細(xì)長(zhǎng)壓桿穩(wěn)定性的數(shù)值模擬

高 勇，譚嘎子，吳 霞，馬向榮，張國(guó)濤，樊 洋，張智芳

(1.榆林學(xué)院 化學(xué)與化工學(xué)院，陜西 榆林 719000；2. 陜西省低變質(zhì)煤潔凈利用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 榆林 719000；3.中國(guó)石油吐哈油田公司 吐魯番采油廠，新疆 鄯善 838202)

工程結(jié)構(gòu)中存在許多的壓桿，如內(nèi)燃機(jī)配氣機(jī)構(gòu)中的挺桿，磨床中液壓裝置的活塞桿，桁架結(jié)構(gòu)中的抗壓桿等[1]。壓桿穩(wěn)定在工程實(shí)踐中的重要性尤為突出，特別是在建筑工程領(lǐng)域。2000年10月25日，南京電視臺(tái)演播中心工程大演播廳舞臺(tái)工程屋蓋在澆筑混凝土過(guò)程中，模板支架發(fā)生倒塌事故[2]；1907年，加拿大勞倫斯河上的大橋，因壓桿失穩(wěn)，導(dǎo)致整座大橋坍塌等事件[3]。造成這些事故的原因非常多，但其最主要的原因是由于壓桿失穩(wěn)而導(dǎo)致坍塌，因此，研究壓桿的穩(wěn)定性就顯得尤為必要，并采取措施提高壓桿的穩(wěn)定性，可以大大減少此類(lèi)事故的發(fā)生。

近年來(lái)，對(duì)細(xì)長(zhǎng)壓桿也進(jìn)行了大量的研究[4-7]，研究結(jié)果對(duì)分析壓桿的穩(wěn)定性、結(jié)構(gòu)優(yōu)化及性能提供了思路。汪洋等[8]對(duì)細(xì)長(zhǎng)壓桿二階屈曲臨界態(tài)進(jìn)行了數(shù)值模擬，得出兩端鉸支二階屈曲態(tài)細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力為一階屈曲態(tài)臨界力的3.24倍；黃開(kāi)志等[9]對(duì)考慮軸向均布載荷壓桿的穩(wěn)定性進(jìn)行了計(jì)算，求得了壓桿同時(shí)承受軸向均布載荷和集中載荷時(shí)臨界載荷計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)公式。于桂杰等[10]研究了壓桿穩(wěn)定的實(shí)驗(yàn)方法，應(yīng)用歐拉法研究臨界壓力，并且利用實(shí)驗(yàn)使學(xué)生更加清楚的了解壓桿穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)。李麗君等[11]應(yīng)用ANSYS軟件將壓桿穩(wěn)定中歐拉公式知識(shí)清晰直觀地以圖形動(dòng)畫(huà)的方式表達(dá)出來(lái)，并且應(yīng)用有限元方法研究了不同載荷對(duì)壓桿的穩(wěn)定性情況，從而可以有效的彌補(bǔ)實(shí)驗(yàn)的不足，拓寬學(xué)生的知識(shí)面。本文利用理論計(jì)算和數(shù)值模擬相結(jié)合的方法對(duì)細(xì)長(zhǎng)壓桿的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，分析了工作參數(shù)及結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)壓桿穩(wěn)定性的影響規(guī)律，研究結(jié)果對(duì)壓桿的理論教學(xué)具有指導(dǎo)作用，對(duì)實(shí)際工程中提高壓桿穩(wěn)定具有重要的意義。

1 細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界壓力的理論計(jì)算

對(duì)于兩端鉸支，中心受壓的細(xì)長(zhǎng)壓桿其臨界力可按歐拉公式計(jì)算[12]：

(1)

L—壓桿的計(jì)算長(zhǎng)度，m；

μ—兩端鉸支，μ=1。

本研究中兩端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿長(zhǎng)度為318 mm，寬度為20 mm，厚度為1.9 mm。彈性模量為E=206 GPa。經(jīng)過(guò)計(jì)算，壓桿臨界壓力的理論值為229N。

