/H是超可解群.如果H的任意Sylow子群P的極大子群在NG(P)中s-半置換，且P′在G中s-半置換，那么G是超可解群.

證明 由引理1知，H的任意Sylow子群每個(gè)極大子群在NH(P)中s-半置換，且P′在H中s-半置換.由推論1知，H是Sylow塔群.特別地，H是可解群.設(shè)N是含于H的G的極小正規(guī)子群H/N.則由引理1知G/N和正規(guī)子群H/N理的假設(shè).故由歸納，G/N是超可解群.這說(shuō)明N是含于H的G的唯一極小正規(guī)子群，且N不含于Φ(G).設(shè)q是|H|的最大素因子，Q是H的Sylowq-子群，則Q≤G,且N≤Q.因Φ(Q)≤Φ(G).故可設(shè)Q存在極大子群Q1使得N≤/Q1.令N1=N∩Q1.則|N∶N1|=|NQ1∶Q1|=|Q∶Q1|=q.令R是G的任意Sylowr-子群，r≠q.由假設(shè)，有Q1R是子群.因此，Q1=N∩Q1≤Q1R.于是，R正規(guī)化N1.另一方面，Q=Q1N也正規(guī)化N1.這說(shuō)明N1≤G.由N的唯一性，得N1=1,即N是q階循環(huán)群.因此，G是超可解群.

定理5 設(shè)G是有限群，H是G的正規(guī)子群，且G/H是超可解群.如果F*(H)的任意Sylow子群P的極大子群在NG(P)中s-半置換，且P′在G中s-半置換，那么G是超可解群.

證明 令F=F*(H).由引理1知，F(xiàn)的任意Sylow子群的極大子群在NF(P)中s-半置換，且P′在F中s-半置換.由推論1知，F(xiàn)是Sylow塔群.特別地，F(xiàn)是可解群.由引理4有F=F(H).因此，F(xiàn)的任意Sylow子群P的極大子群在NG(P)=G中s-半置換.由文獻(xiàn)[6]，G是超可解群.