2 細(xì)長(zhǎng)壓桿穩(wěn)定性的數(shù)值模擬

屈曲分析主要用來(lái)研究結(jié)構(gòu)在特定載荷下的穩(wěn)定性和確定結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的臨界載荷，包括線性屈曲分析和非線性屈曲分析。線性屈曲分析是以特征值為研究對(duì)象，以小位移、小應(yīng)變的線彈性理論為基礎(chǔ)，分析中不考慮結(jié)構(gòu)在受載變形過(guò)程中結(jié)構(gòu)構(gòu)形的變化，也就是在外力施加的各個(gè)階段，總是在結(jié)構(gòu)初始的構(gòu)形上建立平衡方程。當(dāng)載荷達(dá)到某一個(gè)臨界值的時(shí)候，結(jié)構(gòu)構(gòu)形突然轉(zhuǎn)變到另一個(gè)隨遇的平衡狀態(tài)，將其稱(chēng)之為屈曲[13]。

線性屈曲分析方程如下[14]：

([K]+λ[S]{ψ}=0)(2)

式中：[S]—?jiǎng)偠染仃?；λ—屈曲載荷因子；ψ—屈曲模態(tài)形狀系數(shù)。

上式(2)就是在線性屈曲求解中用于求解的方程，在具體的數(shù)值分析中，屈曲載荷因子λ由軟件的后處理結(jié)果直接讀出，屈曲臨界載荷Pcr = 所施加壓力×λ。

2.1 建立幾何模型及劃分網(wǎng)格

對(duì)于細(xì)長(zhǎng)壓桿，一端固定、一段自由時(shí)μ=2，兩端鉸支時(shí)μ=1，因此在進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)可將其等效為一端固定、一端自由，長(zhǎng)度L為原來(lái)一半的壓桿。由于所研究壓桿結(jié)構(gòu)為兩端鉸支的長(zhǎng)方體構(gòu)件，因此采用自動(dòng)劃分網(wǎng)格法進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并進(jìn)行了網(wǎng)格無(wú)關(guān)性檢驗(yàn)[15]，網(wǎng)格劃分結(jié)果如圖1。

圖1 壓桿網(wǎng)格劃分圖

2.2 設(shè)置邊界條件及施加載荷

對(duì)細(xì)長(zhǎng)壓桿一端設(shè)置固定端約束，另一端施加100 N、180 N、220 N的壓力載荷。

2.3 數(shù)值模擬結(jié)果及分析

2.3.1 不同載荷作用下壓桿的穩(wěn)定性分析

把施加100 N、180 N、220 N壓力載荷時(shí)的壓桿分別記為1、2、3號(hào)壓桿，各個(gè)載荷下壓桿變形云圖如圖2所示。利用數(shù)值分析所得的屈曲載荷因子可求得臨界壓力，如表1所示。由圖2可得，施加不同載荷時(shí)，壓桿的變形基本相同，最大變形發(fā)生在壓桿的中間截面，最小變形發(fā)生在壓桿的兩端。由表1可得，施加不同載荷時(shí)，所得屈曲載荷因子不同，但其臨界壓力基本相同，為 229.82N，和理論臨界壓力229 N相比，誤差為0.36%，因此可以認(rèn)為采用有限元軟件分析得出的臨界壓力與理論臨界壓力一致。

圖2不同載荷作用下壓桿變形云圖

表1不同載荷作用下壓桿屈曲載荷因子及臨界壓力數(shù)值解

壓桿123施加載荷/N100180220屈曲載荷因子2.29821.27681.0446臨界壓力/N229.82229.824229.812

為了更清晰的觀察壓桿的失穩(wěn)情況，分析壓桿的六階模態(tài)圖，如圖3所示。對(duì)于中兩端鉸支的壓桿，其兩端受到垂直壓力的作用，同時(shí)壓桿會(huì)隨著垂直壓力的值不斷增大而逐漸出現(xiàn)彎曲變形，當(dāng)壓力達(dá)到臨界壓力時(shí)壓桿彎曲變形達(dá)到極限，此時(shí)的應(yīng)力值達(dá)到最大值，若壓桿為塑性材料即認(rèn)為應(yīng)力達(dá)到屈服極限，若壓桿為脆性材料即認(rèn)為應(yīng)力達(dá)到強(qiáng)度極限，這時(shí)的壓桿我們就稱(chēng)之為失穩(wěn)。通過(guò)圖3壓桿的失穩(wěn)過(guò)程就可觀察到壓桿的失穩(wěn)情況。當(dāng)壓桿失穩(wěn)后，對(duì)壓桿進(jìn)行卸載，這時(shí)的壓桿不會(huì)恢復(fù)原狀也就成為不安全構(gòu)件。

圖3壓桿六階模態(tài)圖

2.3.2 不同彈性模型下壓桿的穩(wěn)定性分析

把彈性模量分別為100 GPa、150 GPa、200GPa、250 GPa的壓桿標(biāo)記為5、6、7、8號(hào)壓桿，在施加載荷為100N時(shí)其屈曲載荷因子和臨界載荷數(shù)值解如表2所示。

表2 不同彈性模量下壓桿載荷系數(shù)和臨界壓力數(shù)值解

由表2可得，當(dāng)壓桿在其他條件不變的情況下，材料的彈性模量逐漸增大，壓桿的臨界壓力也逐漸增大，即壓桿的穩(wěn)定性增強(qiáng)。這也正如歐拉公式Pcr=π2EI/(μL)2中所示，壓桿的臨界壓力與材料的彈性模量成正比。因此，在實(shí)際工程中為了提高壓桿的穩(wěn)定性，可根據(jù)實(shí)際情況合理選擇壓桿的材料。

2.3.3 不同截面面積下壓桿的穩(wěn)定性分析

把寬度分別為10 mm、15 mm、20 mm、25 mm的壓桿標(biāo)記為9、10、11、12號(hào)壓桿，在施加載荷為100N時(shí)其屈曲載荷因子和臨界載荷數(shù)值解如表3所示。

表3 不同截面面積下壓桿載荷系數(shù)

由表3可得，當(dāng)壓桿在其他條件不變的情況下，壓桿的橫截面積逐漸增大，壓桿的臨界載荷也逐漸增大，即壓桿的穩(wěn)定性增強(qiáng)。這也正如歐拉公式Pcr=π2EI/(μL)2中所示，壓桿的橫截面積增大，則慣性矩I增大，壓桿的臨界力也隨之增大。但是，在選取壓桿的橫截面時(shí)，也不能只為提高壓桿的穩(wěn)定性而將橫截面積大大增加，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況綜合考慮選取一合理值。

通過(guò)表2、表3數(shù)據(jù)的分析，可得知當(dāng)材料的彈性模量增大以及壓桿的橫截面積增大時(shí)都會(huì)增加壓桿的臨界壓力值，即提高了壓桿的穩(wěn)定性。同時(shí)利用有限元軟件對(duì)于提高壓桿穩(wěn)定性的分析與理論分析得出的結(jié)果相同。因此，在工程實(shí)際中，根據(jù)實(shí)際要求，利用有限元軟件對(duì)壓桿的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，并取得一組最優(yōu)的數(shù)據(jù)，可以有效地指導(dǎo)壓桿的實(shí)際應(yīng)用。

3 結(jié)論

(1)臨界壓力的數(shù)值解與理論解基本一致，因此通過(guò)數(shù)值分析得出的臨界壓力值可以直接用于指導(dǎo)工程實(shí)際。

(2)當(dāng)施加載荷不同時(shí)，壓桿的變形基本相同，最大變形發(fā)生在壓桿的中間截面，最小變形發(fā)生在壓桿的兩端。且施加不同載荷時(shí)，所得屈曲載荷因子不同，但其臨界壓力基本相同，為 229.82N，即當(dāng)所施加壓力達(dá)到229.82N時(shí)，壓桿將發(fā)生線性屈曲失穩(wěn)。

(3)材料的彈性模量以及壓桿的橫截面積增大時(shí)都會(huì)增加壓桿的臨界壓力值，即提高了壓桿的穩(wěn)定性。因此，在工程實(shí)際中，根據(jù)實(shí)際環(huán)境的需要，通過(guò)有限元分析軟件對(duì)構(gòu)件進(jìn)行分析，適當(dāng)改變參數(shù)來(lái)提高壓桿的穩(wěn)定性，并取得一組最優(yōu)的數(shù)據(jù)。